Homomorfisme - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:57:08Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.57
Baris 4:		Baris 4:
	Homomorfisme adalah peta antara dua [[struktur aljabar]] dari tipe yang sama (yaitu dengan nama yang sama), yang mempertahankan [[operasi (matematika)\|operasi]] dari struktur. Artinya adalah [[peta (matematika)\|peta]] <math>f: A \to B</math> antara dua [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] <math>A</math>, <math>B</math> dilengkapi dengan struktur yang sama sehingga, jika <math>\cdot</math> adalah operasi struktur (seharusnya di sini, untuk penyederhanaan, menjadi [[operasi biner]]), setelah itu		Homomorfisme adalah peta antara dua [[struktur aljabar]] dari tipe yang sama (yaitu dengan nama yang sama), yang mempertahankan [[operasi (matematika)\|operasi]] dari struktur. Artinya adalah [[peta (matematika)\|peta]] <math>f: A \to B</math> antara dua [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] <math>A</math>, <math>B</math> dilengkapi dengan struktur yang sama sehingga, jika <math>\cdot</math> adalah operasi struktur (seharusnya di sini, untuk penyederhanaan, menjadi [[operasi biner]]), setelah itu
	:<math>f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)</math>		:<math>f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)</math>
	untuk setiap pasangan <math>x</math>, <math>y</math> elemen <math>A</math>. Sering dikatakan bahwa <math>f</math> mempertahankan operasi atau serasi dengan operasi tersebut.		untuk setiap pasangan <math>x</math>, <math>y</math> elemen <math>A</math>.<ref>Seperti yang sering terjadi, tetapi tidak selalu, simbol yang sama untuk operasi A dan B digunakan di sini.</ref> Sering dikatakan bahwa <math>f</math> mempertahankan operasi atau serasi dengan operasi tersebut.

	Secara formal, peta <math>f: A\to B</math> mempertahankan operasi <math>\mu</math> dari [[ariti]] ''k'', ditentukan pada <math>A</math> dan <math>B</math> jika		Secara formal, peta <math>f: A\to B</math> mempertahankan operasi <math>\mu</math> dari [[ariti]] ''k'', ditentukan pada <math>A</math> dan <math>B</math> jika
	:<math>f(\mu_A(a_1, \ldots, a_k)) = \mu_B(f(a_1), \ldots, f(a_k)),</math>		:<math>f(\mu_A(a_1, \ldots, a_k)) = \mu_B(f(a_1), \ldots, f(a_k)),</math>
	untuk elemen <math>a_1, ..., a_k</math> pada <math>A</math>.		untuk elemen <math>a_1, ..., a_k</math> pada <math>A</math>.

Baris 16:		Baris 16:
	memadai		memadai
	:<math>e^{x+y} = e^xe^y,</math>		:<math>e^{x+y} = e^xe^y,</math>
	dan dengan demikian merupakan homomorfisme antara kedua grup ini. Ia bahkan merupakan keisomorfan (lihat di bawah), karena [[fungsi invers]], [[logaritma natural]], memenuhi		dan dengan demikian merupakan homomorfisme antara kedua grup ini. Ia bahkan merupakan keisomorfan (lihat di bawah), karena [[fungsi invers]], [[logaritma natural]], memenuhi
	:<math>\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y), </math>		:<math>\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y), </math>
	dan juga grup homomorfisme.		dan juga grup homomorfisme.

	== Contoh ==		== Contoh ==


	[[Bilangan real]] adalah [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]], yang memiliki penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 [[matriks (matematika)\|matriks]] juga merupakan cincin, terhadap [[penambahan matriks]] dan [[perkalian matriks]]. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini sebagai berikut:		[[Bilangan real]] adalah [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]], yang memiliki penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 [[matriks (matematika)\|matriks]] juga merupakan cincin, terhadap [[penambahan matriks]] dan [[perkalian matriks]]. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini sebagai berikut:
	:<math>f(r) = \begin{pmatrix}		:<math>f(r) = \begin{pmatrix}
Baris 66:		Baris 64:

	=== Isomorfisme ===		=== Isomorfisme ===
	Sebuah [[isomorfisme]] antara [[struktur aljabar]] dengan tipe yang sama umumnya didefinisikan sebagai homomorfisme [[bijektif]].		Sebuah [[isomorfisme]] antara [[struktur aljabar]] dengan tipe yang sama umumnya didefinisikan sebagai homomorfisme [[bijektif]].<ref>Garrett Birkhoff. ''Lattice theory''. American Mathematical Society. 1967. Vol. 25. ISBN 978-0-8218-1025-5.</ref> <ref>Stanley N. Burris. [http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf A Course in Universal Algebra]. 2012. ISBN 978-0-9880552-0-9.</ref>

	Dalam konteks yang lebih umum dari [[teori kategori]], isomorfisme didefinisikan sebagai [[morfisme]], yang memiliki [[fungsi invers\|invers]] yang juga merupakan morfisme. Dalam kasus khusus struktur aljabar, kedua definisi tersebut setara, meskipun mungkin berbeda untuk struktur takaljabar, yang memiliki himpunan yang mendasarinya.		Dalam konteks yang lebih umum dari [[teori kategori]], isomorfisme didefinisikan sebagai [[morfisme]], yang memiliki [[fungsi invers\|invers]] yang juga merupakan morfisme. Dalam kasus khusus struktur aljabar, kedua definisi tersebut setara, meskipun mungkin berbeda untuk struktur takaljabar, yang memiliki himpunan yang mendasarinya.

	Lebih tepatnya, jika		Lebih tepatnya, jika
	:<math>f: A\to B</math>		:<math>f: A\to B</math>
	adalah (homo)morfisme, ia memiliki kebalikan jika ada homomorfisme		adalah (homo)morfisme, ia memiliki kebalikan jika ada homomorfisme
Baris 86:		Baris 84:

	=== Keendomorfan ===		=== Keendomorfan ===
	Sebuah [[keendomorfan]] adalah homomorfisme yang [[Ranah fungsi\|ranah]] sama dengan [[kodomain]], atau, lebih umum lagi, [[morfisme]] yang sumbernya sama dengan target.		Sebuah [[keendomorfan]] adalah homomorfisme yang [[Ranah fungsi\|ranah]] sama dengan [[kodomain]], atau, lebih umum lagi, [[morfisme]] yang sumbernya sama dengan target.<ref>Garrett Birkhoff. ''Lattice theory''. American Mathematical Society. 1967. Vol. 25. ISBN 978-0-8218-1025-5.</ref>

	Keendomorfan struktur aljabar, atau objek dari [[kategori (matematika)\|kategori]] membentuk [[monoid]] terhadap komposisi.		Keendomorfan struktur aljabar, atau objek dari [[kategori (matematika)\|kategori]] membentuk [[monoid]] terhadap komposisi.

	Keendomorfan dari [[ruang vektor]] atau [[modul (matematika)\|modul]] membentuk [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]]. Dalam kasus ruang vektor atau [[modul gratis]] berhingga [[dimensi (ruang vektor)\|dimensi]], pilihan [[basis (ruang vektor)\|basis]] menginduksi [[keisomorfan gelanggang]] antara gelanggang keendomorfan dan gelanggang [[matriks persegi]] dengan dimensi yang sama.		Keendomorfan dari [[ruang vektor]] atau [[modul (matematika)\|modul]] membentuk [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]]. Dalam kasus ruang vektor atau [[modul gratis]] berhingga [[dimensi (ruang vektor)\|dimensi]], pilihan [[basis (ruang vektor)\|basis]] menginduksi [[keisomorfan gelanggang]] antara gelanggang keendomorfan dan gelanggang [[matriks persegi]] dengan dimensi yang sama.


	== Kernel ==		== Kernel ==


	Homomorfisme <math>f: X \to Y</math> mendefinisikan sebuah [[Relasi ekuivalensi\|hubungan kesetaraan]] <math>\sim</math> pada <math> X </math> pada <math>a \sim b</math> jika dan hanya jika <math>f(a) = f(b)</math>. Relasi <math>\sim</math> disebut '''kernel''' dari <math> f </math>. Ini adalah [[hubungan kongruensi]] di <math> X </math>. [[Himpunan hasil]] <math>X/{\sim}</math> kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama seperti <math> X </math>, secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh <math>[x] \ast [y] = [x \ast y]</math>, untuk setiap operasi <math>\ast</math> dari <math> X </math>. Dalam hal ini, gambar <math> X </math> di <math> Y </math> terhadap homomorfisme <math> f </math> harus [[isomorfik]] menjadi <math>X/\!\sim</math>; fakta ini adalah salah satu [[teorema isomorfisme]].		Homomorfisme <math>f: X \to Y</math> mendefinisikan sebuah [[Relasi ekuivalensi\|hubungan kesetaraan]] <math>\sim</math> pada <math> X </math> pada <math>a \sim b</math> jika dan hanya jika <math>f(a) = f(b)</math>. Relasi <math>\sim</math> disebut '''kernel''' dari <math> f </math>. Ini adalah [[hubungan kongruensi]] di <math> X </math>. [[Himpunan hasil]] <math>X/{\sim}</math> kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama seperti <math> X </math>, secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh <math>[x] \ast [y] = [x \ast y]</math>, untuk setiap operasi <math>\ast</math> dari <math> X </math>. Dalam hal ini, gambar <math> X </math> di <math> Y </math> terhadap homomorfisme <math> f </math> harus [[isomorfik]] menjadi <math>X/\!\sim</math>; fakta ini adalah salah satu [[teorema isomorfisme]].

Baris 101:		Baris 96:

	== Struktur relasional ==		== Struktur relasional ==

	Dalam [[teori model]], pengertian struktur aljabar dirampatkan ke struktur yang melibatkan operasi dan relasi. Misalkan <math>L</math> menjadi tanda tangan yang terdiri dari simbol fungsi dan relasi, dan struktur <math>A</math>, <math>B</math> menjadi dua struktur-<math>L</math>. Kemudian '''homomorfisme''' dari <math>A</math> ke <math>B</math> adalah pemetaan <math>h</math> dari ranah <math>A</math> ke ranah <math>B</math> sedemikian rupa sehingga		Dalam [[teori model]], pengertian struktur aljabar dirampatkan ke struktur yang melibatkan operasi dan relasi. Misalkan <math>L</math> menjadi tanda tangan yang terdiri dari simbol fungsi dan relasi, dan struktur <math>A</math>, <math>B</math> menjadi dua struktur-<math>L</math>. Kemudian '''homomorfisme''' dari <math>A</math> ke <math>B</math> adalah pemetaan <math>h</math> dari ranah <math>A</math> ke ranah <math>B</math> sedemikian rupa sehingga
	* <math>h(F^A (a_1,\dots,a_n)) = F^B(h(a_1),\dots,h(a_n))</math> untuk setiap simbol fungsi ''ary''-<math>n</math> dari <math>F</math> dalam <math>L</math>,		* <math>h(F^A (a_1,\dots,a_n)) = F^B(h(a_1),\dots,h(a_n))</math> untuk setiap simbol fungsi ''ary''-<math>n</math> dari <math>F</math> dalam <math>L</math>,
	* <math>R^A(a_1,\dots,a_n)</math> menyiratkan <math>R^B(h(a_1),\dots,h(a_n))</math> untuk setiap simbol relasi ''ary''-<math>n</math>dari <math>R</math>dalam <math>L</math>.		* <math>R^A(a_1,\dots,a_n)</math> menyiratkan <math>R^B(h(a_1),\dots,h(a_n))</math> untuk setiap simbol relasi ''ary''-<math>n</math>dari <math>R</math>dalam <math>L</math>.
	Dalam kasus khusus dengan hanya satu relasi biner, kita mendapatkan gagasan tentang sebuah [[homomorfisme graf]]. Untuk pembahasan rinci tentang homomorfisme relasional dan isomorfisme lihat.		Dalam kasus khusus dengan hanya satu relasi biner, kita mendapatkan gagasan tentang sebuah [[homomorfisme graf]]. Untuk pembahasan rinci tentang homomorfisme relasional dan isomorfisme lihat.<ref>Section 17.4, in Gunther Schmidt, 2010. ''Relational Mathematics''. Cambridge University Press,</ref>

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
Baris 115:		Baris 109:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Kutipan ==		== Kutipan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
	*		<references />
	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfisme&oldid=22244781 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22244781 (2022-12-04T11:34:43Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfisme&oldid=22244781 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22244781 (2022-12-04T11:34:43Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22244781; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:19:16Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22244781; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar abstrak]], '''homomorfisme''' atau '''kehomomorfan''' () adalah struktur peta yang menghubungkan dua [[struktur aljabar]]. Setiap homomorfisme pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari ranah homomorfisme ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisme baru yang disebut homomorfisma natural.

== Definisi ==
Homomorfisme adalah peta antara dua [[struktur aljabar]] dari tipe yang sama (yaitu dengan nama yang sama), yang mempertahankan [[operasi (matematika)|operasi]] dari struktur. Artinya adalah [[peta (matematika)|peta]] <math>f: A \to B</math> antara dua [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>A</math>, <math>B</math> dilengkapi dengan struktur yang sama sehingga, jika <math>\cdot</math> adalah operasi struktur (seharusnya di sini, untuk penyederhanaan, menjadi [[operasi biner]]), setelah itu
:<math>f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)</math>
untuk setiap pasangan <math>x</math>, <math>y</math> elemen <math>A</math>. Sering dikatakan bahwa <math>f</math> mempertahankan operasi atau serasi dengan operasi tersebut.

Secara formal, peta <math>f: A\to B</math> mempertahankan operasi <math>\mu</math> dari [[ariti]] ''k'', ditentukan pada <math>A</math> dan <math>B</math> jika
:<math>f(\mu_A(a_1, \ldots, a_k)) = \mu_B(f(a_1), \ldots, f(a_k)),</math>
untuk elemen <math>a_1, ..., a_k</math> pada <math>A</math>.

Operasi yang harus dipertahankan oleh homomorfisme meliputi [[Fungsi 0-ari|Operasi 0-ari]], yaitu konstanta. Secara khusus, ketika [[elemen identitas]] diperlukan oleh jenis struktur, elemen identitas dari struktur pertama harus dipetakan ke elemen identitas yang sesuai dari struktur kedua.

Notasi untuk operasi tidak harus sama dalam sumber dan target homomorfisme. Misalnya, [[bilangan real]] membentuk kelompok untuk penjumlahan, dan bilangan real positif membentuk kelompok untuk perkalian. [[Fungsi eksponensial]]
:<math>x\mapsto e^x</math>
memadai
:<math>e^{x+y} = e^xe^y,</math>
dan dengan demikian merupakan homomorfisme antara kedua grup ini. Ia bahkan merupakan keisomorfan (lihat di bawah), karena [[fungsi invers]], [[logaritma natural]], memenuhi
:<math>\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y), </math>
dan juga grup homomorfisme.

== Contoh ==

[[Bilangan real]] adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], yang memiliki penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 [[matriks (matematika)|matriks]] juga merupakan cincin, terhadap [[penambahan matriks]] dan [[perkalian matriks]]. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini sebagai berikut:
:<math>f(r) = \begin{pmatrix}
r & 0 \\
0 & r
\end{pmatrix}</math>
di mana adalah bilangan real, maka <math>f</math> adalah homomorfisme gelanggang, karena <math>f</math> mempertahankan kedua penjumlahan:
:<math>f(r+s) = \begin{pmatrix}
r+s & 0 \\
0 & r+s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
r & 0 \\
0 & r
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
s & 0 \\
0 & s
\end{pmatrix} = f(r) + f(s)</math>
dan perkalian:
:<math>f(rs) = \begin{pmatrix}
rs & 0 \\
0 & rs
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
r & 0 \\
0 & r
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
s & 0 \\
0 & s
\end{pmatrix} = f(r)\,f(s).</math>

Untuk contoh lain, bukan-nol [[bilangan kompleks]] membentuk [[kelompok (matematika)|kelompok]] terhadap operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. (Nol harus dikeluarkan dari kedua grup karena tidak memiliki [[invers perkalian]], yang diperlukan untuk elemen grup.) Tentukan sebuah fungsi <math>f</math> dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan real bukan nol dengan
:<math>f(z) = |z|</math>.
Artinya, <math>f</math> adalah [[nilai mutlak]] (atau modulus) dari bilangan kompleks <math>z</math>. Maka <math>f</math> adalah homomorfisme kelompok, karena mempertahankan perkalian:
:<math>f(z_1 z_2) = |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = f(z_1) f(z_2)</math>.
Perhatikan bahwa tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan real), karena tidak mempertahankan penambahan:
:<math>|z_1 + z_2| \ne |z_1| + |z_2|</math>.

Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme [[monoid]] <math>f</math> dari monoid <math>(\mathbb{N}, +, 0)</math> ke monoid <math>(\mathbb{N}, \times, 1)</math>. Karena nama berbeda dari operasi terkait, sifat pelestarian struktur yang dipenuhi oleh <math> f </math> berjumlah <math>f(x+y) = f(x) \times f(y)</math> dan <math>f(0) = 1</math>.

Sebuah [[komposisi aljabar]] <math> A </math> di atas bidang <math> F </math> memiliki [[bentuk kuadrat]], yang disebut ''norma'', <math>N: A \to F</math>, yang merupakan homomorfisme grup dari [[grup perkalian]] dari <math> A </math> ke grup perkalian dari <math> F </math>.

== Homomorfisme khusus ==
Beberapa jenis homomorfisme memiliki nama tertentu, yang juga didefinisikan untuk [[morfisme]] umum.

=== Isomorfisme ===
Sebuah [[isomorfisme]] antara [[struktur aljabar]] dengan tipe yang sama umumnya didefinisikan sebagai homomorfisme [[bijektif]].

Dalam konteks yang lebih umum dari [[teori kategori]], isomorfisme didefinisikan sebagai [[morfisme]], yang memiliki [[fungsi invers|invers]] yang juga merupakan morfisme. Dalam kasus khusus struktur aljabar, kedua definisi tersebut setara, meskipun mungkin berbeda untuk struktur takaljabar, yang memiliki himpunan yang mendasarinya.

Lebih tepatnya, jika
:<math>f: A\to B</math>
adalah (homo)morfisme, ia memiliki kebalikan jika ada homomorfisme
:<math>g: B\to A</math>
such that
:<math>f\circ g = \operatorname{Id}_B</math> dan <math>\qquad g\circ f = \operatorname{Id}_A</math>.

Jika <math> A </math> dan <math> B </math> memiliki himpunan yang mendasari, dan <math>f: A \to B</math> memiliki invers <math> g </math>, maka <math> f </math> adalah bijektif. Faktanya, <math> f </math> adalah [[injeksi]], seperti <math>f(x) = f(y)</math> menyiratkan <math>x = g(f(x)) = g(f(y)) = y</math>, dan <math> f </math> adalah [[Dugaan (matematika)|dugaan]], karena, untuk <math> x </math> mana pun di <math> B </math>, salah satunya memiliki <math>x = f(g(x))</math>, dan <math> x </math> adalah gambar dari elemen <math> A </math>.

Sebaliknya jika <math>f: A \to B</math> adalah homomorfisme bijektif antara struktur aljabar, misalkan <math>g: B \to A</math> jadilah peta sedemikian rupa sehingga <math> g(y) </math> adalah elemen unik <math> x </math> dari <math> A </math> sedemikian rupa sehingga <math>f(x) = y</math>. Salah satunya memiliki <math>f \circ g = \operatorname{Id}_B</math> dan <math>g \circ f = \operatorname{Id}_A</math>, dan tetap hanya untuk menunjukkan bahwa <math>g</math> adalah homomorfisme. Jika <math> * </math> adalah operasi biner dari struktur, untuk setiap pasangan <math> x </math>, <math> y </math> elemen <math> B </math>, salah satunya memiliki
:<math>g(x*_B y) = g(f(g(x))*_Bf(g(y))) = g(f(g(x)*_A g(y))) = g(x)*_A g(y),</math>
dan <math> g </math> karenanya serasi dengan <math> *. </math> Karena buktinya serupa untuk [[ariti]] mana pun, ini menunjukkan bahwa <math> g </math> adalah homomorfisme.

Bukti ini tidak berlaku untuk struktur takaljabar. Misalnya, untuk [[ruang topologi]], morfisme adalah [[peta kontinu]], dan kebalikan dari peta kontinu bijektif tidak selalu kontinu. Sebuah isomorfisme ruang topologi, yang disebut [[homeomorphism]] atau [[fungsi dua kali lipat|peta bikontinu]], dengan demikian merupakan peta kontinu bijektif, yang kebalikannya juga kontinu.

=== Keendomorfan ===
Sebuah [[keendomorfan]] adalah homomorfisme yang [[Ranah fungsi|ranah]] sama dengan [[kodomain]], atau, lebih umum lagi, [[morfisme]] yang sumbernya sama dengan target.

Keendomorfan struktur aljabar, atau objek dari [[kategori (matematika)|kategori]] membentuk [[monoid]] terhadap komposisi.

Keendomorfan dari [[ruang vektor]] atau [[modul (matematika)|modul]] membentuk [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Dalam kasus ruang vektor atau [[modul gratis]] berhingga [[dimensi (ruang vektor)|dimensi]], pilihan [[basis (ruang vektor)|basis]] menginduksi [[keisomorfan gelanggang]] antara gelanggang keendomorfan dan gelanggang [[matriks persegi]] dengan dimensi yang sama.

== Kernel ==

Homomorfisme <math>f: X \to Y</math> mendefinisikan sebuah [[Relasi ekuivalensi|hubungan kesetaraan]] <math>\sim</math> pada <math> X </math> pada <math>a \sim b</math> jika dan hanya jika <math>f(a) = f(b)</math>. Relasi <math>\sim</math> disebut '''kernel''' dari <math> f </math>. Ini adalah [[hubungan kongruensi]] di <math> X </math>. [[Himpunan hasil]] <math>X/{\sim}</math> kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama seperti <math> X </math>, secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh <math>[x] \ast [y] = [x \ast y]</math>, untuk setiap operasi <math>\ast</math> dari <math> X </math>. Dalam hal ini, gambar <math> X </math> di <math> Y </math> terhadap homomorfisme <math> f </math> harus [[isomorfik]] menjadi <math>X/\!\sim</math>; fakta ini adalah salah satu [[teorema isomorfisme]].

Ketika struktur aljabar adalah [[grup (matematika)|grup]] untuk beberapa operasi, [[Relasi ekuivalensi|hubungan kesetaraan]] <math> K </math> dari [[elemen identitas]] operasi ini cukup untuk menandai hubungan kesetaraan. Dalam hal ini, hasil bagi dengan hubungan kesetaraan dilambangkan dengan <math>X/K</math> (biasanya dibaca sebagai "<math> X </math> [[Ideal (teori gelanggang)|mod]] <math> K </math>"). Juga dalam kasus ini, ini adalah <math> K </math>, bukan <math>\sim</math>, yang disebut [[kernel (aljabar)|kernel]] dari <math> f </math>. Kernel homomorfisme dari jenis struktur aljabar tertentu secara alami dilengkapi dengan beberapa struktur. Jenis struktur kernel ini sama dengan struktur yang dipertimbangkan, dalam kasus [[grup abelian]], [[ruang vektor]] dan [[modul (matematika)|modul]], tetapi berbeda dan telah menerima nama tertentu dalam kasus lain, seperti [[subgrup normal]] untuk kernel [[homomorfisme grup]] dan [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] untuk kernel [[homomorfisme gelanggang]] (dalam kasus gelanggang takkomutatif, kernel adalah [[ideal dua sisi]]).

== Struktur relasional ==

Dalam [[teori model]], pengertian struktur aljabar dirampatkan ke struktur yang melibatkan operasi dan relasi. Misalkan <math>L</math> menjadi tanda tangan yang terdiri dari simbol fungsi dan relasi, dan struktur <math>A</math>, <math>B</math> menjadi dua struktur-<math>L</math>. Kemudian '''homomorfisme''' dari <math>A</math> ke <math>B</math> adalah pemetaan <math>h</math> dari ranah <math>A</math> ke ranah <math>B</math> sedemikian rupa sehingga
* <math>h(F^A (a_1,\dots,a_n)) = F^B(h(a_1),\dots,h(a_n))</math> untuk setiap simbol fungsi ''ary''-<math>n</math> dari <math>F</math> dalam <math>L</math>,
* <math>R^A(a_1,\dots,a_n)</math> menyiratkan <math>R^B(h(a_1),\dots,h(a_n))</math> untuk setiap simbol relasi ''ary''-<math>n</math>dari <math>R</math>dalam <math>L</math>.
Dalam kasus khusus dengan hanya satu relasi biner, kita mendapatkan gagasan tentang sebuah [[homomorfisme graf]]. Untuk pembahasan rinci tentang homomorfisme relasional dan isomorfisme lihat.

== Lihat pula ==
* [[Fungsi kontinu]]
* [[Difeomorphism]]
* [[Enkripsi homomorfik]]
* [[Pembagian rahasia homomorfik]] - protokol pemungutan suara terdesentralisasi yang sederhana
* [[Morfisme]]

== Catatan ==

== Kutipan ==

== Referensi ==
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfisme&oldid=22244781 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22244781 (2022-12-04T11:34:43Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.