Grup permutasi - Riwayat revisi

Maintenance script: Pembersihan konten sesuai kebijakan Wiki Unissula

2026-09-09T06:27:59Z

Pembersihan konten sesuai kebijakan Wiki Unissula

← Revisi sebelumnya		Revisi per 9 September 2026 06.27
Baris 3:		Baris 3:
	[[Gambar:Rubik's cube.svg\|thumb\|Teka-teki populer [[kubus Rubik]] yang ditemukan pada tahun 1974 oleh [[Ernő Rubik]] telah digunakan sebagai ilustrasi kelompok permutasi. Setiap rotasi lapisan kubus menghasilkan [[permutasi]] warna permukaan dan merupakan anggota grup. Kelompok permutasi kubus disebut [[grup kubus Rubik]].]]		[[Gambar:Rubik's cube.svg\|thumb\|Teka-teki populer [[kubus Rubik]] yang ditemukan pada tahun 1974 oleh [[Ernő Rubik]] telah digunakan sebagai ilustrasi kelompok permutasi. Setiap rotasi lapisan kubus menghasilkan [[permutasi]] warna permukaan dan merupakan anggota grup. Kelompok permutasi kubus disebut [[grup kubus Rubik]].]]

	Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)\|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref>		Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)\|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \\{1, 2, ..., n\\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref>

	~~== Notasi ==~~
	Untuk suatu himpunan <math>M</math>, permutasi <math>\sigma</math> atas <math>M</math> adalah suatu bijeksi <math>\sigma: M \rightarrow M</math>. Sebagai contoh, untuk himpunan <math>M = \{1,2,3,4\}</math>, salah satu permutasi yang mungkin adalah permutasi <math> \sigma </math> yang memenuhi
	~~:<math> \sigma(1) = 3, \sigma(2) = 1, \sigma(3) = 2</math> dan <math> \sigma(4) = 4 </math>. Permutasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan dua baris~~
	~~:<math>\sigma=\begin{pmatrix}~~
	~~1 & 2 & 3 & 4 \\~~
	~~3 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}</math>~~
	~~atau secara umum, unsur dalam grup permutasi <math> S_n </math> dapat ditulis sebagai matriks~~
	~~:<math>\sigma=\begin{pmatrix}~~
	~~1 & 2 & 3 & ... & n \\~~
	~~\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>~~

	Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref> Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh		Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \\mapsto a_2, a_2 \\mapsto a_3, ..., a_{n-1} \\mapsto a_n, a_n \\mapsto a_1</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref> Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
	:<math>\sigma=\begin{pmatrix}		:<math>\\sigma=\\begin{pmatrix}
	1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\		1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\
	3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}</math>.		3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\\end{pmatrix}</math>.

	Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>.<ref>Aleams Barra. ''Catatan Kuliah Struktur Aljabar''. 2015.</ref>		Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\\{a_1, ..., a_m\\}</math> dengan <math>\\{b_1, ..., b_k\\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\\alpha, \\beta \\in S_n</math>, berlaku pula <math>\\alpha \\beta = \\beta \\alpha </math>.<ref>Aleams Barra. ''Catatan Kuliah Struktur Aljabar''. 2015.</ref>

	Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks		Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan <math>\\sigma \\in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks
	:<math>\sigma=\begin{pmatrix}		:<math>\\sigma=\\begin{pmatrix}
	1 & 2 & ... & n \\		1 & 2 & ... & n \\\\
	\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix}</math>,		\\sigma(1) & \\sigma(2) & ... & \\sigma(n) \\end{pmatrix}</math>,

	invers dari <math>\sigma</math> yang dinotasikan sebagai <math>\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,		invers dari <math>\\sigma</math> yang dinotasikan sebagai <math>\\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,

	~~:<math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}~~
	~~\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\~~
	~~1 & 2 & ... & n \end{pmatrix}</math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>~~

	~~== Dekomposisi putaran ==~~
	Setiap permutasi pada grup permutasi <math>S_n</math> dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref> Sebagai contoh, permutasi
	~~:<math>\sigma = \begin{pmatrix}~~
	~~1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\~~
	~~6 & 3 & 4 & 2 & 5 & 1\end{pmatrix}</math>~~
	~~dapat ditulis sebagai <math> \sigma = (1 6)(2 3 4)(5) </math>.~~

	Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>

	Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua.<ref>Aleams Barra. ''Catatan Kuliah Struktur Aljabar''. 2015.</ref> Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi <math>S_n</math>kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di <math>S_n</math>dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi).<ref>Rotman, Joseph J., 1934-. [https://www.worldcat.org/oclc/61309485 A first course in abstract algebra : with applications]. Pearson Prentice Hall. 2006. ISBN 0131862677.</ref> Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref> Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian [[grup berayun]], yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>

	~~== Teorema Cayley ==~~
	Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:00:39Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.00
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)\|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>.		[[File:Cyclic_group.svg\|thumb\|right\|280px\|Cyclic group]]

			[[Gambar:Rubik's cube.svg\|thumb\|Teka-teki populer [[kubus Rubik]] yang ditemukan pada tahun 1974 oleh [[Ernő Rubik]] telah digunakan sebagai ilustrasi kelompok permutasi. Setiap rotasi lapisan kubus menghasilkan [[permutasi]] warna permukaan dan merupakan anggota grup. Kelompok permutasi kubus disebut [[grup kubus Rubik]].]]

			Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)\|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref>

	== Notasi ==		== Notasi ==
Baris 10:		Baris 14:
	:<math>\sigma=\begin{pmatrix}		:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
	1 & 2 & 3 & ... & n \\		1 & 2 & 3 & ... & n \\
	\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.		\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>

	Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>. Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh		Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref> Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
	:<math>\sigma=\begin{pmatrix}		:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
	1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\		1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
	3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}</math>.		3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}</math>.

	Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>.		Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>.<ref>Aleams Barra. ''Catatan Kuliah Struktur Aljabar''. 2015.</ref>

	Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks		Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks
Baris 28:		Baris 32:
	:<math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}		:<math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}
	\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\		\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\
	1 & 2 & ... & n \end{pmatrix}</math>.		1 & 2 & ... & n \end{pmatrix}</math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>

	== Dekomposisi putaran ==		== Dekomposisi putaran ==
	Setiap permutasi pada grup permutasi <math>S_n</math> dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas. Sebagai contoh, permutasi		Setiap permutasi pada grup permutasi <math>S_n</math> dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref> Sebagai contoh, permutasi
	:<math>\sigma = \begin{pmatrix}		:<math>\sigma = \begin{pmatrix}
	1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\		1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
Baris 37:		Baris 41:
	dapat ditulis sebagai <math> \sigma = (1 6)(2 3 4)(5) </math>.		dapat ditulis sebagai <math> \sigma = (1 6)(2 3 4)(5) </math>.

	Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>.		Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>

	Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua. Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi <math>S_n</math>kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di <math>S_n</math>dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi). Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya. Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian [[grup berayun]], yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.		Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua.<ref>Aleams Barra. ''Catatan Kuliah Struktur Aljabar''. 2015.</ref> Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi <math>S_n</math>kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di <math>S_n</math>dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi).<ref>Rotman, Joseph J., 1934-. [https://www.worldcat.org/oclc/61309485 A first course in abstract algebra : with applications]. Pearson Prentice Hall. 2006. ISBN 0131862677.</ref> Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref> Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian [[grup berayun]], yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>

	== Teorema Cayley ==		== Teorema Cayley ==
	Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>.		Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
Baris 50:		Baris 54:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+permutasi&oldid=19582625 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 19582625 (2021-12-22T05:49:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+permutasi&oldid=19582625 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 19582625 (2021~~-12-~~22T05:49:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 19582625; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:27:00Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 19582625; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>.

== Notasi ==
Untuk suatu himpunan <math>M</math>, permutasi <math>\sigma</math> atas <math>M</math> adalah suatu bijeksi <math>\sigma: M \rightarrow M</math>. Sebagai contoh, untuk himpunan <math>M = \{1,2,3,4\}</math>, salah satu permutasi yang mungkin adalah permutasi <math> \sigma </math> yang memenuhi
:<math> \sigma(1) = 3, \sigma(2) = 1, \sigma(3) = 2</math> dan <math> \sigma(4) = 4 </math>. Permutasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan dua baris
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}</math>
atau secara umum, unsur dalam grup permutasi <math> S_n </math> dapat ditulis sebagai matriks
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.

Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>. Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}</math>.

Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>.

Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix}</math>,

invers dari <math>\sigma</math> yang dinotasikan sebagai <math>\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,

:<math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\
1 & 2 & ... & n \end{pmatrix}</math>.

== Dekomposisi putaran ==
Setiap permutasi pada grup permutasi <math>S_n</math> dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas. Sebagai contoh, permutasi
:<math>\sigma = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
6 & 3 & 4 & 2 & 5 & 1\end{pmatrix}</math>
dapat ditulis sebagai <math> \sigma = (1 6)(2 3 4)(5) </math>.

Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>.

Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua. Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi <math>S_n</math>kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di <math>S_n</math>dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi). Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya. Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian [[grup berayun]], yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.

== Teorema Cayley ==
Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>.

== Lihat pula ==
* [[grup-2 transitif]]
* [[Grup permutasi pangkat 3]]
* [[Grup Mathieu]]

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+permutasi&oldid=19582625 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 19582625 (2021-12-22T05:49:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.