Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:57:25Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.57
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Cyclic_group.svg\|thumb\|right\|280px\|Cyclic group]]

	Dalam [[aritmetika modular]], [[himpunan (matematika)\|himpunan]] semua [[bilangan asli]] yang kurang dari <math>n</math> dan [[koprima (bilangan)\|relatif prima]] dengan <math>n</math> membentuk [[grup (matematika)\|grup]] terhadap operasi perkalian [[modulo]] <math>n</math>, yang dikenal sebagai '''grup perkalian bilangan bulat modulo '''. Hal ini [[Kesetaraan logika\|ekuivalen]] dengan memandang setiap [[elemen (matematika)\|elemen]] dari grup ini sebagai ''residu'' (atau [[kelas ekuivalen\|kelas ekuivalensi]]) modulo <math>n</math> yang relatif prima dengan <math>n</math>. Akibatnya, nama lain dari grup ini ialah '''kelas residu primitif modulo '''.		Dalam [[aritmetika modular]], [[himpunan (matematika)\|himpunan]] semua [[bilangan asli]] yang kurang dari <math>n</math> dan [[koprima (bilangan)\|relatif prima]] dengan <math>n</math> membentuk [[grup (matematika)\|grup]] terhadap operasi perkalian [[modulo]] <math>n</math>, yang dikenal sebagai '''grup perkalian bilangan bulat modulo '''. Hal ini [[Kesetaraan logika\|ekuivalen]] dengan memandang setiap [[elemen (matematika)\|elemen]] dari grup ini sebagai ''residu'' (atau [[kelas ekuivalen\|kelas ekuivalensi]]) modulo <math>n</math> yang relatif prima dengan <math>n</math>. Akibatnya, nama lain dari grup ini ialah '''kelas residu primitif modulo '''.

Baris 14:		Baris 16:
	== Struktur grup ==		== Struktur grup ==
	Misalkan <math>N</math> menyatakan himpunan [[Aritmetika modular#kelas kekongruenan\|kelas-kelas kekongruenan]] modulo <math>n</math> yang [[koprima (bilangan)\|relatif prima]] dengan <math>n</math>. Himpunan <math>N</math> memenuhi semua [[aksioma]] dari [[grup Abelian\|grup abelian]] terhadap operasi perkalian modulo <math>n</math>.		Misalkan <math>N</math> menyatakan himpunan [[Aritmetika modular#kelas kekongruenan\|kelas-kelas kekongruenan]] modulo <math>n</math> yang [[koprima (bilangan)\|relatif prima]] dengan <math>n</math>. Himpunan <math>N</math> memenuhi semua [[aksioma]] dari [[grup Abelian\|grup abelian]] terhadap operasi perkalian modulo <math>n</math>.


	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==
Baris 20:		Baris 21:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' telah diterjemahkan dari [[bahasa Latin]] Ciceronian Gauss ke dalam [[bahasa Inggris]] dan [[Jerman]]. Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari [[timbal balik kuadratik]], penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.

	*
	*
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	*		*
	* [http://hobbes.la.asu.edu/groups/groups.html Alat berbasis situs web untuk menghitung tabel grup secara interaktif] oleh John Jones		* [http://hobbes.la.asu.edu/groups/groups.html Alat berbasis situs web untuk menghitung tabel grup secara interaktif] oleh John Jones

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+perkalian+bilangan+bulat+modulo+n&oldid=27958731 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27958731 (2025-10-12T19:30:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+perkalian+bilangan+bulat+modulo+n&oldid=27958731 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27958731 (2025~~-10-~~12T19:30:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27958731; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:18:09Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27958731; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aritmetika modular]], [[himpunan (matematika)|himpunan]] semua [[bilangan asli]] yang kurang dari <math>n</math> dan [[koprima (bilangan)|relatif prima]] dengan <math>n</math> membentuk [[grup (matematika)|grup]] terhadap operasi perkalian [[modulo]] <math>n</math>, yang dikenal sebagai '''grup perkalian bilangan bulat modulo '''. Hal ini [[Kesetaraan logika|ekuivalen]] dengan memandang setiap [[elemen (matematika)|elemen]] dari grup ini sebagai ''residu'' (atau [[kelas ekuivalen|kelas ekuivalensi]]) modulo <math>n</math> yang relatif prima dengan <math>n</math>. Akibatnya, nama lain dari grup ini ialah '''kelas residu primitif modulo '''.

Dalam [[Gelanggang (matematika)|teori gelanggang]], salah satu cabang ilmu dari [[aljabar abstrak]], grup ini dideskripsikan sebagai grup [[unit (teori gelanggang)|unit-unit]] dari [[Aritmetika modular#Kekongruenan bilangan bulat|gelanggang bilangan bulat modulo ]]. Kata ''unit'' disini merujuk kepada elemen yang memiliki [[invers perkalian modular|invers perkalian]], yang pada gelanggang ini, ialah elemen-elemen yang relatif prima dengan <math>n</math>.

Grup ini, yang biasa ditulis sebagai <math>\left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \, \times \right)</math> atau <math>\left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \right)^{\times}</math>, merupakan grup yang fundamental dalam [[teori bilangan]]. Grup ini digunakan dalam [[kriptografi]], [[faktorisasi prima]], dan [[uji keprimaan|pengujian keprimaan]]. Grup ini merupakan [[grup Abelian|grup abelian]] [[grup hingga|berhingga]] yang [[orde (teori grup)|ordenya]] diperoleh melalui [[fungsi phi Euler]]:
<math display="block">\left| \dfrac{\mathbb{Z}}{n \mathbb{Z}} \right| = \varphi (n)</math>
dengan <math>\left| H \right|</math> menyatakan [[kardinalitas]] dari himpunan <math>H</math>. Jika <math>n</math> merupakan [[bilangan prima]], maka grup ini merupakan [[grup siklik]], dan secara umum, struktur dari grup ini mudah untuk dideskripsikan, tetapi belum diketahui apakan terdapat rumus sederhana untuk menentukan [[grup siklik|generator]] dari grup ini.

== Notasi ==
Himpunan dari (kelas-kelas kekongruenan) bilangan bulat modulo <math>n</math> terhadap operasi penjumlahan dan perkalian merupakan [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Himpunan ini dinotasikan dengan <math>\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}</math> atau <math>\mathbb{Z}/(n)</math>. Di luar teori bilangan, seringkali digunakan notasi <math>\mathbb{Z}_n</math> yang lebih sederhana, walau mungkin dikelirukan dengan [[bilangan p-adik|bilangan bulat -adik]] ketika <math>n</math> merupakan bilangan prima.

Grup perkalian bilangan bulat modulo <math>n</math>yaitu [[Unit (teori gelanggang)|grup dari semua unit]] pada gelanggng inidapat ditulis sebagai <math>\left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \right)^{\times}</math>, <math>\left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \right)^{\ast}</math>, <math>\operatorname{U} (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})</math>, atau notasi serupa. Artikel ini akan menggunakan notasi <math>\left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \right)^{\times}</math>.

== Struktur grup ==
Misalkan <math>N</math> menyatakan himpunan [[Aritmetika modular#kelas kekongruenan|kelas-kelas kekongruenan]] modulo <math>n</math> yang [[koprima (bilangan)|relatif prima]] dengan <math>n</math>. Himpunan <math>N</math> memenuhi semua [[aksioma]] dari [[grup Abelian|grup abelian]] terhadap operasi perkalian modulo <math>n</math>.

== Lihat juga ==
* [[Pemfaktoran kurva eliptik Lenstra]]

== Catatan ==

== Referensi ==
''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' telah diterjemahkan dari [[bahasa Latin]] Ciceronian Gauss ke dalam [[bahasa Inggris]] dan [[Jerman]]. Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari [[timbal balik kuadratik]], penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.

*
*
*
*

== Pranala luar ==
*
*
* [http://hobbes.la.asu.edu/groups/groups.html Alat berbasis situs web untuk menghitung tabel grup secara interaktif] oleh John Jones

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+perkalian+bilangan+bulat+modulo+n&oldid=27958731 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27958731 (2025-10-12T19:30:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Grup perkalian bilangan bulat modulo n - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27958731; atribusi sumber disertakan.