Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T17:57:36Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29302692; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:18:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29302692; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar abstrak]], '''grup hingga''' adalah [[grup (matematika)|grup]] yang [[himpunan dasarnya]] adalah [[himpunan hingga|hingga]]. Grup hingga sering kali muncul ketika mempertimbangkan kesimetrian benda-benda matematika atau fisik, ketika objek-objek itu hanya menerima transformasi pelestarian struktur dalam jumlah terbatas. Contoh penting dari grup hingga termasuk [[grup siklik]] dan [[grup permutasi]].

Studi tentang kelompok hingga telah menjadi bagian integral dari [[teori grup]] sejak ia muncul pada abad ke-19. Salah satu bidang studi utama adalah klasifikasi: [[klasifikasi grup sederhana hingga]] (grup tanpa nontrivial [[subgrup normal]]) diselesaikan pada tahun 2004.

== Sejarah ==
Selama abad kedua puluh, ahli matematika menyelidiki beberapa aspek teori gruo hingga secara mendalam, terutama [[Analisis lokal|teori lokal]] dari kelompok hingga dan teori [[grup yang dapat dipecahkan|dapat dipecahkan]] dan [[kelompok nilpoten]]. Akibatnya, [[klasifikasi grup sederhana hingga]] lengkap tercapai, yang berarti bahwa semua [[grup sederhana]] tempat semua kelompok terbatas dapat dibangun sekarang diketahui.

Selama paruh kedua abad kedua puluh, ahli matematika seperti [[Claude Chevalley|Chevalley]] dan [[Robert Steinberg|Steinberg]] juga meningkatkan pemahaman kita tentang analog hingga [[grup klasik]], dan grup terkait lainnya. Salah satu kelompok kelompok tersebut adalah keluarga [[grup linear umum]] di atas [[medan hingga]].

Kelompok hingga sering muncul saat mempertimbangkan [[simetri]] objek matematika atau fisik, ketika objek-objek itu hanya menerima transformasi pelestarian struktur dalam jumlah terbatas. Teori [[grup Lie]], yang dapat dilihat sebagai berurusan dengan "[[simetri berkelanjutan]]", sangat dipengaruhi oleh [[grup Weyl]] terkait. Ini adalah kelompok terbatas yang dihasilkan oleh refleksi yang bekerja pada [[ruang Euklides]] berdimensi-hingga. Dengan demikian, sifat-sifat kelompok hingga dapat berperan dalam mata pelajaran seperti [[fisika teoretis]] dan [[kimia]].

== Contoh ==

=== Grup permutasi ===

'''Grup simetris''' S''n'' pada [[himpunan terbatas]] simbol '' n '' adalah [[grup (matematika)|grup]] yang elemennya adalah semua [[permutasi]] dari simbol '' n '', dan yang [[operasi grup]] merupakan [[komposisi fungsi|komposisi]] dari permutasi semacam itu, yang diperlakukan sebagai [[bijection|fungsi bijektiva]] dari himpunan simbol ke simbol itu sendiri. Karena ada '' n ''! ('' n '' [[faktorial]]) kemungkinan permutasi dari satu set simbol '' n '', maka [[Urutan (teori grup)|urutan]] (jumlah elemen) dari grup simetris S''n'' is ''n''!.

=== Grup siklik ===

Grup siklik Z''n'' adalah grup yang semua elemennya adalah kekuatan dari elemen tertentu '' a '' di mana , identitas. Realisasi khas dari grup ini adalah sebagai kompleks [[Akar persatuan| akar persatuan]]. Mengirimkan '' a '' ke [[akar kesatuan primitif]] memberikan [[isomorfisme]] di antara keduanya. Ini dapat dilakukan dengan grup siklik hingga apa pun.

=== Grup abelian hingga ===

'''[[Grup abelian]]''', juga disebut '''grup komutatif''', adalah [[grup (matematika)|grup]] yang hasil penerapan grup [[Operasi (matematika)|operasi]] ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutannya.

Kelompok abelian berhingga yang sewenang-wenang bersifat isomorfik terhadap sejumlah langsung kelompok siklik berhingga dari tatanan kekuatan utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian yang lengkap. [[Grup automorfisme]] dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian ini. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 dari [[Georg Frobenius]] dan [[Ludwig Stickelberger]] dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari [[aljabar linear]].

=== Grup jenis Lie ===

'''Grup jenis Lie''' adalah [[grup (matematika)|grup]] yang terkait erat dengan grup ''G''(''k'') titik rasional dari [[grup aljabar linier]] '' G '' reduktif dengan nilai dalam [[Bidang (matematika)|bidang]] '' k ''. Grup hingga tipe Lie memberikan sebagian besar nonabelian [[grup sederhana hingga]]. Kasus khusus termasuk [[grup klasik]], [[grup Chevalley]], grup Steinberg, dan grup Suzuki–Ree.

Grup hingga tipe Lie berada di antara grup pertama yang dipertimbangkan dalam matematika, setelah [[grup siklik|siklik]], [[grup simetris|simetris]] dan [[grup bergantian|bergantian]], dengan [[grup linear khusus proyektif]] di atas bidang hingga prima, PSL(2, ''p'') sedang dibangun oleh [[Évariste Galois]] pada tahun 1830-an. Eksplorasi sistematis kelompok hingga tipe Lie dimulai dengan teorema [[Camille Jordan]] bahwa [[kelompok linier khusus proyektif]] PSL (2, '' q '') sederhana untuk ''q'' ≠ 2, 3. Teorema ini menggeneralisasi kelompok proyektif dari dimensi yang lebih tinggi dan memberikan keluarga tak terbatas yang penting PSL(''n'', ''q'') dari [[grup sederhana hingga]]. Kelompok klasik lainnya dipelajari oleh [[Leonard Dickson]] pada awal abad ke-20. Pada 1950-an [[Claude Chevalley]] menyadari hal itu setelah reformulasi yang tepat, banyak teorema tentang [[grup Lie setengah sederhana]] mengakui analog untuk grup aljabar di atas bidang sembarang '' k '', mengarah ke pembangunan apa yang sekarang disebut '' Grup Chevalley ''. Selain itu, seperti dalam kasus grup Lie sederhana yang kompak, grup yang sesuai ternyata hampir sederhana seperti grup abstrak. Lambat laun terbentuk keyakinan bahwa hampir semua kelompok sederhana yang terbatas dapat dipertanggungjawabkan dengan perluasan konstruksi Chevalley yang sesuai, bersama dengan kelompok siklik dan bergantian. Selain itu, pengecualian, [[grup sporadis]], berbagi banyak properti dengan grup terbatas tipe Lie, dan khususnya, dapat dibangun dan dikarakterisasi berdasarkan '' geometri '' dalam pengertian Tits.

Keyakinan tersebut kini telah menjadi sebuah teorema [[klasifikasi grup sederhana hingga]]. Pemeriksaan daftar grup sederhana hingga menunjukkan bahwa grup tipe Lie di atas [[bidang hingga]] mencakup semua grup sederhana hingga selain grup siklik, grup bergantian, [[grup Tits]], dan 26 [[grup sederhana sporadis]].

== Teorema utama ==

=== Teorema Lagrange ===

Untuk setiap grup hingga '' G '', [[urutan (teori grup)|order]] (jumlah elemen) dari setiap [[subgrup]] '' H '' dari '' G '' membagi urutan ''G''. Teorema ini dinamai [[Joseph-Louis Lagrange]].

=== Teorema Sylow ===

Ini memberikan kebalikan parsial untuk teorema Lagrange yang memberikan informasi tentang berapa banyak subgrup dari urutan tertentu yang terkandung dalam '' G ''.

=== Teorema Cayley ===

'''Teorema Cayley''', dinamai untuk menghormati [[Arthur Cayley]], menyatakan bahwa setiap [[grup (matematika)|grup]] '' G '', adalah [[grup isomorfisme|isomorfik]] menjadi [[subgrup]] dari [[grup simetris]] yang bekerja pada '' G ''. This can be understood as an example of the [[Group action (mathematics)|group action]] of ''G'' on the elements of ''G''.

=== Teorema Burnside ===

'''Teorema Burnside''' di [[teori grup]] menyatakan bahwa jika '' G '' adalah grup hingga [[urutan (teori grup)|urutan]] ''p''''q'', di mana '' p '' dan '' q '' adalah [[bilangan prima]] s, dan '' a '' dan '' b '' adalah [[bilangan negatif dan positif|non-negatif]] pada [[bilangan bulat]], maka '' G '' adalah [[Grup solvabel|larut]]. Karenanya masing-masing
non-Abelian [[kelompok sederhana terbatas]] memiliki urutan habis dibagi oleh setidaknya tiga bilangan prima yang berbeda.

=== Teorema Feit–Thompson ===
'''Teorema Feit–Thompson''', atau '''teorema urutan ganjil''', menyatakan bahwa setiap terbatas [[grup (matematika)|gruo]] ganjil [[urutan (teori grup)|urutan]] adalah [[grup solvabel|dapat diselesaikan]].

=== Klasifikasi grup sederhana hingga ===
[[Klasifikasi grup sederhana hingga]] adalah teorema yang menyatakan bahwa setiap [[Daftar grup sederhana hingga|grup sederhana hingga]] milik salah satu keluarga berikut:
* [[Grup siklik]] dengan orde utama;
* [[Grup alternatif]] dengan gelar minimal 5;
* [[Grup jenis Lie|Grup sederhana tipe Lie]];
* Salah satu dari 26 [[grup sporadis|grup sederhana sporadis]];
* [[Grup Tits]] (terkadang dianggap sebagai grup sporadis ke-27).

Grup sederhana hingga dapat dilihat sebagai blok bangunan dasar dari semua grup hingga, dengan cara yang mengingatkan pada cara [[bilangan prima]] s adalah blok bangunan dasar dari [[bilangan asli]]. [[Teorema Jordan–Hölder]] adalah cara yang lebih tepat untuk menyatakan fakta tentang kelompok berhingga. Namun, perbedaan yang signifikan sehubungan dengan kasus [[faktorisasi bilangan bulat]] adalah bahwa "blok penyusun" seperti itu tidak selalu menentukan secara unik sebuah grup, karena mungkin ada banyak grup non-isomorfik dengan [[rangkaian komposisi]] yang sama atau, dengan kata lain, [[ekstensi grup#Masalah ekstensi|masalah ekstensi]] tidak memiliki solusi unik.

Pembuktian teorema terdiri dari puluhan ribu halaman dalam beberapa ratus artikel jurnal yang ditulis oleh sekitar 100 penulis, diterbitkan sebagian besar antara tahun 1955 dan 2004. [[Daniel Gorenstein|Gorenstein]] (d.1992), [[Richard Lyons (matematikawan)|Lyons]], dan [[Ronald Solomon|Solomon]] secara bertahap menerbitkan versi bukti yang disederhanakan dan direvisi.

== Jumlah grup dengan urutan tertentu ==
Diberikan bilangan bulat positif '' n '', itu sama sekali bukan masalah rutin untuk menentukan berapa banyak [[isomorfisma]] jenis kelompok [[urutan grup|urutan]] '' n '' ada. Setiap kelompok dari [[bilangan prima|prime]] adalah [[grup siklik|siklik]], karena [[Teorema Lagrange (teori grup)|Teorema Lagrange]] menyiratkan bahwa subgrup siklik yang dihasilkan oleh salah satu elemen non-identitasnya adalah seluruh grup.
Jika '' n '' adalah kuadrat dari sebuah bilangan prima, maka ada dua jenis isomorfisme yang mungkin dari kelompok ordo '' n '', keduanya adalah abelian. Jika '' n '' adalah pangkat yang lebih tinggi dari sebuah bilangan prima, maka hasil dari [[Graham Higman]] dan [[Charles Sims (matematikawan)|Charles Sims]] berikan perkiraan yang benar secara asimtotik untuk jumlah jenis isomorfisme dari kelompok ordo '' n '', dan jumlahnya tumbuh sangat cepat dengan meningkatnya kekuatan.

Bergantung pada [[faktorisasi]] prima '' n '', beberapa batasan dapat ditempatkan pada struktur kelompok orde '' n '', sebagai konsekuensi, misalnya, dari hasil seperti [[Teorema Sylow]]. Misalnya, setiap grup pesanan '' pq '' bersiklus ketika adalah bilangan prima dengan tidak dapat dibagi oleh '' q ''. Untuk kondisi yang diperlukan dan cukup, lihat [[bilangan siklik (teori grup)|bilangan siklik]].

Jika '' n '' adalah [[Square-free integer|squarefree]], maka setiap grup order '' n '' dapat dipecahkan. [[Teorema Burnside]], dibuktikan menggunakan [[Teori karakter|karakter grup]], menyatakan bahwa setiap grup orde '' n '' dapat dipecahkan ketika '' n '' habis dibagi kurang dari tiga bilangan prima yang berbeda, yaitu jika , di mana '' p '' dan '' q '' adalah bilangan prima, dan '' a '' dan '' b '' adalah bilangan bulat non-negatif. Dengan [[teorema Feit–Thompson]], yang memiliki bukti panjang dan rumit, setiap kelompok ordo '' n '' dapat dipecahkan bila '' n '' ganjil.

Untuk setiap bilangan bulat positif '' n '', kebanyakan grup orde '' n '' adalah [[Grup solvabel|dapat dipecahkan]]. Untuk melihat ini untuk urutan tertentu biasanya tidak sulit (misalnya, ada, hingga isomorfisme, satu gugus tak terpecahkan dan 12 gugus terlarut berorde 60) tapi bukti ini untuk semua pesanan menggunakan [[klasifikasi grup sederhana hingga]]. Untuk sembarang bilangan bulat positif '' n '' paling banyak ada dua grup orde sederhana '' n '', dan ada banyak bilangan bulat positif '' n '' yang memiliki dua grup ordo sederhana non-isomorfik ''n''.

=== Tabel grup ordo yang berbeda '' n '' ===

== Lihat pula ==

* [[Klasifikasi kelompok sederhana hingga]]
* [[Skema asosiasi]]
* [[Daftar grup sederhana hingga]]
* [[Teorema Cauchy (teori grup)]]
* [[grup-P]]
* [[Daftar grup kecil]]
* [[Teori representasi kelompok hingga]]
* [[Teori representasi modular]]
* [[Sinar bulan yang mengerikan]]
* [[Grup tak hingga]]
* [[Gelanggang hingga]]
* [[Kemungkinan perjalanan]]
* [[Mesin Keadaan Hingga]]

== Referensi ==

== Bacaan lebih lanjut ==

*

== Pranala luar ==
*
*
*
* Small groups on [http://groupnames.org GroupNames]
* A [http://www.bluetulip.org/programs/finitegroups.html classifier] for groups of small order

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+hingga&oldid=29302692 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29302692 (2026-06-01T09:19:48Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Grup hingga - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29302692; atribusi sumber disertakan.