Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:07:22Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29240948; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:41:22Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29240948; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Geometri diferensial''' adalah sebuah disiplin [[matematika]] yang menggunakan teknik-teknik [[kalkulus diferensial]] dan [[kalkulus integral]], juga [[aljabar linear]] dan [[aljabar multilinear]], hingga masalah-masalah kajian dalam [[geometri]]. Teori [[geometri diferensial kurva|kurva]] ruang dan bidang dalam [[ruang euklides]] tiga dimensi membentuk basis untuk pengembangan geometri diferensial pada abad ke-18 dan abad ke-19. Sejak akhir abad ke-19, geometri diferensial telah berkembang menjadi sebuah lapangan yang memperhatikan secara lebih umum dengan struktur geometri pada [[lipatan terdiferensialkan]]. Geometri diferensial berhubungan dekat dengan [[topologi diferensial]], dan dengan aspek-aspek geometri pada teori [[persamaan diferensial]]. [[Geometri diferensial permukaan]] menangkap banyak gagasan penting dan karakteristik teknik pada lapangan ini.

== Sejarah perkembangan ==

Geometri diferensial muncul dan berkembang sebagai hasil dari dan sehubungan dengan analisis matematis kurva dan permukaan. Analisis matematis dari kurva dan permukaan telah dikembangkan untuk menjawab beberapa pertanyaan yang mengganggu dan tak terjawab yang muncul di [[kalkulus]], seperti alasan hubungan antara bentuk dan kurva kompleks, deret dan fungsi analitik. Pertanyaan yang belum terjawab ini menunjukkan hubungan yang lebih besar dan tersembunyi.

Ide umum persamaan natural untuk mendapatkan kurva dari kelengkungan lokal tampaknya pertama kali dipertimbangkan oleh [[Leonhard Euler]] pada tahun 1736, dan banyak contoh dengan perilaku yang cukup sederhana dipelajari pada tahun 1800.

Ketika kurva, permukaan yang dikelilingi oleh kurva, dan titik pada kurva ditemukan secara kuantitatif, dan umumnya, terkait dengan bentuk matematika, studi formal tentang sifat kurva dan permukaan menjadi bidang studi tersendiri, dengan makalah [[Gaspard Monge#Work|Monge]] pada tahun 1795, dan terutama, dengan publikasi artikelnya oleh [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], berjudul 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas', di ''Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores'' tahun 1827.

Awalnya diterapkan ke ruang Euclidean, eksplorasi lebih lanjut mengarah ke ruang non-Euclidean, dan [[ruang metrik]] dan topologi..

== Cabang-cabang geometri diferensial ==
=== Geometri Riemannian ===

Geometri Riemannian mengkaji [[lipatan Riemannian]], [[lipatan mulus]] dengan ''metrik Riemannian''. Ini adalah sebuah konsep tentang jarak yang disajikan dalam artian [[bentuk bilinear simetris]] [[bentuk kuadratik definit|definit positif]] [[fungsi mulus|mulus]] yang terdefinisi pada ruang tangen pada tiap-tiap titik. Geometri Riemannian memperumum [[geometri euklides]] kepada ruang-ruang yang tidak harus datar/rata (flat), meskipun mereka masih menyerupai [[ruang euklides]] pada tiap-tiap titik secara infinitesimal, yaitu dalam hampiran orde satu. Berbagai konsep yang didasarkan pada panjang, seperti [[panjang lengkungan]] suatu [[kurva]], [[luas]] suatu bidang, dan [[volume]] suatu padatan; semuanya memiliki analogi natural dalam geometri Riemannian. Gagasan tentang [[turunan berarah]] suatu fungsi dari [[kalkulus peubah banyak]] diperluas dalam geometri Riemannian menjadi gagasan [[turunan kovarian]] suatu [[tensor]]. Ada banyak konsep dan teknik analisis dan persamaan diferensial yang telah diperumum untuk berurusan dengan lipatan Riemannian.

[[Difeomorfisma]] yang mengawetkan jarak antara lipatan-lipatan Riemannian disebut [[isometri]]. Gagasan ini dapat pula didefinisikan secara ''lokal'', yaitu untuk lingkungan titik-titik yang kecil. Dua kurva beraturan sembarang adalah isometris secara lokal. Namun, [[Theorema Egregium]] yang diajukan [[Carl Friedrich Gauss]] menunjukkan bahwa untuk permukaan, keujudan suatu isometri lokal memaksakan kondisi-kondisi kompatibilitas yang kuat pada metrik-metrik mereka: [[kurvatur Gaussian]] pada titik-titik yang bersesuaian pastilah sama. Dalam dimensi yang lebih tinggi, [[tensor kurvatur Riemann]] adalah suatu invarian titik-demi-titik yang penting yang berasosiasi dengan lipatan Riemannian yang mengukur seberapa dekat ia untuk dikatakan datar/rata. Sebuah kelas penting lipatan Riemannian adalah [[ruang simetris Riemannian]], yang kurvaturnya tidak harus konstan. Hal ini adalah analog terdekat dengan bidang dan ruang "biasa" yang diperhatikan dalam [[geometri euklides]] dan non-euklides.

=== Geometri Riemaniann semu ===
[[Lipatan Riemannian semu|Geometri Riemannian semu]] memperumum geometri Riemannian kepada kasus di mana [[tensor metrik]] tidak harus [[bentuk kuadratik definit|definit positif]]. Sebuah kasus khusus hal ini adalah "Lipatan Lorentzian", yakni basis matematika untuk [[relativitas umum|teori relativitas umum tentang gravitasi]]-nya Einstein.

=== Geometri Finsler ===
Geometri Finsler memiliki ''[[Lipatan Finsler]]'' sebagai objek kajian utama. Ini adalah lipatan diferensial dengan suatu metrik Finsler, yaitu [[ruang Banach|norma Banach]] yang terdefinisi pada tiap-tiap ruang tangen. Metrik Finsler adalah struktur yang jauh lebih umum daripada metrik Riemannian. Struktur Finsler pada suatu lipatan ''M'' adalah fungsi ''F'': T''M'' → [0,∞) sedemikian sehingga:
# ''F''(''x'', ''my'') = ''|m|F''(''x'',''y'') untuk setiap ''x'', ''y'' pada T''M'',
# ''F'' adalah terdiferensialkan secara tak-hingga pada T''M'' − {0},
# Hessian vertikal dari ''F''2 adalah definit positif.

=== Geometri simplektis ===

[[Geometri simplektis]] adalah kajian tentang [[lipatan simplektis]]. '''Lipatan yang hampir simplektis''' adalah lipatan terdiferensialkan yang diperlengkapi dengan [[bentuk bilinear]] [[matriks asimetris]] [[bentuk degenerat|non-degenerat]] [[fungsi mulus|bervariasi mulus]] pada tiap-tiap ruang tangen, yaitu [[bentuk diferensial|bentuk]]-2 ''ω'' non-degenerat, yang disebut ''bentuk simplektis''. Lipatan simplektis adalah lipatan yang hampir simplektis di mana bentuk simplektis ''ω'' adalah tertutup: d''ω'' = 0.

[[Difeomorfisma]] antara dua lipatan simplektis yang mengawetkan bentuk symplektis disebut [[simplektomorfisma]]. Bentuk bilinear asimetris non-degenerat hanya dapat ujud pada [[ruang vektor]] berdimensi genap, sehingga lipatan simplektis haruslah berdimensi genap. Dalam dimensi 2, lipatan simplektis hanyalah [[permukaan]] yang disertai dengan sebentuk luasan, dan simplektomorfisma adalah difeomorfisma yang mengawetkan luas. [[Ruang fasa]] suatu sistem mekanik adalah lipatan simplektis dan mereka hadir secara tersirat dalam karya [[Joseph Louis Lagrange]] tentang [[mekanika analitik]] dan kemudian dalam [[mekanika Hamiltonian]] karya [[Carl Gustav Jacobi]] dan [[William Rowan Hamilton]].

Berbeda dengan geometri Riemannian, di mana [[kurvatur]] menyediakan invarian lokal dari lipatan Riemannian, [[teorema Darboux]] menyatakan bahwa semua lipatan simplektis adalah isomorfik secara lokal. Invarian-invarian suatu lipatan simplektis adalah global pada sifatnya dan aspek-aspek topologi menainkan peran yang penting dalam geometri simplektis. Hasil pertama dalam topologi simplektis adalah (barangkali) [[teorema Poincaré-Birkhoff]], yang diperdugakan oleh [[Henri Poincaré]] dan kemudian dibuktikan oleh [[G.D. Birkhoff]] pada tahun 1912. Teorema ini mendaku bahwa jika suatu luasan yang mengawetkan peta dari suatu [[anulus (matematika)|anulus]] melilit tiap-tiap komponen perbatasan dalam arah yang bertentangan, maka peta tersebut memiliki paling sedikit dua titik tetap.

=== Geometri kontak ===

[[Geometri kontak]] berurusan dengan lipatan tertentu yang berdimensi ganjil. Geometri kontak ini dekat dengan geometri simplektis dan seperti yang belakangan, geometri kontak mulai dipertanyakan dalam [[mekanika klasik]]. Suatu ''struktur kontak'' pada lipatan ''M'' berdimensi (2n+1) diberikan oleh sebuah lapangan bidang-hiper mulus ''H'' dalam [[bundel tangen]], yakni sejauh mungkin berasosiasi dengan himpunan level fungsi terdiferensialkan pada ''M'' (istilah teknisnya adalah "distribusi bidang-hiper tak-terintegralkan lengkap "). Di dekat titik ''p'', distribusi bidang-hiper ditentukan oleh [[bentuk diferensial|bentuk-1]] yang tidak menghilang di manapun <math>\alpha</math>, yang unik terhadap perkalian oleh sebuah fungsi yang tidak menghilang di manapun:

: <math> H_p = \ker\alpha_p\subset T_{p}M.</math>

Bentuk-1 lokal pada ''M'' adalah ''bentuk kontak'' jika batasan [[turunan eksterior]] terhadap ''H'' adalah bentuk-dua non-degenerat dan dengan demikian menginduksi struktur simplektis pada ''H''''p'' di tiap-tiap titik. Jika distribusi ''H'' dapat didefinisikan oleh bentuk-satu global <math>\alpha</math>, maka bentuk ini adalah kontak jika dan hanya jika bentuk berdimensi-puncak

: <math>\alpha\wedge (d\alpha)^n</math>

adalah sebuah [[bentuk volume]] pada '''M''', yaitu tidak menghilang di manapun. Sebuah analog kontak dari teorema Darboux menyatakan: semua struktur kontak pada lipatan berdimensi-ganjil adalah isomorfik secara lokal dan dapat dibawa ke bentuk normal lokal tertentu oleh suatu sistem koordinat terpilih yang sesuai.

=== Geometri kompleks dan Geometri Kähler ===
''Geometri diferensial kompleks'' adalah kajian [[lipatan kompleks]]. Suatu [[lipatan hampir kompleks]] adalah lipatan ''real'' <math>M</math>, yang diperlengkapi dengan [[tensor]] berjenis (1, 1), yaitu [[bundel vektor|endomorfisma bundel vektor]] (disebut ''[[struktur hampir kompleks]]'')
:<math> J:TM\rightarrow TM </math>, sedemikian sehingga <math>J^2=-1. \,</math>

Berdasarkan definisi berikut ini, suatu lipatan hampir kompleks adalah berdimensi genap.

Lipatan hampir kompleks dikatakan ''kompleks'' jika <math>N_J=0</math>, di mana <math>N_J</math> adalah tensor berjenis (2, 1) yang berhubungan dengan <math>J</math>, yang disebut [[tensor Nijenhuis]] (atau kadang-kadang ''torsi''). Lipatan hampir kompleks adalah kompleks jika dan hanya jika ia mengizinkan [[atlas (topologi)|koordinat atlas]] [[holomorfik]]. ''[[Lipatan Hermitian|Struktur hampir Hermitian]]'' diberikan oleh struktur hampir kompleks ''J'', bersama-sama dengan [[metrik Riemannian]] ''g'', memenuhi syarat kompatibilitas
:<math>g(JX,JY)=g(X,Y) \,</math>.

Struktur hampir Hermitian mendefinisikan secara natural suatu [[bentuk diferensial|bentuk-dua diferensial]]
:<math>\omega_{J,g}(X,Y):=g(JX,Y) \,</math>.

Dua syarat berikut ini adalah ekivalen:

# <math> N_J=0\mbox{ and }d\omega=0 \,</math>
# <math>\nabla J=0 \,</math>

di mana <math>\nabla</math> adalah [[koneksi Levi-Civita]] dari <math>g</math>. Dalam kasus ini, <math>(J, g)</math> disebut ''[[lipatan Kaehler|struktur Kähler]]'', dan ''lipatan Kähler'' adalah lipatan yang diperlengkapi dengan struktur Kähler. Secara khusus, lipatan Kähler adalah [[lipatan simplektis]] dan kompleks. Kelas yang lebih besar dari lipatan Kähler (kelas [[lipatan Hodge]]) diberikan oleh semua [[geometri aljabar|varietas projektif kompleks]] mulus.

=== Geometri CR ===
[[Lipatan CR|Geometri CR]] adalah kajian geometri intrinsik dari batas-batas domain di dalam [[lipatan kompleks]].

=== Topologi diferensial ===
[[Topologi diferensial]] adalah kajian invarian geometris (global) tanpa bentuk metrik atau simplektis. Topologi diferensial bermula dari operasi-operasi natural, seperti [[turunan Lie]] dari [[bundel vektor]] natural dan [[turunan eksterior|diferensial de Rham]] dari [[bentuk diferensial]]. Selain [[algebroid Lie]], juga [[algebroid Courant]] mulai memainkan peran yang lebih penting.

=== Grup Lie ===
[[Grup Lie]] adalah [[grup (matematika)|grup]] di dalam kategori lipatan mulus. Di samping sifat-sifat aljabar, grup Lie juga memanfaatkan sifat-sifat geometri diferensial. Konstruksi yang paling jelas adalah bahwa aljabar Lie yakni ruang tangen pada unit yang diperlengkapi dengan kurung Lie di antara [[lapangan vektor|lapangan-lapangan vektor]] invarian-kiri. Di samping teori struktur, terdapat juga lapangan luas [[representasi grup Lie|teori representasi]].

== Bundel dan koneksi ==

Aparatus [[bundel vektor]], [[bundel utama]], dan [[koneksi (matematika)|koneksi]] pada berkas memainkan peran yang luar biasa penting dalam geometri diferensial modern. Lipatan halus selalu membawa bundel vektor alami, [[bundel tangen]]. Secara longgar, struktur ini dengan sendirinya cukup hanya untuk mengembangkan analisis pada manifold, saat melakukan geometri membutuhkan, sebagai tambahan, beberapa cara untuk menghubungkan ruang singgung pada titik yang berbeda, yaitu pengertian [[transportasi paralel]]. Contoh penting diberikan oleh [[affine connection]]. Untuk [[Permukaan (topologi)|permukaan]] pada '''R'''3, bidang singgung di berbagai titik dapat diidentifikasi menggunakan paralelisme jalur-bijaksana alami yang disebabkan oleh ruang Euclidean ambien, yang memiliki definisi standar metrik dan paralelisme yang terkenal. Dalam [[geometri Riemannian]], [[hubungan Levi-Civita]] memiliki tujuan yang sama. (Sambungan Levi-Civita mendefinisikan paralelisme jalur-bijaksana dalam hal metrik Riemannian sewenang-wenang tertentu pada). Lebih umum, geometer diferensial mempertimbangkan ruang dengan bundel vektor dan koneksi affine sewenang-wenang yang tidak didefinisikan dalam istilah metrik. Dalam fisika, manifoldnya mungkin [[ruang-waktu|kontinum ruang-waktu]] dan bundel serta koneksi terkait dengan berbagai bidang fisik.

== Lihat pula ==

* [[Geometri diferensial abstrak]]
* [[Affin geometri diferensial]]
* [[Analisis fraktal]]
* [[Pengenalan dasar matematika ruangwaktu melengkung]]
* [[Geometri diferensial deskret]]
* [[Gauss]]
* [[Glosarium geometri dan topologi diferensial]]
* [[Daftar terbitan matematika#Geometri diferensial|Publikasi penting dalam geometri diferensial]]
* [[Daftar publikasi dalam matematika#Topologi diferensial|Publikasi penting dalam topologi diferensial]]
* [[Geometri integral]]
* [[Daftar topik geometri diferensial]]
* [[Geometri nonkomunikasi]]
* [[Geometri diferensial proyektif]]
* [[Geometri diferensial sintetis]]
* [[Geometri sistolik]]
* [[Teori pengukuran (matematika)]]

== Referensi ==

== Bacaan lanjutan ==
*
*
*
* Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
* Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==
* [http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/ B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University]
* [http://www.maths.adelaide.edu.au/michael.murray/teaching_old.html Michael Murray's online differential geometry course, 1996]
* [http://VirtualMathMuseum.org/Surface/a/bk/curves_surfaces_palais.pdf A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003]
* [http://VirtualMathMuseum.org/ Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery]
* [http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry]
* [http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~yakov/scanlib/hicks.pdf N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.]
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-950-differential-geometry-fall-2008/ MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+diferensial&oldid=29240948 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29240948 (2026-05-17T18:04:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Geometri diferensial - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29240948; atribusi sumber disertakan.