Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:08:43Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.08
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[aljabar abstrak]], cabang dari [[matematika]], [[struktur aljabar]] '''grup dengan operator''' atau '''grup'''-Ω apabila dilihat sebagai [[grup (matematika)\|grup]] dengan [[himpunan (matematika)\|himpunan]] Ω yang beroperasi pada elemen grup dengan cara khusus.		Dalam [[aljabar abstrak]], cabang dari [[matematika]], [[struktur aljabar]] '''grup dengan operator''' atau '''grup'''-Ω apabila dilihat sebagai [[grup (matematika)\|grup]] dengan [[himpunan (matematika)\|himpunan]] Ω yang beroperasi pada elemen grup dengan cara khusus.

	Grup dengan operator dipelajari secara ekstensif oleh [[Emmy Noether]] dan awal sekolahnya pada tahun 1920-an. Ia menggunakan konsep dalam rumus aslinya dari tiga [[teorema isomorfisme Noether]].		Grup dengan operator dipelajari secara ekstensif oleh [[Emmy Noether]] dan awal sekolahnya pada tahun 1920-an. Ia menggunakan konsep dalam rumus aslinya dari tiga [[teorema isomorfisme Noether]].


	== Definisi ==		== Definisi ==

	Sebuah '''grup dengan operator''' <math>(G, \Omega)</math> apabila didefinisikan sebagai sebuah grup <math>G = (G, \cdot)</math> bersama dengan himpunan tindakan <math>\Omega</math> pada <math>G</math>:		Sebuah '''grup dengan operator''' <math>(G, \Omega)</math> apabila didefinisikan sebagai sebuah grup <math>G = (G, \cdot)</math> bersama dengan himpunan tindakan <math>\Omega</math> pada <math>G</math>:
	:<math>\Omega \times G \rightarrow G : (\omega , g) \mapsto g^{\omega}</math>		:<math>\Omega \times G \rightarrow G : (\omega , g) \mapsto g^{\omega}</math>
Baris 26:		Baris 24:

	Grup dengan operator juga merupakan pemetaan		Grup dengan operator juga merupakan pemetaan
	:<math>\Omega\rightarrow\operatorname{End}_{\mathbf{Grp}}(G),</math>		:<math>\Omega\rightarrow\operatorname{End}_{\mathbf{Grp}}(G),</math>

	di mana <math>\operatorname{End}_{\mathbf{Grp}}(G)</math> adalah himpunan endomorfisme grup ''G''.		di mana <math>\operatorname{End}_{\mathbf{Grp}}(G)</math> adalah himpunan endomorfisme grup ''G''.
Baris 36:		Baris 34:

	== Aplikasi ==		== Aplikasi ==

	[[Teorema Jordan–Hölder]] juga berlaku dalam konteks grup operasi. Persyaratan bahwa grup memiliki [[rangkaian komposisi]] analog dengan [[ruang kompak\|kekompakan]] dalam [[topologi]], dan terkadang bisa menjadi persyaratan yang terlalu kuat. Itu wajar untuk berbicara tentang "kekompakan relatif terhadap satu himpunan", yaitu berbicara tentang [[deret komposisi]] di mana setiap subgrup ([[sungrup normal\|normal]]) adalah subgrup operasi relatif pada himpunan operasi <math>X</math> dari grup yang bersangkutan.		[[Teorema Jordan–Hölder]] juga berlaku dalam konteks grup operasi. Persyaratan bahwa grup memiliki [[rangkaian komposisi]] analog dengan [[ruang kompak\|kekompakan]] dalam [[topologi]], dan terkadang bisa menjadi persyaratan yang terlalu kuat. Itu wajar untuk berbicara tentang "kekompakan relatif terhadap satu himpunan", yaitu berbicara tentang [[deret komposisi]] di mana setiap subgrup ([[sungrup normal\|normal]]) adalah subgrup operasi relatif pada himpunan operasi <math>X</math> dari grup yang bersangkutan.

Baris 43:		Baris 40:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	*
	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+dengan+operator&oldid=28718054 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28718054 (2025-12-19T12:41:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+dengan+operator&oldid=28718054 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28718054 (2025-12-19T12:41:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28718054; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:46:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28718054; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar abstrak]], cabang dari [[matematika]], [[struktur aljabar]] '''grup dengan operator''' atau '''grup'''-Ω apabila dilihat sebagai [[grup (matematika)|grup]] dengan [[himpunan (matematika)|himpunan]] Ω yang beroperasi pada elemen grup dengan cara khusus.

Grup dengan operator dipelajari secara ekstensif oleh [[Emmy Noether]] dan awal sekolahnya pada tahun 1920-an. Ia menggunakan konsep dalam rumus aslinya dari tiga [[teorema isomorfisme Noether]].

== Definisi ==

Sebuah '''grup dengan operator''' <math>(G, \Omega)</math> apabila didefinisikan sebagai sebuah grup <math>G = (G, \cdot)</math> bersama dengan himpunan tindakan <math>\Omega</math> pada <math>G</math>:
:<math>\Omega \times G \rightarrow G : (\omega , g) \mapsto g^{\omega}</math>
yaitu [[sifat distributif|distributif]] relatif terhadap hukum grup:
:<math>(g \cdot h)^{\omega} = g^{\omega} \cdot h^{\omega}</math>.
Untuk setiap <math>\omega \in \Omega </math>, aplikasi <math>g \mapsto g^{\omega}</math> maka merupakan [[endomorfisme]] dari ''G''. Dari sini, hasil bahwa grup juga apabila dilihat sebagai grup ''G'' dengan [[keluarga indeks]] <math>(u_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> dari endomorfisme pada ''G''.

<math>\Omega</math> disebut '''ranah operasi'''. Endomorfisme asosiasi disebut '''homotetis''' dari ''G''.

Diberikan dua grup ''G'', ''H'' dengan ranah operasi yang sama <math>\Omega</math>, sebuah '''homomorfisme''' grup dengan operator adalah homomorfisme grup <math>\phi: G \to H</math> dirumuskan
:<math>\phi(g^\omega)=(\phi(g))^\omega</math> untuk semua <math>\omega \in \Omega</math> dan <math>g \in G</math>.

[[Subgrup]] ''S'' dari ''G'' disebut '''subgrup stabil''', '''<math>\omega</math>''' atau '''subgrup invarian-<math>\Omega</math>''' jika didukung homotetis, yaitu
:<math>s^\omega \in S</math> untuk semua <math>s \in S</math> dan <math>\omega \in \Omega</math>.

== Pernyataan teoretis kategori ==
Dalam [[teori kategori]], '''grup dengan operator''' dapat didefinisikan sebagai objek dari [[kategori fungtor]] <math>\operatorname{Grp}^M</math> di mana <math>M</math> adalah [[monoid]] (yaitu [[Kategori (matematika)|kategori]] dengan satu [[Objek (teori kategori)|objek]]) dan <math>\operatorname{Grp}</math> menunjukkan [[kategori grup]]. Definisi ini setara dengan definisi sebelumnya, asalkan <math>\Omega</math> adalah monoid (jika tidak, apabila dapat memperluas untuk memasukkan identitas dan semua komposisi).

Sebuah [[morfisme]] dalam kategori ini adalah [[transformasi alami]] antara dua [[fungtor]] (''yaitu'' dua grup dengan operator pembagian ranah operasi yang sama ''M''). Sekali lagi apabila memulihkan definisi di atas tentang [[Kehomomorfan grup|homomorfisme grup]] dengan operator (dengan ''dari'' [[Transformasi alami#Definisi|komponen]] dari transformasi alami).

Grup dengan operator juga merupakan pemetaan
:<math>\Omega\rightarrow\operatorname{End}_{\mathbf{Grp}}(G),</math>

di mana <math>\operatorname{End}_{\mathbf{Grp}}(G)</math> adalah himpunan endomorfisme grup ''G''.

== Contoh ==
* Diberikan grup <math>G</math>'','' <math>(G, \varnothing)</math>adalah grup trivial dengan operasi
* Diberikan [[modul (matematika)|modul]] ''M'' atas [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] <math>R</math>, tindakan ''<math>R</math>'' dengan [[perkalian skalar]] pada [[grup abelian]] yang mendasari <math>M</math>, jadi <math>(M,R)</math> adalah grup dengan operator.
* Sebagai kasus khusus di atas, setiap [[ruang vektor]] atas [[medan (matematika)|medan]] <math>k</math> adalah grup dengan operator <math>(V,k)</math>.

== Aplikasi ==

[[Teorema Jordan–Hölder]] juga berlaku dalam konteks grup operasi. Persyaratan bahwa grup memiliki [[rangkaian komposisi]] analog dengan [[ruang kompak|kekompakan]] dalam [[topologi]], dan terkadang bisa menjadi persyaratan yang terlalu kuat. Itu wajar untuk berbicara tentang "kekompakan relatif terhadap satu himpunan", yaitu berbicara tentang [[deret komposisi]] di mana setiap subgrup ([[sungrup normal|normal]]) adalah subgrup operasi relatif pada himpunan operasi <math>X</math> dari grup yang bersangkutan.

== Lihat pula ==
*[[Tindakan grup (matematika)|Tindakan grup]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+dengan+operator&oldid=28718054 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28718054 (2025-12-19T12:41:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Grup dengan operator - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28718054; atribusi sumber disertakan.