Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T08:55:52Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29454681; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:16:21Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29454681; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Himpunan Mandelbrot''' () adalah sebuah [[himpunan (matematika)|himpunan]] dua dimensi yang didefinisikan pada [[bidang kompleks]], terdiri dari bilangan kompleks <math>c</math> sedemikian sehingga fungsi <math>f_c(z)=z^2+c</math> tidak [[Teori kestabilan|menjauh]] menuju tak hingga ketika [[iterasi|diiterasikan]] mulai dari <math>z=0</math>. Dengan kata lain, barisan <math>f_c(0)</math>, <math>f_c(f_c(0))</math>, dan seterusnya, tetap terbatas dalam [[nilai mutlak]].

Himpunan ini pertama kali didefinisikan dan digambar oleh [[Robert W. Brooks]] dan Peter Matelski pada tahun 1978, sebagai bagian dari kajian mengenai [[kelompok Kleinian]]. Kemudian, pada tahun 1980, [[Benoit Mandelbrot]] memperoleh visualisasi berkualitas tinggi atas himpunan ini ketika ia bekerja di [[Thomas J. Watson Research Center]] milik [[IBM]] di [[Yorktown Heights, New York]].

Citra himpunan Mandelbrot menyingkap sebuah [[batas (topologi)|batas]] yang teramat rumit dan tak berujung, di mana detail yang semakin halus dan berulang tersingkap seiring pembesaran diperbesar tanpa batas. Secara matematis, batas himpunan Mandelbrot merupakan sebuah [[kurva fraktal]]. Bentuk rincian berulang ini bergantung pada wilayah batas yang sedang diamati.

Citra himpunan Mandelbrot dapat dibuat dengan mengambil sampel bilangan kompleks dan menguji, untuk setiap titik <math>c</math>, apakah barisan <math>f_c(0), f_c(f_c(0)),\dotsc</math> [[Barisan (matematika)#Terbatas|menjauh ke tak hingga]] atau tetap terbatas. Dengan memperlakukan bagian [[bilangan real]] dan [[bilangan imajiner]] dari <math>c</math> sebagai [[koordinat gambar]] pada bidang kompleks, setiap piksel kemudian dapat diberi warna sesuai dengan seberapa cepat barisan <math>|f_c(0)|, |f_c(f_c(0))|,\dotsc</math> melampaui suatu ambang batas tertentu (ambang ini harus minimal 2, karena −2 adalah bilangan kompleks dengan magnitudo terbesar di dalam himpunan, tetapi selain itu nilai ambang dapat dipilih secara bebas). Jika <math>c</math> dijaga tetap dan nilai awal <math>z</math> yang diubah, maka diperoleh [[himpunan Julia]] yang bersesuaian dengan titik <math>c</math>.

Himpunan Mandelbrot dikenal luas, bahkan di luar ranah matematika, karena memperlihatkan struktur fraktal yang amat rumit dan indah ketika divisualisasikan dan diperbesar, meski didefinisikan dengan aturan yang relatif sederhana. Himpunan ini kerap disebut sebagai contoh dari [[keindahan matematika]].

== Sejarah ==

Himpunan Mandelbrot berawal dari [[dinamika kompleks]], bidang yang pertama kali diselidiki oleh [[matematikawan Prancis]] [[Pierre Fatou]] dan [[Gaston Julia]] pada awal abad ke 20. Fraktal ini pertama kali didefinisikan dan digambar pada tahun 1978 oleh [[Robert W. Brooks]] dan Peter Matelski sebagai bagian dari studi [[kelompok Kleinian]].. Pada tanggal 1 Maret 1980, di [[IBM]] [[Pusat Penelitian Thomas J. Watson]] di [[Yorktown Heights, New York|Yorktown Heights]], [[New York]], [[Benoit Mandelbrot]] pertama kali melihat visualisasi.

Mandelbrot mempelajari [[parameter space]] dari [[polinomial kuadrat]] dalam sebuah artikel yang muncul pada tahun 1980. Studi matematis himpunan Mandelbrot benar-benar dimulai dengan karya ahli matematika [[Adrien Douady]] dan [[John H. Hubbard]] (1985), yang menetapkan banyak properti fundamentalnya dan menamai himpunan tersebut untuk menghormati Mandelbrot atas karyanya yang berpengaruh di [[geometri fraktal]].

Matematikawan [[Heinz-Otto Peitgen]] dan [[Peter Richter]] menjadi terkenal karena mempromosikan set dengan foto, buku (1986), dan pameran tur internasional [[Goethe-Institut]] Jerman (1985).

Artikel sampul pada Agustus 1985 ''[[Scientific American]]'' memperkenalkan [[algoritma]] kepada khalayak luas untuk menghitung himpunan Mandelbrot. Sampulnya menampilkan gambar yang terletak di [https://mandelbrot-svelte.netlify.com/#{%22pos%22:{%22x%22:-0.909,%22y%22:-0.275},%22zoom%22:10000} −0.909 + −0.275 ''i''] dan diciptakan oleh Peitgen et al. Set Mandelbrot menjadi terkenal pada pertengahan 1980 an sebagai komputer [[Demo (pemrograman komputer)|demo grafis]], ketika [[komputer pribadi]] menjadi cukup kuat untuk memplot dan menampilkan set dalam resolusi tinggi.

Karya Douady dan Hubbard bertepatan dengan peningkatan besar minat dalam dinamika kompleks dan [[matematika abstrak]], dan studi tentang himpunan Mandelbrot telah menjadi pusat perhatian bidang ini. Daftar lengkap dari semua orang yang telah berkontribusi pada pemahaman himpunan ini sejak saat itu masih panjang, tetapi akan mencakup [[Mikhail Lyubich]], [[Curtis T. McMullen|Curt McMullen]], [[John Milnor]], [[Mitsuhiro Shishikura]] dan [[Jean-Christophe Yoccoz]].

== Definisi formal ==
Himpunan Mandelbrot adalah himpunan nilai '' c '' di [[bidang kompleks]] yang [[Orbit (dinamika)|orbit]] dari [[Polinomial kuadrat kompleks#Nilai kritikal|nilai kritikal]] z = 0 di bawah [[Iteratal Kuadrat]]

:<math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math>

tetap [[Urutan berbatas|dibatasi]]. Jadi, bilangan kompleks ''c'' adalah anggota himpunan Mandelbrot bila, saat dimulai dengan ''z''0 = 0 dan menerapkan iterasi berulang kali, [[nilai absolut]] dari ''z''''n'' tetap terikat untuk semua ''n'' > 0.

Contohnya, untuk ''c'' = 1, urutannya adalah 0, 1, 2, 5, 26, ..., yang cenderung [[tak terhingga]], jadi 1 bukan merupakan elemen himpunan Mandelbrot. Sebaliknya, untuk ''c''=−1, urutannya adalah 0, −1, 0, −1, 0, ..., yang dibatasi, jadi −1 memang termasuk dalam himpunan.

Set Mandelbrot juga bisa didefinisikan sebagai [[lokus keterhubungan]] dari keluarga [[polinomial]].

== Representasi grafis ==
Representasi grafis dari himpunan Mandelbrot dan strukturnya di area tepi hanya mungkin menggunakan [[komputer]] menggunakan apa yang disebut [[generator fraktal]]. Setiap piksel sesuai dengan nilai <math>c</math> bidang kompleks. Untuk setiap piksel, komputer menentukan apakah urutan terkait divergen atau tidak. Begitu jumlahnya <math>|z_n|</math> eines Anggota berurutan nilai <math>s=2</math> melebihi, jelas bahwa hasilnya divergen. Nomor <math>n</math> langkah [[iterasi]] sampai saat itu dapat berfungsi sebagai ukuran derajat divergensi. Pixel diberi warna sesuai dengan tabel warna yang telah ditentukan sebelumnya yang sesuai dengan setiap nilai <math>n</math> memberikan warna.

Untuk mencapai batas yang harmonis antara warna-warna yang berurutan dari sudut pandang estetika, batas tersebut digunakan dalam praktiknya <math>s</math> bukan nilai sekecil mungkin <math>s=2</math> dipilih, tetapi nilai secara signifikan lebih besar dari <math>2</math>, jika tidak, lebar garis warna akan berosilasi. Semakin besar nilai ini dipilih, semakin baik batas warna yang sesuai dengan [[garis ekuipotensial]], yang dihasilkan ketika himpunan Mandelbrot diinterpretasikan sebagai [[muatan listri|bermuatan listrik]] [[konduktor (fisika)|konduktor]]. Untuk gradien warna kontinu, Seperti pada rangkaian gambar zoom di atas, evaluasi faktor diperlukan di mana <math>s</math> terlampaui saat nilainya dilampaui untuk pertama kalinya.

Karena jumlah langkah iterasi <math>n</math>, setelah itu batasnya <math>s</math> terlampaui, dapat berukuran berapa pun, kriteria penghentian dalam bentuk jumlah langkah iterasi maksimum harus ditentukan. Nilai <math>c</math>, konsekuensi yang belum melebihi batas <math>s</math> setelahnya menjadi <math>\mathbb M</math> diharapkan. Semakin kecil jarak <math>c</math> zu <math>\mathbb M</math> adalah, semakin besar angka <math> n</math> biasanya setelah <math>s</math> terlampaui. Semakin besar pembesaran tepi <math>\mathbb M</math> ditampilkan, semakin besar jumlah maksimum langkah iterasi yang harus dipilih, dan semakin banyak waktu komputasi yang diperlukan. Dapat dilihat bahwa urutan nilai awal <math>c</math> konvergen, perhitungan urutannya bisa diakhiri lebih awal.

Representasi tepi secara grafis sangat menarik <math>\mathbb M</math> dengan kekayaan bentuknya. Semakin besar perbesaran yang dipilih, struktur yang lebih kompleks dapat ditemukan di sana. Dengan [[program komputer]] yang sesuai, tepi ini dapat ditampilkan seperti pada [[mikroskop]] dengan perbesaran apa pun. Hanya dua kebebasan artistik yang ada adalah pemilihan bagian gambar dan penetapan warna pada tingkat divergensi.

Perbesaran sering kali diperlukan untuk memeriksa struktur yang diinginkan, yang tidak dapat dihitung dengan tipe data yang didukung perangkat keras karena keakuratannya yang terbatas. Oleh karena itu, beberapa program berisi tipe data bilangan panjang [[aritmetika]] dengan presisi yang dapat dipilih secara sewenang-wenang. Ini berarti bahwa (hampir) semua faktor pembesaran dimungkinkan.

== Properti dasar ==
Himpunan Mandelbrot adalah [[himpunan kompak]], karena ia [[himpunan tertutup|tertutup]] dan terkandung dalam [[disk tertutup]] dengan radius 2 di sekitar [[Asal (matematika)|asal]]. Lebih khusus lagi, satu poin <math>c</math> termasuk dalam kumpulan Mandelbrot jika dan hanya jika
:<math>|P_c^n(0)|\leq 2</math> untuk semua <math>n\geq 0.</math>

Dengan kata lain, [[nilai absolut]] dari <math>P_c^n(0)</math> harus tetap pada atau di bawah 2 untuk <math>c</math> berada di himpunan Mandelbrot, seolah-olah nilai absolut itu melebihi 2, urutannya akan lolos hingga tak terbatas.

[[Persimpangan (teori himpunan)|persimpangan]] dari <math>M</math> dengan sumbu nyata tepatnya adalah interval [−2, 1/4]. Parameter sepanjang interval ini dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-satu dengan yang ada di [[peta logistik|keluarga logistik]] yang sebenarnya,
:<math>x_{n+1} = r x_n(1-x_n),\quad r\in[1,4].</math>
Korespondensi diberikan oleh

:<math>z = r\left(\frac12 - x\right),
\quad
c = \frac{r}{2}\left(1-\frac{r}{2}\right).</math>

Faktanya, ini memberikan korespondensi antara seluruh [[ruang parameter]] dari keluarga logistik dan yang ada di himpunan Mandelbrot.

Douady dan Hubbard telah menunjukkan bahwa set Mandelbrot adalah [[ruang yang terhubung|terhubung]]. Faktanya, mereka membangun sebuah [[fungsi holomorfik|isomorfisma konformal]] antara komplemen himpunan Mandelbrot dan komplemen [[disk unit tertutup]]. Mandelbrot awalnya menduga bahwa set Mandelbrot adalah [[Terputus (topologi)|terputus]]. Dugaan ini didasarkan pada gambar komputer yang dihasilkan oleh program yang tidak dapat mendeteksi filamen tipis yang menghubungkan berbagai bagian <math>M</math>. Setelah percobaan lebih lanjut, dia merevisi dugaannya, memutuskan itu <math>M</math> harus terhubung. Ada juga bukti [[topologi]] untuk keterhubungan yang ditemukan pada tahun 2001 oleh [[Jeremy Kahn]].

Rumus dinamis untuk [[teorema penyeragaman|penyeragaman]] dari pelengkap himpunan Mandelbrot, yang muncul dari bukti Douady dan Hubbard tentang keterkaitan <math>M</math>, memunculkan [[sinar eksternal]] dari himpunan Mandelbrot. Sinar ini dapat digunakan untuk mempelajari himpunan Mandelbrot dalam istilah kombinatorial dan membentuk tulang punggung [[Jean-Christophe Yoccoz#pekerjaan Matematika]].

[[Batas (topologi)|batas]] dari himpunan Mandelbrot persis [[lokus percabangan]] dari keluarga kuadrat; yaitu, kumpulan parameter <math>c</math> di mana dinamika berubah secara tiba-tiba di bawah perubahan kecil <math> c. </math> Itu dapat dibangun sebagai himpunan batas dari urutan [[kurva aljabar|bidang kurva aljabar]], yang ''kurva Mandelbrot'', dari tipe umum yang dikenal sebagai [[lemniskat polinomial]]. Kurva Mandelbrot ditentukan oleh pengaturan ''p''0 = ''z'', ''p''''n''+1 = ''p''''n''2 + ''z'', dan kemudian menafsirkan kumpulan poin = 2 dalam bidang kompleks sebagai kurva dalam [[Sistem koordinat kartesius|bidang Cartesian]] derajat 2''n''+1 in ''x'' and ''y''. Kurva aljabar ini muncul dalam gambar set Mandelbrot yang dihitung menggunakan "algoritma waktu melarikan diri" yang disebutkan di bawah.

== Perilaku deretan angka ==
Berbagai elemen struktural <math>\mathbb M</math> terkait erat dengan perilaku tertentu dari urutan angka, itu <math>\mathbb M</math> yang mendasari. Bergantung pada nilai <math>c</math>, ada empat kemungkinan:

* Bila nilai [[Nilai batas (urutan)|menyatu]] ke titik tetap.
* Ketika menyatu dengan [[siklus batas]] periodik yang terdiri dari dua atau lebih nilai. Ini juga mencakup kasus di mana urutan berperilaku secara berkala sejak awal.
* Karena hal ini tidak pernah berulang, tetapi tetap terbatas. Beberapa nilai menunjukkan perilaku kacau dengan pergantian antara siklus batas hampir periodik dan perilaku acak.
* Terutama menyimpang menuju tak terbatas ([[nilai batas (urutan)|divergensi tertentu]]).

Semua <math>c</math> nilai yang ''tidak'' pasti dimiliki secara berbeda <math>\mathbb M</math>.

Tabel berikut menunjukkan contoh dari empat perilaku batas iterasi nilai <math>z_{n+1}=z_n^2+c</math> dari <math>z_0=0</math>:

=== Penilaian geometris ===
Konvergensi terjadi tepat untuk nilai <math>c</math> yang menyusun interior [[kardioid]], "tubuh" dari <math>\mathbb M</math>, serta untuk banyak titik batas mereka yang tak terhitung banyaknya. Siklus batas periodik dapat ditemukan pada (kurang lebih) "rintisan" dari nilai melingkar seperti pada "kepala", di kardioid satelit serta di banyak titik tepi komponen ini. Sebuah [[dugaan (matematika)|dugaan]] fundamental mengatakan bahwa ada siklus batas untuk semua titik dalam himpunan Mandelbrot. Urutannya benar-benar pra-periodik untuk banyak parameter yang tak terhitung banyaknya, yang sering disebut [[titik Misiurewicz|Titik Misiurewicz-Thurston]] (setelah [[Michał Misiurewicz]] dan [[William Thurston]]). Ini termasuk "ujung antena" seperti titik <math>z=-2</math> paling kiri dan titik cabang himpunan Mandelbrot.

Dalam banyak titik lain dari himpunan Mandelbrot yang tak terhitung banyaknya, urutan dapat berperilaku dalam berbagai cara, yang masing-masing menghasilkan sistem dinamis yang sangat berbeda dan sebagian menjadi subjek penelitian intensif. Je menurut definisi kata tersebut, perilaku "kacau" dapat ditemukan.

== Properti lainnya ==

== Geometri ==
Kardioid mempunyai periode 1. Lingkaran mempunyai periode selain 1, kecuali mini mandelbrot yang ada di c = -1,75.

== Generalisasi ==

=== Himpunan Multibrot ===
[[Himpunan Multibrot]] adalah himpunan berbatas yang ditemukan di bidang kompleks untuk anggota famili rekursi monik univariat [[polinomial]] umum

:<math> z \mapsto z^d + c.\ </math>

Untuk integer d, himpunan ini adalah lokus keterhubungan untuk himpunan Julia yang dibangun dari rumus yang sama. Lokus keterhubungan kubik penuh juga telah dipelajari; di sini orang menganggap dua parameter berulang <math> z \mapsto z^3 + 3kz + c </math>, yang dua [[titik kritikal (matematika)|titik kritikal]] adalah [[akar kuadrat kompleks]] dari parameter ''k''. Parameter berada dalam lokus keterhubungan kubik jika kedua titik kritis stabil. Untuk famili umum [[holomorphic function]], ''boundary'' dari himpunan Mandelbrot digeneralisasikan ke [[lokus percabangan]], yang merupakan objek alami untuk dipelajari bahkan ketika lokus keterhubungan tidak berguna.

== Lihat pula ==

* [[Buddhabrot]]
* [[Fraktal collatz]]
* [[Fractint]]
* [[Perubahan Gilbreath]]
* [[Mandelbox]]
* [[Mandelbulb]]
* [[Menger Sponge]]
* [[Fraktal Newton]]
* [[Potret orbit]]
* [[Orbit trap]]
* [[Pickover stalk]]

== Referensi ==

== Bacaan lebih lanjut ==
* [[John W. Milnor]], ''Dynamics in One Complex Variable'' (Third Edition), Annals of Mathematics Studies 160, (Princeton University Press, 2006), (First appeared in 1990 as a [https://web.archive.org/web/20060424085751/http://www.math.sunysb.edu/preprints.html Stony Brook IMS Preprint], available as [http://www.arxiv.org/abs/math.DS/9201272 arXiV:math.DS/9201272] )
* Nigel Lesmoir-Gordon, ''The Colours of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals'', (includes a DVD featuring [[Arthur C. Clarke]] and [[David Gilmour]])
* [[Heinz-Otto Peitgen]], [[Hartmut Jürgens]], [[Dietmar Saupe]], ''Chaos and Fractals: New Frontiers of Science'' (Springer, New York, 1992, 2004),

== Pranala luar ==

*
* [http://classes.yale.edu/Fractals/MandelSet/welcome.html The Mandelbrot Set and Julia Sets by Michael Frame, Benoit Mandelbrot, and Nial Neger]
* [http://vimeo.com/12185093 Video: Mandelbrot fractal zoom to 6.066 e228]
* [https://www.youtube.com/watch?v=NGMRB4O922I Relatively simple explanation of the mathematical process, by [[Holly Krieger|Dr Holly Krieger]], MIT]
* [https://mandelbrot-svelte.netlify.com Mandelbrot set images online rendering]
* [https://www.rosettacode.org/wiki/Mandelbrot_set Various algorithms for calculating the Mandelbrot set] (on [[Rosetta Code]])
* [https://github.com/pkulchenko/ZeroBraneEduPack/blob/master/fractal-samples/zplane.lua Fractal calculator written in Lua by Deyan Dobromiroiv, Sofia, Bulgaria]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Himpunan+Mandelbrot&oldid=29454681 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29454681 (2026-07-13T22:51:31Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Himpunan Mandelbrot - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29454681; atribusi sumber disertakan.