Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:03:08Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

@@ Baris 2: / Baris 2: @@
 == Definisi ==
 Grup ''G'' disebut ''terbangkit terbatas'' jika terdapat bilangan bagian terhingga ''S'' dari ''G'' dan [[bilangan bulat]] positif ''m'' sehingga setiap elemen ''g'' dari ''G'' bisa ditunjukkan sebagai hasil kali dari paling banyak ''m'' pangkat dari elemen ''S'':
@@ Baris 12: / Baris 11: @@
 == Sifat ==
 * Bertingkat secara terbatas tidak terpengaruh dengan meneruskan ke subgrup [[indeks subgrup|indeks hingga]]: jika ''H'' adalah subgrup indeks berhingga dari ''G'' maka ''G'' adalah bertingkat secara hingga jika dan hanya jika ''H'' adalah terbangkit terbatas.
 * Bertingkat terbatas masuk ke dalam [[Ekstensi grup|ekstensi]]: jika grup ''G'' memiliki [[subgrup normal]] ''N'' sedemikian rupa sehingga ''N'' dan ''G/N'' adalah terbangkit terbatas, maka ''G'' itu sendiri.
@@ Baris 77: / Baris 75: @@
 Di satu sisi, dengan penggunaan aturan yang berurutan untuk menghitung batas bentuk ''h''<sup>&hairsp;''n''</sup>·''w''<sub>''n''</sub>, batas sisi kanan yang diterapkan ke ''x'' tentu saja merupakan titik tetap dari salah satu konjugat-konjugat ''h''<sub>''i''</sub>. Di sisi lain, batas ini juga harus ''g''<sup>&hairsp;+∞</sup> yang bukan salah satu dari poin ini, yaitu kontradiksi.
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+terbangkit+terbatas&oldid=26495132 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26495132 (2024-11-05T10:40:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26495132; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:34:18Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26495132; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], [[grup (matematika)|grup]] disebut '''terbangkit terbatas''' jika dapat dinyatakan sebagai hasil kali terhingga dari [[subgrup]] [[grup siklik|siklik]]. Sifat terbangkit terbatas juga terkait erat dengan [[subgrup kongruensi#subgrup kongruensi dan grup topologi|masalah subgrup kongruensi]] (lihat ).

== Definisi ==

Grup ''G'' disebut ''terbangkit terbatas'' jika terdapat bilangan bagian terhingga ''S'' dari ''G'' dan [[bilangan bulat]] positif ''m'' sehingga setiap elemen ''g'' dari ''G'' bisa ditunjukkan sebagai hasil kali dari paling banyak ''m'' pangkat dari elemen ''S'':

: <math>g = s_1^{k_1} \cdots s_m^{k_m},</math> dengan <math>s_i \in S</math> dan <math>k_i</math> adalah bilangan bulat.

Himpunan hingga ''S'' menghasilkan ''G'', jadi grup terbangkit terbatas adalah [[grup terbangkit hingga|terbangkit terhingga]].

Definisi yang mirip dengan sebelumnya dapat dinyatakan dalam bentuk subgrup [[grup siklik|siklik]]. Grup ''G'' disebut ''terbangkit terbatas'' jika ada keluarga terhingga ''C''1, …, ''C''''M'' dari subgrup siklik yang belum tentu berbeda sehingga ''G'' = ''C''1…''C''''M'' sebagai suatu himpunan.

== Sifat ==

* Bertingkat secara terbatas tidak terpengaruh dengan meneruskan ke subgrup [[indeks subgrup|indeks hingga]]: jika ''H'' adalah subgrup indeks berhingga dari ''G'' maka ''G'' adalah bertingkat secara hingga jika dan hanya jika ''H'' adalah terbangkit terbatas.
* Bertingkat terbatas masuk ke dalam [[Ekstensi grup|ekstensi]]: jika grup ''G'' memiliki [[subgrup normal]] ''N'' sedemikian rupa sehingga ''N'' dan ''G/N'' adalah terbangkit terbatas, maka ''G'' itu sendiri.
* Setiap [[grup hasil bagi]] dari grup terbangkit terbatas juga merupakan terbangkit terbatas.
* [[Grup torsi]] [[Grup terbangkit hingga|terbangkit terbatas]] tetap ''berhingga'' jika itu merupakan terbangkit terbatas; secara ekuivalen, grup torsi terbangkit terbatas-''tak hingga'' bukan merupakan terbangkit terbatas.

Sebuah ''karakter semu'' pada grup diskrit ''G'' didefinisikan sebagai fungsi bernilai [[bilangan real|real]] ''f'' pada ''G'' sehingga
:''f''(''gh'') − ''f''(''g'') − ''f''(''h'') adalah terbatas seragam dan ''f''(''g''''n'') = ''n''·''f''(''g'').

* [[Ruang vektor]] karakter semu dari grup ''G'' terbangkit terbatas adalah [[dimensi (ruang vektor)|dimensi-hingga]].

== Contoh ==
* Jika ''n'' ≥ 3, maka grup SL''n''('''Z''') yang merupakan terbangkit terbatas dengan ''subgrup dasar''nya'','' dibentuk oleh matriks yang berbeda dari [[matriks identitas]] hanya dalam satu entri ''off-diagonal''. Pada tahun 1984, Carter dan Keller memberikan [[bukti matematika|bukti]] dasar dari hasil tersebut, yang termotivasi oleh pertanyaan dalam [[aljabar teori-K|aljabar ]].
* [[Grup bebas]] pada setidaknya dua pembangkit bukan merupakan terbangkit terbatas (lihat di bawah).
* Grup SL2('''Z''') bukan merupakan terbangkit terbatas, karena berisi subgrup bebas dengan dua generator indeks 12.
* [[Grup hiperbolik Gromov]] merupakan terbangkit terbatas jika dan hanya jika ''siklik virtual'' (atau ''elementer''), yaitu berisi subgrup siklik dari indeks hingga.

== Grup bebas yang bukan merupakan terbangkit secara terbatas ==
Dalam literatur matematika, beberapa penulis telah menyatakan dengan jelas bahwa grup bebas bangkit terhingga bukan merupakan terbangkit terhingga. Bagian ini berisi berbagai cara yang jelas dan kurang jelas untuk membuktikan hal ini. Beberapa metode yang melibatkan [[kohomologi terbatas]] penting karena lebih geometris dibandingkan aljabar, sehingga dapat diterapkan pada kelas grup yang lebih luas, misalnya grup hiperbolik Gromov.

Karena untuk setiap ''n'' ≥ 2, [[grup bebas]] pada ''2 generator'' F2 berisi sebagai grup bebas pada pembangkit ''n'' yaitu F''n'' yang dikenal sebagai subgrup indeks hingga (yang sebenarnya adalah ''n'' − 1), sekali satu grup bebas non-siklik pada banyak generator diketahui yang bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk semuanya. Demikian pula, karena SL2('''Z''') berisi F2 sebagai subgrup indeks 12 yang cukup untuk mempertimbangkan SL2('''Z'''). Dengan kata lain, untuk menunjukkan bahwa tidak ada F''n'' dengan ''n'' ≥ 2 memiliki generasi terbatas, cukup untuk membuktikan ini untuk salah satu dari mereka atau bahkan hanya untuk SL2('''Z''') .

===Kontracontoh Burnside===
Karena generasi terbatas dipertahankan di bawah pengambilan gambar homomorfik, jika satu grup yang terbangkit hingga dengan setidaknya dua generator diketahui bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk grup bebas pada jumlah generator yang sama, dan karenanya untuk semua grup bebas. Untuk menunjukkan bahwa tidak ada gugus bebas (non-siklik) yang memiliki terbangkit terbatas, maka cukup untuk menghasilkan satu contoh dari grup terbangkit hingga yang bukan terbangkit secara terbatas, dan [[grup torsi]] tak hingga yang terbangkit secara terbatas akan berfungsi. Keberadaan grup tersebut merupakan solusi negatif [[Teorema Gold-Shafarevich|Golod dan Shafarevich]] dari [[Masalah Burnside|masalah Burnside umum]] pada tahun 1964; kemudian, contoh eksplisit lain dari grup torsi terbangkit hingga secara tak hingga dikembangkan oleh Aleshin, Olshanskii, dan Grigorchuk yang menggunakan [[teori automata|automata]]. Akibatnya, grup bebas peringkat setidaknya dua bukan termasuk terbangkit secara terbatas.

===Grup simetris===
[[Grup simetris]] S''n'' dapat dihasilkan oleh dua elemen yaitu siklus 2 dan siklus ''n'', sehingga merupakan grup hasil bagi F2. Di sisi lain, mudah untuk menunjukkan bahwa orde maksimal ''M''(''n'') dari sebuah elemen dalam S''n'' memenuhi

: log ''M''(''n'') ≤ ''n''/''e''

dengan ''e'' adalah [[bilangan Euler]] ([[Edmund Landau]] membuktikan perkiraan asimtotik yang lebih tepat log ''M''(''n'') ~ (''n'' log ''n'')1/2). Faktanya jika siklus dalam [[dekomposisi siklus (teori grup)|dekomposisi siklus]] dari [[permutasi]] memiliki panjang ''N''1, ..., ''N''''k'' dengan ''N''1 + ··· + ''N''''k'' = ''n'', maka urutan permutasi membagi hasil kali ''N''1 ··· ''N''''k'', yang pada gilirannya dibatasi oleh (''n''/''k'')''k'', menggunakan [[ketaksamaan purata aritmetika dan geometrik]]. Sebaliknya, (''n''/''x'')''x'' dimaksimalkan ketika ''x'' = ''e''. Jika F2 dapat ditulis sebagai produk dari subgrup siklik ''m'', maka ''n''! harus kurang dari atau sama dengan ''M''(''n'')''m'' untuk semua ''n'' yang bertentangan dengan [[hampiran Stirling|rumus asimtotik Stirling]].

===Geometri hiperbolik===
Ada juga bukti geometris sederhana bahwa ''G'' = SL2('''Z''') tidak dihasilkan secara terbatas. Hal ini [[tindakan grup|bertindak]] dengan [[transformasi Möbius]] pada [[medan setengah atas]] '''H''', dengan [[metrik Poincaré]]. Semua [[penyangga kompak]] [[bentuk-1]] α pada [[ranah fundamental]] dari ''G'' meluas secara unik ke invarian-''G'' bentuk-1 pada ''' H'''. Jika ''z'' adalah '''H''' dan γ adalah [[geodesik]] dari ''z'' ke ''g''(''z''), fungsi didefinisikan oleh

:<math>F(g)\equiv F_{\alpha,z}(g)=\int_{\gamma}\, \alpha</math>

memenuhi kondisi pertama untuk karakter semu karena [[teorema Stokes]]

:<math>F(gh) - F(g)-F(h) = \int_{\Delta}\, d\alpha,</math>

dimana Δ adalah segitiga geodesik dengan simpul ''z'', ''g''(''z'') dan ''h''−1(''z''), dan segitiga geodesik memiliki luas terbatas oleh π. Fungsi yang dihomogenkan

:<math>f_\alpha(g) = \lim_{n\rightarrow \infty} F_{\alpha,z}(g^n)/n</math>

mendefinisikan karakter semu, hanya bergantung pada α. Sebagaimana diketahui dari teori [[sistem dinamik]], orbit apapun (''g''''k''(''z'')) dari [[Transformasi Möbius#Transformasi hiperbolik|elemen hiperbolik]] ''g'' memiliki himpunan batas yang terdiri dari dua titik tetap pada sumbu real diperluas; maka segmen geodesik dari ''z'' ke ''g''(''z'') memotong hanya sedikit translasi domain fundamental. Oleh karena itu mudah untuk memilih α sehingga ''f''α sama dengan satu pada elemen hiperbolik tertentu dan menghilang pada himpunan berhingga elemen hiperbolik lain dengan titik tetap yang berbeda. Karena ''G'' memiliki ruang dimensi tak hingga dari karakter semu, ia tidak dapat dibangkitkan secara terbatas.

Sifat dinamis elemen hiperbolik juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa setiap grup hiperbolik Gromov non-dasar tidak dihasilkan secara terbatas.

===Karakter semu Brooks===
Robert Brooks memberikan skema kombinatorial untuk menghasilkan karakter semu dari grup bebas apa pun F''n''; skema ini kemudian terbukti menghasilkan keluarga pseudokarakter berdimensi tak hingga (lihat ). [[David B. A. Epstein|Epstein]] dan Fujiwara kemudian memperluas hasil ini ke semua kelompok hiperbolik Gromov non-dasar.

=== Batas Gromov ===
Pembuktian [[cerita rakyat]] sederhana ini menggunakan sifat dinamis dari aksi elemen hiperbolik pada [[batas Gromov]] dari [[grup Gromov-hiperbolik]]. Untuk kasus khusus grup bebas F''n'', batas (atau ruang ujung) dapat diidentikkan dengan ruang ''X'' dari [[kata (teori grup)#Kata reduksi|kata reduksi]] [[semi-ketakhinggaan]]

:''g''1 ''g''2 ···

dalam generator dan kebalikannya. Ini memberikan pemadatan alami dari [[pohon (teori graf)|pohon]] yang diberikan oleh [[grafik Cayley]] sehubungan dengan generator. Urutan kata semi-ketakhinggaan konvergen ke kata lain yang serupa asalkan segmen awal sependapat setelah tahap tertentu, sehingga ''X'' salah satu kompak (dan [[termetrikkan]]). Grup bebas bertindak dengan perkalian kiri pada kata-kata semi-ketakhinggaan. Selain itu, setiap elemen ''g'' pada F''n'' memiliki tepat dua titik tetap ''g'' ±∞, yaitu kata-kata ketakhinggaan tereduksi yang diberikan oleh batas ''g''&hairsp;''n'' sebagai ''n'' cenderung ±∞. Selain itu, ''g''&hairsp;''n''·''w'' cenderung ''g'' ±∞ karena ''n'' cenderung ±∞ untuk kata semi-ketakhinggaan ''w''; dan lebih umum jika ''w''''n'' cenderung ''w'' ≠ ''g'' ±∞, lalu ''g''&hairsp;''n''·''w''''n'' cenderung ''g''&hairsp;+∞ sebagai ''n'' cenderung ∞.

Jika F''n'' terbangkit secara hingga dapat ditulis sebagai produk dari grup siklik C''i'' dihasilkan oleh elemen ''h''''i''. Misalkan ''X''0 menjadi [[himpunan bagian]] yang dapat dihitung yang diberikan oleh banyak orbit F''n'' berhingga
dari titik tetap ''h''''i'' ±∞, titik tetap dari ''h''''i'' dan semua konjugatnya. Karena ''X'' tidak terhitung, disitulah adalah elemen ''g'' dengan titik tetap di luar ''X''0 dan titik ''w'' di luar ''X''0 berbeda dari titik tetap ini. Kemudian untuk beberapa suburutan (''g''''m'') dari (''g''''n'')

:''g''''m'' = ''h''1''n''(''m'',1) ··· ''h''''k''''n''(''m'',''k''), dengan masing-masing ''n''(''m'',''i''&hairsp;) konstan atau monoton sempurna.

Di satu sisi, dengan penggunaan aturan yang berurutan untuk menghitung batas bentuk ''h''&hairsp;''n''·''w''''n'', batas sisi kanan yang diterapkan ke ''x'' tentu saja merupakan titik tetap dari salah satu konjugat-konjugat ''h''''i''. Di sisi lain, batas ini juga harus ''g''&hairsp;+∞ yang bukan salah satu dari poin ini, yaitu kontradiksi.

== Referensi ==
*

*

*

*

*

* (see pages 222-229, also available on the [[arXiv|Cornell archive]])

*.

*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+terbangkit+terbatas&oldid=26495132 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26495132 (2024-11-05T10:40:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Grup terbangkit terbatas - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26495132; atribusi sumber disertakan.