Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:04:16Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28447719; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:36:02Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28447719; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''hipotesis Riemann''' merupakan [[Konjektur|dugaan]] bahwa [[fungsi zeta Riemann]] memiliki akar-akar hanya pada bilangan genap negatif dan pada [[bilangan kompleks]] dengan bagian nyata . Banyak yang mengganggap hipotesis ini merupakan [[Daftar masalah yang belum terpecahkan dalam matematika|pertanyaan belum terjawab]] paling penting dalam [[matematika murni]]. Hipotesis ini memiliki peran penting dalam [[teori bilangan]] karena mengimplikasi hasil-hasil mengenai distribusi [[bilangan prima]]. Hipotesis ini diusulkan , dalam tesisnya mengenai distribusi [[bilangan prima]].

Hipotesis Rieman dan beberapa perumumannya, seperti [[konjektur Goldbach]] dan [[Bilangan prima kembar|konjektur prima kembar]], membentuk [[masalah Hilbert kedelapan]] dalam daftar dua puluh tiga masalah belum terjawab [[David Hilbert]]. Hipotesis ini juga termasuk dalam [[Masalah Milenium|daftar masalah Milenium Prize]], yang menawarkan satu juta dollar AS untuk siapapun yang dapat menyelesaikan masalah tersebut.

Persamaan zeta Riemann ζ(''s'') adalah sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dengan [[Argumen dari sebuah fungsi|argumen]] berupa sembarang bilangan kompleks selain 1, dan nilai fungsi tersebut juga berupa bilangan kompleks. Fungsi ini memiliki akar-akar pada bilangan genap negatif; yakni <math>\zeta(s) = 0</math> ketika <math>s</math> bernilai −2, −4, −6, .... Akar-akar ini disebut ''akar-akar sederhana'' (trivial). Fungsi zeta juga memiliki akar pada nilai-nilai <math>s</math> yang lain, yang disebut dengan akar-akar tak-sederhana (nontrivial). Hipotesis Riemann memperhatikan lokasi dari akar-akar tak-sederhana ini, dan menyatakan bahwa:Akibatnya, jika hipotesis ini benar, semua akar tak-sederhana akan terletak pada garis kritis <math>\frac{1}{2} + it</math>, dengan <math>t</math> merupakan [[bilangan real]] dan <math>i</math>adalah [[unit imajiner]].

== Fungsi zeta Riemann ==

Fungsi zeta Riemann terdefinisi pada bilangan kompleks <math>s</math> dengan bagian real lebih besar dari 1, lewat [[deret takhingga]] yang [[Konvergensi absolut|konvergen absolut]]<math display="block">\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.</math>[[Leonhard Euler]] telah mempelajari deret ini pada tahun 1730-an untuk nilai real <math>s</math>, bersamaan dengan solusi mengenai [[masalah Basel]]. Ia juga membuktikan deret itu sama dengan [[Perkalian Euler|darab (perkalian) Euler]]

: <math>\zeta(s) = \prod_{p \text{ prima}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdot \frac{1}{1-11^{-s}} \cdots</math>

dengan [[darab takhingga]] dilakukan atas semua bilangan prima <math>p</math>.

Hipotesis Riemann membahas akar-akar diluar [[daerah konvergensi]] dari deret itu dan darab Euler. Untuk dapat memahami maksud dari hipotesis, diperlukan [[Kontinuasi analitik|kontinuasi (perluasan) analitik]] dari fungsi untuk mendapatkan bentuk yang valid untuk semua bilangan kompleks <math>s</math>. Karena fungsi zeta termasuk [[Fungsi meromofik|meromofik]], semua pilihan cara untuk melakukan kontinuasi analitik ini akan menghasilkan bentuk yang sama, sebagai akibat dari [[teorema identitas]]. Langkah pertama dalam proses kontinuasi ini adalah pengamatan bahwa fungsi zeta dan [[fungsi eta Dirichlet]] memenuhi hubungan

: <math>\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots,</math>

pada daerah konvergensi mereka masing-masing. Akan tetapi, fungsi deret eta pada ruas kanan tidak hanya konvergen untuk bilangan kompleks dengan bagian real lebih besar dari 1, tapi juga untuk sembarang <math>s</math> dengan bagian real positif. Akibatnya, fungsi zeta dapat didefinisikan ulang sebagai <math>\eta(s)/(1-2/2^s)</math>, memperluas domain dari <math>\text{Re}(s)>1</math> menjadi <math>\text{Re}(s)>0</math>, kecuali untuk titik-titik yang menyebabkan <math>1-2/2^s</math> bernilai nol. Titik-titik tersebut memiliki bentuk <math>s = 1 + 2\pi in/\log 2</math> dengan <math>n</math> dapat berupa sembarang [[bilangan bulat]] bukan-nol. Fungsi zeta dapat diperluas lebih lanjut untuk titik-titik tersebut dengan menggunakan limit, menghasilkan nilai yang hingga untuk sembarang nilai <math>s</math> dengan bagian real positif; kecuali untuk [[kutub sederhana]] <math>s=1</math>.

Pada daerah berbentuk pita <math>0<\text{Re}(s)<1</math>, perluasan dari fungsi zeta ini akan memenuhi persamaan fungsional

: <math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).</math>

Fungsi <math>\zeta(s)</math> juga dapat didefinisikan untuk bilangan kompleks <math>s</math> yang tersisa (yakni <math>\text{Re}(s)\leq0</math> dan <math>s\neq0</math>) dengan menggunakan fungsi ini di luar pita, lalu membuat <math>\zeta(s)</math> bernilai sama dengan ruas kanan kapanpun <math>s</math> memenuhi <math>\text{Re}(s)\leq0</math> (dan <math>s\neq0</math>).

Jika <math>s</math> merupakan bilangan genap negatif, maka <math>\zeta(s)=0</math> karena faktor <math display="inline">\sin(\frac{\pi s}{2})</math> bernilai nol; ini adalah ''akar-akar sederhana'' dari fungsi zeta. Argumen ini tidak berlaku ketika <math>s</math> berupa bilangan genap positif karena akar dari fungsi [[Sinus dan kosinus|sinus]] tercoret dengan kutub-kutub dari [[fungsi gamma]]. Nilai <math display="inline">\zeta(s)=-\frac{1}{2}</math> tidak terdefinisi lewat [[persamaan fungsional]], tetapi lewat nilai limit <math>\zeta(s)</math> ketika <math>s</math> menuju nol. Persamaan fungsional juga menyimpulkan bahwa fungsi zeta tidak memiliki akar pada titik-titik selain akar-akar sederhana; mengartikan semua akar-akar tak-sederhana terletak pada pita kritis <math>0<\text{Re}(s)<1</math>.

== Catatan ==

== Referensi ==
Terdapat beberapa buku nonteknis mengenai hipotesis Riemann, seperti , , , , dan . Buku-buku seperti , , , dan memberikan pengenalan secara matematis, sedangkan , dan berupa [[monografi]] yang lebih lanjut.

*
*
*
*
* Reprinted in .
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* Reprinted in .
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* Reprinted in .
* Reprinted in .
*
* Reprinted in .
* [https://www.jstor.org/stable/2003098 Review]
*
* . Reprinted 1990, ,
*
* (Reprinted by Dover 2003)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*.
*
*
*
*
*
* Reprinted in .
*
* .
* .
*
*
*
*
* This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
*
*
*
*
*
*
* . In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). [http://www.claymath.org/publications/riemanns-1859-manuscript/ Original manuscript] (with English translation). Reprinted in and
*
*
*
* ; see also [https://terrytao.wordpress.com/2018/01/19/the-de-bruijn-newman-constant-is-non-negativ/ announcement on Tao's blog], January 19, 2018
*
*
*
* Reprinted in .
*
*
*
*
*
*
*
* Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* Reprinted in .
*
*
* Reprinted in .
*
* Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil
*
*
*
*

=== Eksposisi populer ===

*
*
*
*
*
*
* [[Edward Frenkel|Frenkel, Edward]] (2014), [https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo The Riemann Hypothesis] [[Numberphile]], Mar 11, 2014 (video)

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotesis+Riemann&oldid=28447719 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28447719 (2025-11-13T06:09:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Hipotesis Riemann - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28447719; atribusi sumber disertakan.