Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:55:46Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28806829; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:15:54Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28806829; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[geometri]], '''grup titik''' adalah [[grup (matematika)|grup]] geometris [[simetri]] ([[isometri]]) yang menjaga setidaknya satu titik tetap. Kelompok titik dapat ada dalam [[ruang Euklides]] dengan dimensi apa pun, dan setiap kelompok titik dalam dimensi '' d '' adalah subkelompok dari [[grup ortogonal]] O(''d''). Kelompok titik dapat direalisasikan sebagai himpunan [[matriks ortogonal]] '' M '' yang mengubah titik '' x '' menjadi titik '' y '':

: ''y'' = ''Mx''

dimana asal adalah titik tetap. Elemen kelompok titik dapat berupa [[Rotasi (matematika)|rotasi]] ([[determinan]] dari ''M'' = 1) atau yang lain [[Refleksi (matematika)|refleksi]], atau [[rotasi tidak tepat]] (determinan dari '' M '' = −1).

Kelompok titik diskrit di lebih dari satu dimensi datang dalam keluarga tak berhingga, tetapi dari [[teorema pembatasan kristalografi]] dan [[Grup ruang#Teorema Bieberbach.27s|salah satu teorema Bieberbach]]. setiap jumlah dimensi hanya memiliki jumlah terbatas dari kelompok titik yang simetris di beberapa [[kisi (grup)|kisi]] atau kisi dengan nomor itu. Ini adalah [[grup titik kristalografi]].

== Grup titik kiral dan akiral, grup refleksi ==
Kelompok titik dapat diklasifikasikan ke dalam kelompok '' [[kiral]] '' (atau rotasi murni) dan kelompok '' akiral ''.
Gugus kiral adalah subgrup dari [[grup ortogonal | grup ortogonal khusus]] SO('' d ''): grup ini hanya berisi transformasi ortogonal yang mempertahankan orientasi, yaitu, determinan +1. Gugus akiral juga mengandung transformasi determinan −1. Dalam gugus akiral, transformasi yang mempertahankan orientasi membentuk subgrup (kiral) dari indeks 2.

[[Grup Coxeter Hingga]] atau '' kelompok refleksi '' adalah kelompok titik yang dihasilkan murni oleh sekumpulan cermin pantul yang melewati titik yang sama. Grup peringkat '' n '' Coxeter memiliki mirror '' n '' dan diwakili oleh [[diagram Coxeter-Dynkin]]. [[Notasi Coxeter]] menawarkan notasi tanda kurung yang setara dengan diagram Coxeter, dengan simbol markup untuk rotasi dan grup titik subsimetri lainnya. Kelompok refleksi harus akiral (kecuali untuk grup trivial yang hanya mengandung elemen identitas).

== Daftar grup titik ==

=== Satu dimensi ===
Hanya ada dua grup titik satu dimensi, yaitu grup identitas dan kelompok refleksi.

}||2||Reflection group

=== Dua dimensi ===
[[Grup titik dalam dua dimensi]], terkadang disebut '''grup roset'''.

Mereka datang dalam dua keluarga yang tidak terbatas:
# Grup siklik ''C''''n'' of ''n '' - grup rotasi lipat
# Grup dihedral ''D''''n'' of ''n''-kelompok rotasi dan refleksi lipat
Menerapkan [[teorema pembatasan kristalografi]] membatasi '' n '' ke nilai 1, 2, 3, 4, dan 6 untuk kedua famili, menghasilkan 10 kelompok.

Himpunan bagian dari grup titik pantulan murni, yang ditentukan oleh 1 atau 2 mirror, juga dapat diberikan oleh [[grup Coxeter]] dan poligon terkait. Ini termasuk 5 kelompok kristalografi. Simetri kelompok pantulan dapat digandakan dengan [[isomorphism]], memetakan kedua cermin satu sama lain dengan cermin membagi dua, menggandakan simetri.

=== Tiga dimensi ===

[[Grup titik dalam tiga dimensi]], kadang disebut '''grup titik molekul''' setelah digunakan secara luas dalam mempelajari kesimetrian [[molekul]] kecil.

Mereka datang dalam 7 kelompok tak terbatas dari kelompok aksial atau prismatik, dan 7 kelompok polihedral atau Platonis tambahan. Dalam [[Notasi Schönflies]], *
* Grup aksial: C''n'', S2''n'', C''n''h, C''n''v, D''n'', D''n''d, D''n''h
* [[Grup polihedral]]: T, Td, Th, O, Oh, I, Ih
Menerapkan teorema pembatasan kristalografi ke grup ini menghasilkan 32 [[grup titik kristalografi]].

|

|colspan=2|(*) Ketika entri Intl digandakan, yang pertama untuk genap '' n '', yang kedua untuk ganjil '' n ''.

==== Grup refleksi ====

Kelompok titik refleksi, ditentukan oleh 1 sampai 3 bidang cermin, juga dapat diberikan oleh [[grup Coxeter]] dan polihedra terkait. Grup [3,3] dapat digandakan, ditulis sebagai , memetakan cermin pertama dan terakhir satu sama lain, menggandakan simetri menjadi 48, dan isomorfik ke grup [4,3].

=== Four dimensions ===

The four-dimensional point groups (chiral as well as achiral) are listed in Conway and Smith, Section 4, Tables 4.1-4.3.

The following list gives the four-dimensional reflection groups (excluding those that leave a subspace fixed and that are therefore lower-dimensional reflection groups). Each group is specified as a [[Coxeter group]], and like the [[polyhedral group]]s of 3D, it can be named by its related [[convex regular 4-polytope]]. Related pure rotational groups exist for each with half the order, and can be represented by the bracket [[Coxeter notation]] with a '+' exponent, for example [3,3,3]+ has three 3-fold gyration points and symmetry order 60. Front-back symmetric groups like [3,3,3] and [3,4,3] can be doubled, shown as double brackets in Coxeter's notation, for example with its order doubled to 240.

=== Five dimensions ===

The following table gives the five-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as [[Coxeter group]]s. Related chiral groups exist for each with half the order, and can be represented by the bracket [[Coxeter notation]] with a '+' exponent, for example [3,3,3,3]+ has four 3-fold gyration points and symmetry order 360.

=== Six dimensions ===

The following table gives the six-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as [[Coxeter group]]s. Related pure rotational groups exist for each with half the order, and can be represented by the bracket [[Coxeter notation]] with a '+' exponent, for example [3,3,3,3,3]+ has five 3-fold gyration points and symmetry order 2520.

=== Seven dimensions ===
The following table gives the seven-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as [[Coxeter group]]s. Related chiral groups exist for each with half the order, defined by an [[even number]] of reflections, and can be represented by the bracket [[Coxeter notation]] with a '+' exponent, for example [3,3,3,3,3,3]+ has six 3-fold gyration points and symmetry order 20160.

=== Eight dimensions ===
The following table gives the eight-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as [[Coxeter group]]s. Related chiral groups exist for each with half the order, defined by an [[even number]] of reflections, and can be represented by the bracket [[Coxeter notation]] with a '+' exponent, for example [3,3,3,3,3,3,3]+ has seven 3-fold gyration points and symmetry order 181440.

== Lihat pula ==
* [[Grup titik dalam dua dimensi]]
* [[Grup titik dalam tiga dimensi]]
* [[Gruo titik dalam empat dimensi]]
* [[Kristalografi]]
* [[Grup titik kristalografi]]
* [[Simetri molekul]]
* [[Grup luar angkasa]]
* [[Difraksi sinar-X]]
* [[Kisi Bravais]]
* [[Spektroskopi inframerah dari logam karbonil]]

== Referensi ==

* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]]: ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
** (Paper 23) H. S. M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
* H. S. M. Coxeter and W. O. J. Moser. ''Generators and Relations for Discrete Groups'' 4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980
* [[Norman Johnson (mathematician)|N. W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) Chapter 11: Finite symmetry groups

== Pranala luar ==
*[http://www.reciprocalnet.org/edumodules/symmetry/index.html Web-based point group tutorial] (needs Java and Flash)
*[http://plus.swap-zt.com/2010/06/sieve Subgroup enumeration] (needs Java)
* [http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node9.html The Geometry Center: 2.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (two dimensions)]
* [http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node45.html The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions)]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup+titik&oldid=28806829 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28806829 (2026-01-13T08:53:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Grup titik - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28806829; atribusi sumber disertakan.