Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-27T04:03:09Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 27 Agustus 2026 04.03
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[Teori peluang\|teori probabilitas]], '''hukum logaritma berulang''' menggambarkan seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sebuah [[Langkah acak\|pergerakan acak]]. Pernyataan asli dari hukum ini pertama kali dikemukakan oleh A. Ya. Khinchin pada tahun 1924. Pernyataan lain yang lebih umum kemudian diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov\|AN Kolmogorov]] pada tahun 1929.		[[File:Law_of_large_numbers.gif\|thumb\|right\|280px\|Plot dari S_n/n (merah), simpangan bakunya 1/\sqrt{n} (biru) dan batasnya \sqrt{2\log\log n/n} sesuai dengan LIL (hijau). Perhatikan bagaimana nilainya secara acak berpindah dari batas atas ke batas bawah. Kedua sumbu pada grafik ini telah diubah secara non-linier (seperti dijelaskan dalam ringkasan gambar) untuk membuat pola ini lebih mudah terlihat]]

			Dalam [[Teori peluang\|teori probabilitas]], '''hukum logaritma berulang''' menggambarkan seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sebuah [[Langkah acak\|pergerakan acak]]. Pernyataan asli dari hukum ini pertama kali dikemukakan oleh A. Ya. Khinchin pada tahun 1924.<ref>[./Aleksandr_Khinchin A. Khinchine]. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", ''[./Fundamenta_Mathematicae Fundamenta Mathematicae]'' 6 (1924): pp. 9–20 ''(The author's name is shown here in an alternate transliteration.)''</ref> Pernyataan lain yang lebih umum kemudian diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov\|AN Kolmogorov]] pada tahun 1929.<ref>[./Andrey_Kolmogorov A. Kolmogoroff]. [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235181684_0101 "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus"]. ''Mathematische Annalen'', 101: 126–135, 1929.</ref>

	== Pernyataan ==		== Pernyataan ==
Baris 5:		Baris 7:

	: <math>		: <math>
	\limsup_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n \log\log n}} = 1 \quad \text{a.s.},		\limsup_{n \to \infty} \frac{\|S_n\|}{\sqrt{2n \log\log n}} = 1 \quad \text{a.s.},
	</math>		</math>
	Di sini, "log" adalah [[Logaritma alami\|logaritma natural]], "lim sup" menyatakan ''limit superior'', dan "a.s." berarti "[[hampir pasti]]" (''almost surely'').		Di sini, "log" adalah [[Logaritma alami\|logaritma natural]], "lim sup" menyatakan ''limit superior'', dan "a.s." berarti "[[hampir pasti]]" (''almost surely'').<ref>Leo Breiman. ''Probability''. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (See Sections 3.9, 12.9, and 12.10; Theorem 3.52 specifically.)</ref><ref>R. Durrett. ''Probability: Theory and Examples''. Fourth edition published by Cambridge University Press in 2010. (See Theorem 8.8.3.)</ref>

	Pernyataan lain yang diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov\|A. N. Kolmogorov]] pada 1929 sebagai berikut.		Pernyataan lain yang diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov\|A. N. Kolmogorov]] pada 1929<ref>[./Andrey_Kolmogorov A. Kolmogoroff]. [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235181684_0101 "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus"]. ''Mathematische Annalen'', 101: 126–135, 1929.</ref> sebagai berikut.

	Misalkan <math> \{ Y_n \} </math> adalah variabel acak yang saling bebas, memiliki nilai harapan nol, dan varians hingga. Misalkan: <math> S_n = Y_1 + \dots + Y_n </math> dan <math> B_n = \operatorname{Var}(Y_1) + \dots + \operatorname{Var}(Y_n) </math>. Jika <math> B_n \to \infty </math> dan terdapat suatu barisan konstanta positif <math> \{ M_n \} </math> sedemikian sehingga: <math> \|Y_n\| \le M_n </math> a.s. dan		Misalkan <math> \{ Y_n \} </math> adalah variabel acak yang saling bebas, memiliki nilai harapan nol, dan varians hingga. Misalkan: <math> S_n = Y_1 + \dots + Y_n </math> dan <math> B_n = \operatorname{Var}(Y_1) + \dots + \operatorname{Var}(Y_n) </math>. Jika <math> B_n \to \infty </math> dan terdapat suatu barisan konstanta positif <math> \{ M_n \} </math> sedemikian sehingga: <math> \|Y_n\| \le M_n </math> a.s. dan
Baris 17:		Baris 19:
	maka berlaku:		maka berlaku:
	: <math>		: <math>
	\limsup_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 B_n \log\log B_n}} = 1 \quad \text{a.s.}		\limsup_{n \to \infty} \frac{\|S_n\|}{\sqrt{2 B_n \log\log B_n}} = 1 \quad \text{a.s.}
	</math>		</math>

	Perlu dicatat bahwa pernyataan pertama mencakup kasus [[distribusi normal]] standar, tetapi pernyataan kedua tidak.		Perlu dicatat bahwa pernyataan pertama mencakup kasus [[distribusi normal]] standar, tetapi pernyataan kedua tidak.

	==Referensi==		== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum+logaritma+teriterasi&oldid=27843430 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27843430 (2025-09-18T09:37:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum+logaritma+teriterasi&oldid=27843430 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27843430 (2025~~-09-~~18T09:37:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27843430; atribusi sumber disertakan.

2026-08-27T03:34:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27843430; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[Teori peluang|teori probabilitas]], '''hukum logaritma berulang''' menggambarkan seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sebuah [[Langkah acak|pergerakan acak]]. Pernyataan asli dari hukum ini pertama kali dikemukakan oleh A. Ya. Khinchin pada tahun 1924. Pernyataan lain yang lebih umum kemudian diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov|AN Kolmogorov]] pada tahun 1929.

== Pernyataan ==
Misalkan {''Yn''} adalah [[variabel acak]] yang saling bebas dan terdistribusi identik, dengan [[nilai harapan]] nol dan varians satu. Misalkan ''Sn'' = ''Y''1 + ... + ''Yn''. Maka

: <math>
\limsup_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n \log\log n}} = 1 \quad \text{a.s.},
</math>
Di sini, "log" adalah [[Logaritma alami|logaritma natural]], "lim sup" menyatakan ''limit superior'', dan "a.s." berarti "[[hampir pasti]]" (''almost surely'').

Pernyataan lain yang diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov|A. N. Kolmogorov]] pada 1929 sebagai berikut.

Misalkan <math> \{ Y_n \} </math> adalah variabel acak yang saling bebas, memiliki nilai harapan nol, dan varians hingga. Misalkan: <math> S_n = Y_1 + \dots + Y_n </math> dan <math> B_n = \operatorname{Var}(Y_1) + \dots + \operatorname{Var}(Y_n) </math>. Jika <math> B_n \to \infty </math> dan terdapat suatu barisan konstanta positif <math> \{ M_n \} </math> sedemikian sehingga: <math> |Y_n| \le M_n </math> a.s. dan
: <math>
M_n \;=\; o \left( \sqrt{\frac{B_n}{\log \log B_n}} \right),
</math>
maka berlaku:
: <math>
\limsup_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 B_n \log\log B_n}} = 1 \quad \text{a.s.}
</math>

Perlu dicatat bahwa pernyataan pertama mencakup kasus [[distribusi normal]] standar, tetapi pernyataan kedua tidak.

==Referensi==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum+logaritma+teriterasi&oldid=27843430 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27843430 (2025-09-18T09:37:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Hukum logaritma teriterasi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27843430; atribusi sumber disertakan.