Geometri mutlak - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:00:53Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.00
Baris 1:		Baris 1:
	'''Geometri mutlak''' adalah [[geometri]] yang didasarkan pada [[sistem aksioma]] [[geometri Euklides]] tanpa menggunakan [[postulat paralel]] maupun alternatifnya. Secara sederhana, geometri ini hanya menggunakan empat pertama dari [[postulat Euklidean]]. Namun karena postulat Euklidean tidak cukup menjadi dasar dari geometri Euklides, sistem lain, seperti [[aksioma Hilbert]] tanpa menggunakan aksioma paralel, dipilih menjadi dasar. Istilah ini diperkenalkan oleh [[János Bolyai]] pada tahun 1832. Geometri ini terkadang disebut sebagai ''' geometri netral''', dalam konteks "ke-netral-annya" dengan postulat paralel.		[[File:Stereographic_projection_in_3D.svg\|thumb\|right\|280px\|Stereographic projection in 3D]]

			'''Geometri mutlak''' adalah [[geometri]] yang didasarkan pada [[sistem aksioma]] [[geometri Euklides]] tanpa menggunakan [[postulat paralel]] maupun alternatifnya. Secara sederhana, geometri ini hanya menggunakan empat pertama dari [[postulat Euklidean]]. Namun karena postulat Euklidean tidak cukup menjadi dasar dari geometri Euklides, sistem lain, seperti [[aksioma Hilbert]] tanpa menggunakan aksioma paralel, dipilih menjadi dasar.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Istilah ini diperkenalkan oleh [[János Bolyai]] pada tahun 1832.<ref>dalam "''Lampiran menunjukkan ilmu mutlak ruang: terlepas dari kebenaran atau kepalsuan Aksioma XI Euklid (tidak pernah diputuskan sebelumnya)''"</ref> Geometri ini terkadang disebut sebagai ''' geometri netral''',<ref>Greenberg mengutip W. Prenowitz dan M. Jordan (Greenberg, p. Xvi) karena telah menggunakan istilah "geometri netral '' untuk merujuk ke bagian geometri Euclidean yang tidak bergantung pada postu paralel Euklid. Dia mengatakan bahwa kata '' absolut '' dalam '' geometri absolut '' secara menyesatkan menyiratkan bahwa semua geometri lain bergantung padanya.</ref> dalam konteks "ke-netral-annya" dengan postulat paralel.

	== Sifat ==		== Sifat ==
	Geometri absolut terlihat sebagai sebuat sistem yang agak lemah, namun itu tidak sepenuhnya benar. Pada [[Elemen Euklides\|''Elemen ''Euklides]], Proposisi 28 dan Proposisi 31 menghindari penggunaan postulat paralel, dan oleh karena itu keduanya berlaku dalam geometri absolut. Dalam geometri absolut, kita juga dapat membuktikan [[teorema sudut eksterior]] (sudut luar segitiga lebih besar daripada kedua sudut segitiga lainnya), serta [[Teorema Saccheri – Legendre]], yang menyatakan bahwa jumlah ukuran sudut dalam segitiga memiliki paling banyak 180°.		Geometri absolut terlihat sebagai sebuat sistem yang agak lemah, namun itu tidak sepenuhnya benar. Pada [[Elemen Euklides\|''Elemen ''Euklides]], Proposisi 28 dan Proposisi 31 menghindari penggunaan postulat paralel, dan oleh karena itu keduanya berlaku dalam geometri absolut.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Dalam geometri absolut, kita juga dapat membuktikan [[teorema sudut eksterior]] (sudut luar segitiga lebih besar daripada kedua sudut segitiga lainnya), serta [[Teorema Saccheri – Legendre]], yang menyatakan bahwa jumlah ukuran sudut dalam segitiga memiliki paling banyak 180°.<ref>Seseorang melihat ketidakcocokan geometri absolut dengan geometri elips, karena dalam teori terakhir semua segitiga memiliki jumlah sudut yang lebih besar dari 180°.</ref>

	Proposisi 31 berisi cara mengonstruksi garis yang sejajar ke suatu garis tertentu melalui titik yang bukan pada garis tersebut. Karena pembuktiannya hanya membutuhkan penggunaan Proposisi 27 (teorema sudut interior alternatif), konstruksi tersebut berlaku dalam geometri absolut. Dalam bahasa yang lebih formal, untuk setiap garis <math>l</math> dan setiap titik <math>P</math> yang tidak terletak pada <math>l</math>, ada ''setidaknya ''satu garis yang melewati <math>P</math> dan sejajar dengan <math>l</math>. Hal ini dapat dibuktikan dengan mengonstruksi garis <math>m</math> dari <math>P</math> ke <math>l</math> yang tegak lurus, lalu membuat garis <math>n</math> yang tegak lurus dengan <math>m</math> dan melalui <math>P</math>. Berdasarkan teorema sudut interior alternatif, garis ''<math>l</math>'' sejajar dengan <math>n</math>. (Teorema sudut interior alternatif menyatakan bahwa jika garis <math>a</math> dan <math>b</math> yang dipotong oleh garis <math>t</math> membentuk sepasang sudut interior alternatif yang kongruen, maka garis <math>a</math> dan <math>b</math> saling sejajar.)		Proposisi 31 berisi cara mengonstruksi garis yang sejajar ke suatu garis tertentu melalui titik yang bukan pada garis tersebut.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Karena pembuktiannya hanya membutuhkan penggunaan Proposisi 27 (teorema sudut interior alternatif), konstruksi tersebut berlaku dalam geometri absolut. Dalam bahasa yang lebih formal, untuk setiap garis <math>l</math> dan setiap titik <math>P</math> yang tidak terletak pada <math>l</math>, ada ''setidaknya ''satu garis yang melewati <math>P</math> dan sejajar dengan <math>l</math>. Hal ini dapat dibuktikan dengan mengonstruksi garis <math>m</math> dari <math>P</math> ke <math>l</math> yang tegak lurus, lalu membuat garis <math>n</math> yang tegak lurus dengan <math>m</math> dan melalui <math>P</math>. Berdasarkan teorema sudut interior alternatif, garis ''<math>l</math>'' sejajar dengan <math>n</math>. (Teorema sudut interior alternatif menyatakan bahwa jika garis <math>a</math> dan <math>b</math> yang dipotong oleh garis <math>t</math> membentuk sepasang sudut interior alternatif yang kongruen, maka garis <math>a</math> dan <math>b</math> saling sejajar.)<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	Dalam geometri absolut juga dapat dibuktikan bahwa dua garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang sama tidak mungkin berpotongan (yang mengartikan kedua garis tersebut sejajar, menurut definisi garis sejajar). Hal ini membuktikan bahwa sudut puncak pada [[segiempat Saccheri]] tidak mungkin [[sudut tumpul\|tumpul]], dan [[geometri bola]] bukanlah geometri absolut.		Dalam geometri absolut juga dapat dibuktikan bahwa dua garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang sama tidak mungkin berpotongan (yang mengartikan kedua garis tersebut sejajar, menurut definisi garis sejajar). Hal ini membuktikan bahwa sudut puncak pada [[segiempat Saccheri]] tidak mungkin [[sudut tumpul\|tumpul]], dan [[geometri bola]] bukanlah geometri absolut.

	== Hubungannya dengan geometri lain ==		== Hubungannya dengan geometri lain ==
	Teorema geometri absolut berlaku dalam [[geometri hiperbolik]], yang merupakan [[geometri non-Euklides]], serta dalam [[geometri Euklides]].		Teorema geometri absolut berlaku dalam [[geometri hiperbolik]], yang merupakan [[geometri non-Euklides]], serta dalam [[geometri Euklides]].<ref>Memang, geometri absolut sebenarnya adalah perpotongan antara geometri hiperbolik dan geometri Euclidean jika keduanya dianggap sebagai himpunan proposisi.</ref>

	Geometri absolut tidak konsisten dengan [[geometri elips]]: dalam teori itu, tidak ada garis sejajar sama sekali, tetapi itu adalah teorema geometri absolut bahwa garis sejajar memang ada. Namun, dimungkinkan untuk memodifikasi sistem aksioma sehingga geometri absolut, sebagaimana ditentukan oleh sistem yang dimodifikasi, akan menyertakan geometri sferis dan elips, yang tidak memiliki garis sejajar.		Geometri absolut tidak konsisten dengan [[geometri elips]]: dalam teori itu, tidak ada garis sejajar sama sekali, tetapi itu adalah teorema geometri absolut bahwa garis sejajar memang ada. Namun, dimungkinkan untuk memodifikasi sistem aksioma sehingga geometri absolut, sebagaimana ditentukan oleh sistem yang dimodifikasi, akan menyertakan geometri sferis dan elips, yang tidak memiliki garis sejajar.<ref>G. Ewald. ''Geometry: An Introduction''. Wadsworth. 1971.</ref>

	Geometri absolut adalah perpanjangan dari [[geometri terurut]], dan dengan demikian, semua teorema dalam geometri terurut tetap dalam geometri absolut. Kebalikannya tidak benar. Geometri absolut mengasumsikan empat aksioma Euklid pertama (atau ekuivalennya), dibandingkan dengan [[geometri affine]], yang tidak mengasumsikan aksioma ketiga dan keempat Euklid.		Geometri absolut adalah perpanjangan dari [[geometri terurut]], dan dengan demikian, semua teorema dalam geometri terurut tetap dalam geometri absolut. Kebalikannya tidak benar. Geometri absolut mengasumsikan empat aksioma Euklid pertama (atau ekuivalennya), dibandingkan dengan [[geometri affine]], yang tidak mengasumsikan aksioma ketiga dan keempat Euklid.
	(3: "Untuk mendeskripsikan [[lingkaran]] dengan semua pusat dan jarak [[radius]].", 4: "Bahwa semua [[sudut siku]] sama satu sama lain.")		(3: "Untuk mendeskripsikan [[lingkaran]] dengan semua pusat dan jarak [[radius]].", 4: "Bahwa semua [[sudut siku]] sama satu sama lain.")
	Geometri teratur adalah fondasi umum dari geom absolut dan geo affin.		Geometri teratur adalah fondasi umum dari geom absolut dan geo affin.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	[[Geometri relativitas khusus]] telah dikembangkan mulai dengan sembilan aksioma dan sebelas proposisi geometri absolut. Para penulis [[Edwin B. Wilson]] dan [[Gilbert N. Lewis]] kemudian melanjutkan melampaui geometri absolut ketika mereka memperkenalkan [[rotasi hiperbolik]] sebagai transformasi yang menghubungkan dua [[kerangka acuan]].		[[Geometri relativitas khusus]] telah dikembangkan mulai dengan sembilan aksioma dan sebelas proposisi geometri absolut.<ref>Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "Relativitas Ruang-waktu. Prosiding Mekanika dan Elektromagnetik Geometri Non-Euklidean American Academy of Arts and Sciences 48:387–507</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20091027012400/http://ca.geocities.com/cocklebio/synsptm.html Synthetic Spacetime], sebuah intisari dari aksioma yang digunakan, dan teorema dibuktikan, oleh Wilson dan Lewis. Diarsipkan oleh WebCite</ref> Para penulis [[Edwin B. Wilson]] dan [[Gilbert N. Lewis]] kemudian melanjutkan melampaui geometri absolut ketika mereka memperkenalkan [[rotasi hiperbolik]] sebagai transformasi yang menghubungkan dua [[kerangka acuan]].

	== Bidang Hilbert ==		== Bidang Hilbert ==
	Sebuah bidang yang memenuhi aksioma [[Incidence (geometri)\|''Incidence'']] Hilbert, [[Geometri terurut\|''betweness'']], dan [[Kongruen\|kekongruenan]], disebut dengan [[bidang Hilbert]]. Bidang Hilbert adalah model dari geometri absolut.		Sebuah bidang yang memenuhi aksioma [[Incidence (geometri)\|''Incidence'']] Hilbert, [[Geometri terurut\|''betweness'']], dan [[Kongruen\|kekongruenan]], disebut dengan [[bidang Hilbert]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Bidang Hilbert adalah model dari geometri absolut.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	== Ketidaklengkapan ==		== Ketidaklengkapan ==
Baris 33:		Baris 35:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	*
	*
	*
	*
	*
	* Pambuccain, Victor ''Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries'', in: ''Non-Euclidean geometries'' (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28476830 (2025-11-14T05:24:46Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28476830 (2025~~-11-~~14T05:24:46Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28476830; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:25:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28476830; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Geometri mutlak''' adalah [[geometri]] yang didasarkan pada [[sistem aksioma]] [[geometri Euklides]] tanpa menggunakan [[postulat paralel]] maupun alternatifnya. Secara sederhana, geometri ini hanya menggunakan empat pertama dari [[postulat Euklidean]]. Namun karena postulat Euklidean tidak cukup menjadi dasar dari geometri Euklides, sistem lain, seperti [[aksioma Hilbert]] tanpa menggunakan aksioma paralel, dipilih menjadi dasar. Istilah ini diperkenalkan oleh [[János Bolyai]] pada tahun 1832. Geometri ini terkadang disebut sebagai ''' geometri netral''', dalam konteks "ke-netral-annya" dengan postulat paralel.

== Sifat ==
Geometri absolut terlihat sebagai sebuat sistem yang agak lemah, namun itu tidak sepenuhnya benar. Pada [[Elemen Euklides|''Elemen ''Euklides]], Proposisi 28 dan Proposisi 31 menghindari penggunaan postulat paralel, dan oleh karena itu keduanya berlaku dalam geometri absolut. Dalam geometri absolut, kita juga dapat membuktikan [[teorema sudut eksterior]] (sudut luar segitiga lebih besar daripada kedua sudut segitiga lainnya), serta [[Teorema Saccheri – Legendre]], yang menyatakan bahwa jumlah ukuran sudut dalam segitiga memiliki paling banyak 180°.

Proposisi 31 berisi cara mengonstruksi garis yang sejajar ke suatu garis tertentu melalui titik yang bukan pada garis tersebut. Karena pembuktiannya hanya membutuhkan penggunaan Proposisi 27 (teorema sudut interior alternatif), konstruksi tersebut berlaku dalam geometri absolut. Dalam bahasa yang lebih formal, untuk setiap garis <math>l</math> dan setiap titik <math>P</math> yang tidak terletak pada <math>l</math>, ada ''setidaknya ''satu garis yang melewati <math>P</math> dan sejajar dengan <math>l</math>. Hal ini dapat dibuktikan dengan mengonstruksi garis <math>m</math> dari <math>P</math> ke <math>l</math> yang tegak lurus, lalu membuat garis <math>n</math> yang tegak lurus dengan <math>m</math> dan melalui <math>P</math>. Berdasarkan teorema sudut interior alternatif, garis ''<math>l</math>'' sejajar dengan <math>n</math>. (Teorema sudut interior alternatif menyatakan bahwa jika garis <math>a</math> dan <math>b</math> yang dipotong oleh garis <math>t</math> membentuk sepasang sudut interior alternatif yang kongruen, maka garis <math>a</math> dan <math>b</math> saling sejajar.)

Dalam geometri absolut juga dapat dibuktikan bahwa dua garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang sama tidak mungkin berpotongan (yang mengartikan kedua garis tersebut sejajar, menurut definisi garis sejajar). Hal ini membuktikan bahwa sudut puncak pada [[segiempat Saccheri]] tidak mungkin [[sudut tumpul|tumpul]], dan [[geometri bola]] bukanlah geometri absolut.

== Hubungannya dengan geometri lain ==
Teorema geometri absolut berlaku dalam [[geometri hiperbolik]], yang merupakan [[geometri non-Euklides]], serta dalam [[geometri Euklides]].

Geometri absolut tidak konsisten dengan [[geometri elips]]: dalam teori itu, tidak ada garis sejajar sama sekali, tetapi itu adalah teorema geometri absolut bahwa garis sejajar memang ada. Namun, dimungkinkan untuk memodifikasi sistem aksioma sehingga geometri absolut, sebagaimana ditentukan oleh sistem yang dimodifikasi, akan menyertakan geometri sferis dan elips, yang tidak memiliki garis sejajar.

Geometri absolut adalah perpanjangan dari [[geometri terurut]], dan dengan demikian, semua teorema dalam geometri terurut tetap dalam geometri absolut. Kebalikannya tidak benar. Geometri absolut mengasumsikan empat aksioma Euklid pertama (atau ekuivalennya), dibandingkan dengan [[geometri affine]], yang tidak mengasumsikan aksioma ketiga dan keempat Euklid.
(3: "Untuk mendeskripsikan [[lingkaran]] dengan semua pusat dan jarak [[radius]].", 4: "Bahwa semua [[sudut siku]] sama satu sama lain.")
Geometri teratur adalah fondasi umum dari geom absolut dan geo affin.

[[Geometri relativitas khusus]] telah dikembangkan mulai dengan sembilan aksioma dan sebelas proposisi geometri absolut. Para penulis [[Edwin B. Wilson]] dan [[Gilbert N. Lewis]] kemudian melanjutkan melampaui geometri absolut ketika mereka memperkenalkan [[rotasi hiperbolik]] sebagai transformasi yang menghubungkan dua [[kerangka acuan]].

== Bidang Hilbert ==
Sebuah bidang yang memenuhi aksioma [[Incidence (geometri)|''Incidence'']] Hilbert, [[Geometri terurut|''betweness'']], dan [[Kongruen|kekongruenan]], disebut dengan [[bidang Hilbert]]. Bidang Hilbert adalah model dari geometri absolut.

== Ketidaklengkapan ==
Geometri absolut adalah [[sistem aksiomatik]] yang [[Ketidaklengkapan (logika)|tidak lengkap]], dalam artian bahwa seseorang dapat menambahkan aksioma baru yang independen, tanpa membuat sistem aksioma menjadi tidak konsisten. Seseorang dapat memperluas geometri absolut dengan menambahkan aksioma yang berbeda tentang sifat garis paralel dan mendapatkan beberapa sistem aksioma yang konsisten tetapi tidak saling ''compatible''. Hal ini yang menimbulkan [[geometri Euklides]] atau hiperbolik. Dengan demikian, setiap teorema pada geometri absolut juga merupakan teorema pada geometri hiperbolik dan geometri Euklides. Namun pernyataan sebaliknya tidak benar.

== Lihat pula ==
* [[Geometri Affine]]
* [[Program Erlangen]]
* [[Fondasi geometri]]
* [[Geometri insiden]]
* [[Geometri Non-Euklides]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*
*
*
*
* Pambuccain, Victor ''Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries'', in: ''Non-Euclidean geometries'' (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.

== Pranala luar ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+mutlak&oldid=28476830 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28476830 (2025-11-14T05:24:46Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.