Identitas Bézout - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:09:16Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.09
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], '''identitas Bézout''' (atau disebut juga '''lema Bézout''') adalah teorema yang menghubungkan antara sembarang dua [[bilangan bulat]] dengan [[faktor persekutuan terbesar]]nya, yang dinyatakan sebagai berikut:		Dalam [[matematika]], '''identitas Bézout''' (atau disebut juga '''lema Bézout''') adalah teorema yang menghubungkan antara sembarang dua [[bilangan bulat]] dengan [[faktor persekutuan terbesar]]nya, yang dinyatakan sebagai berikut:


	Dalam identitas ini, faktor persekutuan terbesar dari <math>0</math> dan <math>0</math> didefinisikan sama dengan [[0 (angka)\|<math>0</math>]]. Bilangan bulat <math>p</math> dan <math>q</math> disebut sebagai '''koefisien Bézout''' dari <math>(a, \, b)</math>, dan nilai <math>p</math> serta <math>q</math> tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dicari menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]], yang menghasilkan salah satu dari dua pasang koefisien Bézout yang memenuhi pertidaksaman		Dalam identitas ini, faktor persekutuan terbesar dari <math>0</math> dan <math>0</math> didefinisikan sama dengan [[0 (angka)\|<math>0</math>]]. Bilangan bulat <math>p</math> dan <math>q</math> disebut sebagai '''koefisien Bézout''' dari <math>(a, \, b)</math>, dan nilai <math>p</math> serta <math>q</math> tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dicari menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]], yang menghasilkan salah satu dari dua pasang koefisien Bézout yang memenuhi pertidaksaman
Baris 13:		Baris 12:

	== Struktur penyelesaian ==		== Struktur penyelesaian ==

	Jika <math>a</math> dan <math>b</math> keduanya tidak bernilai nol, serta satu pasang koefisien Bézout <math>(p, \, q)</math> telah ditemukan (misalnya dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]]), maka setiap pasang koefisien Bézout memiliki bentuk umum		Jika <math>a</math> dan <math>b</math> keduanya tidak bernilai nol, serta satu pasang koefisien Bézout <math>(p, \, q)</math> telah ditemukan (misalnya dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]]), maka setiap pasang koefisien Bézout memiliki bentuk umum
	<math display="block">\left( p - k \cdot \dfrac{b}{\operatorname{FPB} (a, \, b)}, \, q + k \cdot \dfrac{a}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \right)</math>		<math display="block">\left( p - k \cdot \dfrac{b}{\operatorname{FPB} (a, \, b)}, \, q + k \cdot \dfrac{a}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \right)</math>
Baris 25:		Baris 23:
	# terdapat tepat satu pasang bilangan bulat <math>(q, \, r)</math> sedemikian sehingga <math>c = dq + r</math> dengan <math>0 < r < \|d\|</math>, dan		# terdapat tepat satu pasang bilangan bulat <math>(q, \, r)</math> sedemikian sehingga <math>c = dq + r</math> dengan <math>0 < r < \|d\|</math>, dan
	# terdapat tepat satu pasang bilangan bulat <math>(q', \, r')</math> sedemikian sehingga <math>c = dq' + r'</math> dengan <math>- \|d\| < r' < 0</math>.		# terdapat tepat satu pasang bilangan bulat <math>(q', \, r')</math> sedemikian sehingga <math>c = dq' + r'</math> dengan <math>- \|d\| < r' < 0</math>.


	Misalkan <math>x</math> dan <math>y</math> merupakan penyelesaian dari identitas Bézout		Misalkan <math>x</math> dan <math>y</math> merupakan penyelesaian dari identitas Bézout
Baris 88:		Baris 85:
	Pasangan koefisien Bézout lainnya dapat diperoleh dengan memilih <math>k = h + 1</math>.		Pasangan koefisien Bézout lainnya dapat diperoleh dengan memilih <math>k = h + 1</math>.

	Pada kasus <math>a \neq 0</math> dan <math>b = 0</math>, maka koefisien Bézout dapat dipilih <math>p = \tfrac{a}</math> dan <math>q = 0</math>, sedangkan pada kasus <math>a = 0</math> dan <math>b \neq 0</math>, maka koefisien Bézout dapat dipilih <math>p = 0</math> dan <math>q = \tfrac{b}</math>.		Pada kasus <math>a \neq 0</math> dan <math>b = 0</math>, maka koefisien Bézout dapat dipilih <math>p = \tfrac{a}{\|a\|}</math> dan <math>q = 0</math>, sedangkan pada kasus <math>a = 0</math> dan <math>b \neq 0</math>, maka koefisien Bézout dapat dipilih <math>p = 0</math> dan <math>q = \tfrac{b}{\|b\|}</math>.


	Jika suatu pasang koefisien Bézout <math>x</math> dan <math>y</math> dari <math>(a, \, b)</math> telah diperoleh, maka dua pasangan koefisien Bézout minimal tersebut dapat diperoleh dengan memilih nilai <math>k</math> pada rumus sebelumnya sebagai salah satu dari dua bilangan bulat terdekat dari <math>x \cdot \tfrac{\operatorname{FPB} (a, \, b)}{b}</math>, yaitu <math>k = \left\lfloor x \cdot \tfrac{\operatorname{FPB} (a, \, b)}{b} \right\rfloor</math> atau <math>k = \left\lceil x \cdot \tfrac{\operatorname{FPB} (a, \, b)}{b} \right\rceil</math>, dengan <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> menyatakan [[fungsi lantai dan atap\|fungsi lantai]] dan <math>\lceil \cdot \rceil</math> menyatakan [[fungsi lantai dan atap\|fungsi atap]].		Jika suatu pasang koefisien Bézout <math>x</math> dan <math>y</math> dari <math>(a, \, b)</math> telah diperoleh, maka dua pasangan koefisien Bézout minimal tersebut dapat diperoleh dengan memilih nilai <math>k</math> pada rumus sebelumnya sebagai salah satu dari dua bilangan bulat terdekat dari <math>x \cdot \tfrac{\operatorname{FPB} (a, \, b)}{b}</math>, yaitu <math>k = \left\lfloor x \cdot \tfrac{\operatorname{FPB} (a, \, b)}{b} \right\rfloor</math> atau <math>k = \left\lceil x \cdot \tfrac{\operatorname{FPB} (a, \, b)}{b} \right\rceil</math>, dengan <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> menyatakan [[fungsi lantai dan atap\|fungsi lantai]] dan <math>\lceil \cdot \rceil</math> menyatakan [[fungsi lantai dan atap\|fungsi atap]].
Baris 96:		Baris 92:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	Misalkan <math>a = 12</math> dan <math>b = 42</math>, maka diperoleh <math>\operatorname{FPB} (12, \, 42) = 6</math>. Identitas Bézout berikutdengan koefisien Bézout ditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnyaditulis sebagai berikut:		Misalkan <math>a = 12</math> dan <math>b = 42</math>, maka diperoleh <math>\operatorname{FPB} (12, \, 42) = 6</math>. Identitas Bézout berikutdengan koefisien Bézout ditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnyaditulis sebagai berikut:

Baris 140:		Baris 135:

	== Perumuman ==		== Perumuman ==

	=== Perumuman untuk tiga (atau lebih) bilangan bulat ===		=== Perumuman untuk tiga (atau lebih) bilangan bulat ===
	Identitas Bézout dapat diperumum untuk lebih dari dua bilangan bulat:		Identitas Bézout dapat diperumum untuk lebih dari dua bilangan bulat:


	=== Perumuman untuk polinomial ===		=== Perumuman untuk polinomial ===

	Identitas Bézout tidak selalu berlaku untuk [[polinomial]]. Sebagai contoh, dalam [[gelanggang polinomial]] dengan koefisien bilangan bulat, perhatikan bahwa faktor persekutuan terbesar dari <math>3x</math> dan <math>x^2</math> ialah <math>x</math>. Namun, tidak ada polinomial dengan koefisien bilangan bulat <math>p(x)</math> dan <math>q(x)</math> yang memenuhi		Identitas Bézout tidak selalu berlaku untuk [[polinomial]]. Sebagai contoh, dalam [[gelanggang polinomial]] dengan koefisien bilangan bulat, perhatikan bahwa faktor persekutuan terbesar dari <math>3x</math> dan <math>x^2</math> ialah <math>x</math>. Namun, tidak ada polinomial dengan koefisien bilangan bulat <math>p(x)</math> dan <math>q(x)</math> yang memenuhi
	<math display="block">3x \cdot p(x) + x^2 \cdot q(x) = x</math>		<math display="block">3x \cdot p(x) + x^2 \cdot q(x) = x</math>
Baris 153:		Baris 145:

	Oleh karena [[Akar polinomial\|akar-akar]] persekutuan dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesar dari kedua polinomial tersebut, maka identitas Bézout dan [[teorema dasar aljabar]] mengakibatkan hasil berikut:		Oleh karena [[Akar polinomial\|akar-akar]] persekutuan dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesar dari kedua polinomial tersebut, maka identitas Bézout dan [[teorema dasar aljabar]] mengakibatkan hasil berikut:


	Perumuman dari hasil ini untuk sembarang banyaknya polinomial dengan sembarang banyaknya variabel ialah [[Nullstellensatz Hilbert]].		Perumuman dari hasil ini untuk sembarang banyaknya polinomial dengan sembarang banyaknya variabel ialah [[Nullstellensatz Hilbert]].
Baris 159:		Baris 150:
	=== Perumuman untuk daerah ideal utama ===		=== Perumuman untuk daerah ideal utama ===
	Seperti yang telah disinggung pada bagian pengantar dari artikel ini, identitas Bézout tidak hanya berlaku pada [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] bilangan bulat, tetapi pada sembarang [[daerah ideal utama]].		Seperti yang telah disinggung pada bagian pengantar dari artikel ini, identitas Bézout tidak hanya berlaku pada [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] bilangan bulat, tetapi pada sembarang [[daerah ideal utama]].


	Daerah integral yang berlaku identitas Bézout disebut sebagai [[daerah Bézout]].		Daerah integral yang berlaku identitas Bézout disebut sebagai [[daerah Bézout]].

	== Sejarah dan pengatributan ==		== Sejarah dan pengatributan ==
			Matematikawan [[Prancis]], [[Étienne Bézout]] (1730–1783), membuktikan identitas Bezout untuk polinomial.<ref>Étienne Bézout. [https://archive.org/details/bub_gb_RDEVAAAAQAAJ Théorie générale des équations algébriques]. Ph.-D. Pierres. 1779.</ref> Pernyataan untuk bilangan bulat sudah dapat ditemukan dalam karya milik seorang matematikawan Prancis sebelumnya, [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]].<ref>Jean-Pierre Tignol. ''Galois' Theory of Algebraic Equations''. World Scientific. 2001. ISBN 981-02-4541-6.</ref><ref>Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac). [http://www.bsb-muenchen-digital.de/~web/web1008/bsb10081407/images/index.html?digID=bsb10081407&pimage=38&v=100&nav=0&l=de Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres]. Pierre Rigaud & Associates. 1624. hlm. 18–33. Pada halaman-halaman ini, Bachet membuktikan (tanpa persamaan) "Proposisi XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre.", yang berarti "diberikan dua bilangan [yang] relatif prima, carilah kelipatan terkecil dari keduanya [sedemikian sehingga] salah satu kelipatannya ialah satu lebihnya kelipatan lainnya." Masalah ini (yaitu ax - by = 1 ) merupakan kasus khusus dari persamaan Bézout, dan persamaan tersebut digunakan oleh Bachet untuk menyelesaikan masalah yang ditemukan di halaman 199 beserta halaman-halaman berikutnya.</ref><ref>Lihat juga: Maarten Bullynck. [https://shs.hal.science/file/index/docid/663292/filename/Gauss_Modular_Oct2008.pdf Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany]. ''Historia Mathematica''. Februari 2009. Vol. 36 (1). hlm. 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009.</ref> [[Andrew Granville]] menelusuri pengatributan nama Bézout dengan identitas persamaan tersebut ke [[Nicolas Bourbaki\|Bourbaki]], dengan argumen bahwa hal tersebut merupakan atribusi yang salah, sebab identitas tersebut bersifat implisit pada ''[[Elemen Euklides\|Elements]]'' karya [[Euklides\|Euclid]].<ref>Andrew Granville. ''It is not "Bézout's identity"''. 2024.</ref>
	Matematikawan [[Prancis]], [[Étienne Bézout]] (1730–1783), membuktikan identitas Bezout untuk polinomial. Pernyataan untuk bilangan bulat sudah dapat ditemukan dalam karya milik seorang matematikawan Prancis sebelumnya, [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]]. [[Andrew Granville]] menelusuri pengatributan nama Bézout dengan identitas persamaan tersebut ke [[Nicolas Bourbaki\|Bourbaki]], dengan argumen bahwa hal tersebut merupakan atribusi yang salah, sebab identitas tersebut bersifat implisit pada ''[[Elemen Euklides\|Elements]]'' karya [[Euklides\|Euclid]].

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==
Baris 172:		Baris 161:
	* [[Lema Euclides\|Lema Euclid]]		* [[Lema Euclides\|Lema Euclid]]
	* [[Teorema dasar aritmetika]]		* [[Teorema dasar aritmetika]]

	~~== Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
Baris 180:		Baris 166:
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+B%C3%A9zout&oldid=29429913 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29429913 (2026-07-08T00:23:03Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+B%C3%A9zout&oldid=29429913 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29429913 (2026-07-08T00:23:03Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29429913; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:48:16Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29429913; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''identitas Bézout''' (atau disebut juga '''lema Bézout''') adalah teorema yang menghubungkan antara sembarang dua [[bilangan bulat]] dengan [[faktor persekutuan terbesar]]nya, yang dinyatakan sebagai berikut:

Dalam identitas ini, faktor persekutuan terbesar dari <math>0</math> dan <math>0</math> didefinisikan sama dengan [[0 (angka)|<math>0</math>]]. Bilangan bulat <math>p</math> dan <math>q</math> disebut sebagai '''koefisien Bézout''' dari <math>(a, \, b)</math>, dan nilai <math>p</math> serta <math>q</math> tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dicari menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]], yang menghasilkan salah satu dari dua pasang koefisien Bézout yang memenuhi pertidaksaman
<math display="block">\left| p \right| \leq \left| \dfrac{b}{\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right)} \right| \qquad \qquad \left| q \right| \leq \left| \dfrac{a}{\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right)} \right|</math>
[[Pertidaksamaan]] tersebut akan berubah menjadi [[persamaan]] hanya jika <math>a</math> dan <math>b</math> atau <math>b</math> saling berkelipatan, yang berarti bahwa setidaknya salah satu dari "<math>a</math> merupakan [[Pembagi#Definisi|kelipatan]] dari <math>b</math>" atau "<math>b</math> merupakan [[Pembagi#Definisi|kelipatan]] dari <math>a</math>" bernilai benar.

Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar dari 15 dan 69 ialah 3, dan 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari 15 dan 69, yaitu <math>3 = 15 \cdot (-9) + 69 \cdot 2</math>, dengan koefisien Bézout −9 dan 2.

Banyak teorema lain dalam [[Teori bilangan#Teori bilangan dasar|teori bilangan dasar]] merupakan hasil dari identitas Bézout, seperti [[lema Euclides|lema Euclid]] atau [[teorema sisa Tiongkok]].

[[Daerah Bézout]] adalah [[ranah integral|daerah integral]] yang berlaku identitas Bézout. Oleh karena setiap [[daerah ideal utama]] merupakan daerah Bézout, maka setiap teorema yang dihasilkan dari identitas Bézout akan berlaku untuk setiap daerah ideal utama.

== Struktur penyelesaian ==

Jika <math>a</math> dan <math>b</math> keduanya tidak bernilai nol, serta satu pasang koefisien Bézout <math>(p, \, q)</math> telah ditemukan (misalnya dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]]), maka setiap pasang koefisien Bézout memiliki bentuk umum
<math display="block">\left( p - k \cdot \dfrac{b}{\operatorname{FPB} (a, \, b)}, \, q + k \cdot \dfrac{a}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \right)</math>
dengan <math>k</math> adalah sembarang bilangan bulat. Perhatikan bahwa [[pecahan]] <math>\dfrac{a}{\operatorname{FPB} (a, \, b)}</math> dan <math>\dfrac{b}{\operatorname{FPB} (a, \, b)}</math> merupakan bilangan bulat, berdasarkan definisi dari [[faktor persekutuan terbesar]].

Jika <math>a</math> dan <math>b</math> keduanya tidak bernilai nol dan keduanya tidak saling berkelipatan, maka terdapat tepat dua pasang koefisien Bézout yang memenuhi pertidaksamaan
<math display="block">\left| p \right| \leq \left| \dfrac{b}{\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right)} \right| \qquad \qquad \left| q \right| \leq \left| \dfrac{a}{\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right)} \right|</math>
Jika <math>a</math> dan <math>b</math> keduanya bernilai positif, maka salah satu pasang koefisien Bézout ini akan memiliki nilai <math>p > 0</math> dan <math>q < 0</math>, dan pasangan lainnya akan memiliki nilai <math>p < 0</math> dan <math>q > 0</math>. Jika <math>a > 0</math> [[Pembagi#Definisi|habis membagi]] <math>b</math> (termasuk kasus <math>b = 0</math>), maka salah satu dari koefisien Bézoutnya ialah <math>(1, \, 0)</math>.

Bukti dari batas atas tersebut memanfaatkan sifat [[pembagian bersisa]]: diberikan dua bilangan bulat tak nol <math>c</math> dan <math>d</math>. Jika <math>d</math> tidak habis membagi <math>c</math>, maka
# terdapat tepat satu pasang bilangan bulat <math>(q, \, r)</math> sedemikian sehingga <math>c = dq + r</math> dengan <math>0 < r < |d|</math>, dan
# terdapat tepat satu pasang bilangan bulat <math>(q', \, r')</math> sedemikian sehingga <math>c = dq' + r'</math> dengan <math>- |d| < r' < 0</math>.

Misalkan <math>x</math> dan <math>y</math> merupakan penyelesaian dari identitas Bézout
<math display="block">ax + by = \operatorname{FPB} (a, \, b)</math>
dengan <math>ab \neq 0</math>. Telah diketahui sebelumnya bahwa bentuk umum dari setiap koefisien Bézout ialah
<math display="block">\begin{align}
p &= x - k \cdot \dfrac{b}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \\
q &= y + k \cdot \dfrac{a}{\operatorname{FPB} (a, \, b)}
\end{align}</math>
dengan <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Akan ditunjukkan bahwa terdapat suatu nilai <math>k</math> sedemikian sehingga
<math display="block">\left| p \right| \leq \left| \dfrac{b}{\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right)} \right| \qquad \qquad \left| q \right| \leq \left| \dfrac{a}{\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right)} \right|</math>

Didefinisikan <math>A = \tfrac{a}{\operatorname{FPB} (a, \, b)}</math> dan <math>B = \tfrac{b}{\operatorname{FPB} (a, \, b)}</math>. Berdasarkan sifat [[pembagian bersisa]], maka terdapat suatu pasangan bilangan bulat <math>(h, \, s)</math> sedemikian sehingga <math>x</math> dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">x = hB + s</math>
dengan <math>0 \leq s < |B|</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
p &= x - k \cdot \dfrac{b}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \\
&= hB + s - kB \\
&= s + (h - k)B
\end{align}</math>
Dengan argumentasi serupa, maka berdasarkan sifat pembagian bersisa, terdapat suatu pasangan bilangan bulat <math>(h', \, s')</math> sedemikian sehingga <math>y</math> dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">y = h'A + s'</math>
dengan <math>- |A| < s' \leq 0</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
q &= y + k \cdot \dfrac{a}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \\
&= h'A + s' + kA \\
&= s' + (h' + k)A
\end{align}</math>

Oleh karena <math>x</math> dan <math>y</math> merupakan penyelesaian dari identitas Bézout <math>ax + by = \operatorname{FPB} (a, \, b)</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
\operatorname{FPB} (a, \, b) &= ax + by \\
&= a(hB + s) + b(h'A + s') \\
&= a \left( h \cdot \dfrac{b}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} + s \right) + b \left( h' \cdot \dfrac{a}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} + s' \right) \\
&= \dfrac{ab}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \left( h + h' \right) + as + bs'
\end{align}</math>
Berdasarkan persamaan <math>s = x - hB</math> dan <math>s' = y - h'B</math>, maka <math>s</math> dan <math>s'</math> merupakan koefisien Bézout dari <math>(a,\, b)</math>. Dengan kata lain,
<math display="block">\begin{align}
as + bs' &= \operatorname{FPB} (a, \, b) \\
as + bs' &= \dfrac{ab}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \left( h + h' \right) + as + bs' \\
0 &= \dfrac{ab}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \left( h + h' \right) \\
0 &= h + h' \\
h' &= -h
\end{align}</math>
Akibatnya, diperoleh
<math display="block">\begin{align}
p &= s + (h - k)B \\
q &= s' + (h' + k)A \\
&= s' - (h - k)A
\end{align}</math>
sehingga dengan memilih <math>k = h</math>, maka <math>p = s</math> dan <math>q = s'</math>. Berdasarkan batas dari <math>s</math> dan <math>s'</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
0 \leq s &< |B| \\
|s| &< |B| \\
|p| &< \left| \dfrac{b}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \right| \\
\\
- |A| < s' &\leq 0 \\
|s'| &< |A| \\
|q| &< \left| \dfrac{a}{\operatorname{FPB} (a, \, b)} \right|
\end{align}</math>

Pasangan koefisien Bézout lainnya dapat diperoleh dengan memilih <math>k = h + 1</math>.

Pada kasus <math>a \neq 0</math> dan <math>b = 0</math>, maka koefisien Bézout dapat dipilih <math>p = \tfrac{a}</math> dan <math>q = 0</math>, sedangkan pada kasus <math>a = 0</math> dan <math>b \neq 0</math>, maka koefisien Bézout dapat dipilih <math>p = 0</math> dan <math>q = \tfrac{b}</math>.

Jika suatu pasang koefisien Bézout <math>x</math> dan <math>y</math> dari <math>(a, \, b)</math> telah diperoleh, maka dua pasangan koefisien Bézout minimal tersebut dapat diperoleh dengan memilih nilai <math>k</math> pada rumus sebelumnya sebagai salah satu dari dua bilangan bulat terdekat dari <math>x \cdot \tfrac{\operatorname{FPB} (a, \, b)}{b}</math>, yaitu <math>k = \left\lfloor x \cdot \tfrac{\operatorname{FPB} (a, \, b)}{b} \right\rfloor</math> atau <math>k = \left\lceil x \cdot \tfrac{\operatorname{FPB} (a, \, b)}{b} \right\rceil</math>, dengan <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> menyatakan [[fungsi lantai dan atap|fungsi lantai]] dan <math>\lceil \cdot \rceil</math> menyatakan [[fungsi lantai dan atap|fungsi atap]].

[[Algoritma Euklides]] diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan koefisien Bézout minimal tersebut.

== Contoh ==

Misalkan <math>a = 12</math> dan <math>b = 42</math>, maka diperoleh <math>\operatorname{FPB} (12, \, 42) = 6</math>. Identitas Bézout berikutdengan koefisien Bézout ditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnyaditulis sebagai berikut:

<math display="block">\begin{array}{rccccccl}
& & \vdots \\
12 & \cdot & ({\color{blue}{-17}}) & + & 42 & \cdot & \color{blue}{5} & = 6 \\
12 & \cdot & ({\color{blue}{-10}}) & + & 42 & \cdot & \color{blue}{3} & = 6 \\
12 & \cdot & ({\color{red}{-3}}) & + & 42 & \cdot & \color{red}{1} & = 6 \\
12 & \cdot & \color{red}{4} & + & 42 & \cdot & ({\color{red}{-1}}) & = 6 \\
12 & \cdot & \color{blue}{11} & + & 42 & \cdot & ({\color{blue}{-3}}) & = 6 \\
12 & \cdot & \color{blue}{18} & + & 42 & \cdot & ({\color{blue}{-5}}) & = 6 \\
& & \vdots
\end{array}</math>

Perhatikan bahwa <math>\tfrac{18}{42 / 6} \in \left[ 2, \, 3 \right]</math>. Jika <math>(x, \, y) = (18, \, -5)</math> adalah pasangan asli dari koefisien Bézout, maka pasangan koefisien Bézout minimalnya dapat diperoleh dengan memilih <math>k = 2</math> atau <math>k = 3</math>, yaitu <math>(18 - 2 \cdot 7, \, -5 + 2 \cdot 2) = (4, \, -1)</math> atau <math>(18 - 3 \cdot 7, \, -5 + 3 \cdot 2) = (-3, \, 1)</math>.

== Bukti ==
Diambil sembarang dua bilangan bulat tak nol <math>a</math> dan <math>b</math>, dan didefinisikan himpunan
<math>H = \left\{ ap + bq \mid p, \, q \in \mathbb{Z} \right\} \cap \mathbb{N}</math>
Himpunan <math>H</math> tidak [[Himpunan kosong|kosong]], sebab salah satu dari <math>a</math> ataupun <math>-a</math> merupakan anggota dari <math>H</math> (dengan <math>p = \pm 1</math> dan <math>q = 0</math>). Oleh karena <math>H</math> merupakan [[himpunan bagian]] dari [[bilangan asli]] yang tak kosong, maka berdasarkan [[prinsip urutan rapi]], himpunan <math>H</math> memiliki elemen terkecil, yaitu <math>d = ax + by</math>. Untuk membuktikan bahwa <math>d</math> merupakan faktor persekutuan terbesar dari <math>a</math> dan <math>b</math>, maka
# harus dibuktikan bahwa <math>d</math> merupakan [[Pembagi#Definisi|faktor]] persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, dan
# untuk sebarang faktor persekutuan lainnya <math>c</math>, maka berlaku <math>c \leq d</math>.

[[Pembagian bersisa]] dari <math>a</math> oleh <math>d</math> dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">a = k \cdot d + s</math>
dengan <math>0 \leq s < d</math>. Perhatikan bahwa
<math display="block">\begin{align}
a &= kd + s \\
s &= a - kd \\
&= a - k(ax + by) \\
&= a - akx + bky \\
&= a(1 - kx) - b(ky)
\end{align}</math>
Berdasarkan persamaan di atas, maka<math>s</math> merupakan bilangan dengan bentuk umum <math>ap + bq</math>, sehingga <math>s \in H \cup \left\{ 0 \right\}</math>. Oleh karena <math>0 \leq s < d</math> dan <math>d</math> adalah bilangan asli terkecil pada himpunan <math>H</math>, maka <math>s \not \in H</math>, yang membuat nilai <math>s</math> menjadi 0. Akibatnya, <math>d</math> merupakan faktor dari <math>a</math>. Dengan cara yang serupa, maka <math>d</math> juga faktor dari <math>b</math>, sehingga <math>d</math> adalah faktor persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>.

Diambil sebarang faktor persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, sebut saja <math>c</math>. Berdasarkan definisi dari [[Pembagi#Definisi|faktor bilangan]], maka terdapat suatu bilangan bulat <math>a'</math> dan <math>b</math> sedemikian sehingga <math>a = ca'</math> dan <math>b = cb'</math>. Perhatikan bahwa
<math display="block">\begin{align}
d &= ax + by \\
&= (ca')x + (cb')y \\
&= c (a'x + b'y)
\end{align}</math>
yang menunjukkan bahwa <math>c</math> habis membagi <math>d</math>. Oleh karena <math>d > 0</math>, maka berlaku <math>c \leq d</math>.

== Perumuman ==

=== Perumuman untuk tiga (atau lebih) bilangan bulat ===
Identitas Bézout dapat diperumum untuk lebih dari dua bilangan bulat:

=== Perumuman untuk polinomial ===

Identitas Bézout tidak selalu berlaku untuk [[polinomial]]. Sebagai contoh, dalam [[gelanggang polinomial]] dengan koefisien bilangan bulat, perhatikan bahwa faktor persekutuan terbesar dari <math>3x</math> dan <math>x^2</math> ialah <math>x</math>. Namun, tidak ada polinomial dengan koefisien bilangan bulat <math>p(x)</math> dan <math>q(x)</math> yang memenuhi
<math display="block">3x \cdot p(x) + x^2 \cdot q(x) = x</math>

Untungnya, identitas Bézout tetap berlaku untuk [[Polinomial#Etimologi|polinomial univariat]] atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]], persis seperti pada himpunan bilangan bulat. Koefisien Bézout dan faktor persekutuan terbesar dapat dicari dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]].

Oleh karena [[Akar polinomial|akar-akar]] persekutuan dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesar dari kedua polinomial tersebut, maka identitas Bézout dan [[teorema dasar aljabar]] mengakibatkan hasil berikut:

Perumuman dari hasil ini untuk sembarang banyaknya polinomial dengan sembarang banyaknya variabel ialah [[Nullstellensatz Hilbert]].

=== Perumuman untuk daerah ideal utama ===
Seperti yang telah disinggung pada bagian pengantar dari artikel ini, identitas Bézout tidak hanya berlaku pada [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] bilangan bulat, tetapi pada sembarang [[daerah ideal utama]].

Daerah integral yang berlaku identitas Bézout disebut sebagai [[daerah Bézout]].

== Sejarah dan pengatributan ==

Matematikawan [[Prancis]], [[Étienne Bézout]] (1730–1783), membuktikan identitas Bezout untuk polinomial. Pernyataan untuk bilangan bulat sudah dapat ditemukan dalam karya milik seorang matematikawan Prancis sebelumnya, [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]]. [[Andrew Granville]] menelusuri pengatributan nama Bézout dengan identitas persamaan tersebut ke [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]], dengan argumen bahwa hal tersebut merupakan atribusi yang salah, sebab identitas tersebut bersifat implisit pada ''[[Elemen Euklides|Elements]]'' karya [[Euklides|Euclid]].

== Lihat juga ==
* [[Teorema AF+BG]]
* [[Persamaan Diophantus]]
* [[Lema Euclides|Lema Euclid]]
* [[Teorema dasar aritmetika]]

== Referensi ==

== Pranala luar ==
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/arithmetic/bezout.en Kalkulator daring] untuk identitas Bézout.
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+B%C3%A9zout&oldid=29429913 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29429913 (2026-07-08T00:23:03Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.