Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:04:43Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.04
Baris 12:		Baris 12:
	==Sejarah==		==Sejarah==
	Identitas adalah generalisasi dari apa yang disebut [[identitas Brahmagupta–Fibonacci\|identitas Fibonacci]] (di mana ''n''=1) yang sebenarnya ditemukan dalam ''[[Arithmetica]]'' [[Diophantus]]' (III, 19).		Identitas adalah generalisasi dari apa yang disebut [[identitas Brahmagupta–Fibonacci\|identitas Fibonacci]] (di mana ''n''=1) yang sebenarnya ditemukan dalam ''[[Arithmetica]]'' [[Diophantus]]' (III, 19).
	Identitas tersebut ditemukan kembali oleh [[Brahmagupta]] (598–668), seorang [[matematikawan India]] dan [[Astronomi India\|astronom]], yang menggeneralisasi dan menggunakannya dalam studinya tentang apa yang saat ini disebut [[persamaan Pell]]. ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' miliknya diterjemahkan dari [[Sansekerta]] ke [[bahasa Arab\|Arab]] oleh [[Mohammad al-Fazari]], dan kemudian diterjemahkan ke [[bahasa Latin\|Latin]] pada tahun 1126. Identitas tersebut kemudian muncul dalam ''[[The Book of Squares\|Book of Squares]]'' ([[Fibonacci]]) pada tahun 1225.		Identitas tersebut ditemukan kembali oleh [[Brahmagupta]] (598–668), seorang [[matematikawan India]] dan [[Astronomi India\|astronom]], yang menggeneralisasi dan menggunakannya dalam studinya tentang apa yang saat ini disebut [[persamaan Pell]]. ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' miliknya diterjemahkan dari [[Sansekerta]] ke [[bahasa Arab\|Arab]] oleh [[Mohammad al-Fazari]], dan kemudian diterjemahkan ke [[bahasa Latin\|Latin]] pada tahun 1126.<ref>George G. Joseph (2000). ''The Crest of the Peacock'', hal. 306. Pers Universitas Princeton. .</ref> Identitas tersebut kemudian muncul dalam ''[[The Book of Squares\|Book of Squares]]'' ([[Fibonacci]]) pada tahun 1225.

	== Penerapan persamaan Pell ==		== Penerapan persamaan Pell ==
Baris 23:		Baris 23:
	:<math>(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2).</math>		:<math>(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2).</math>

	Ini tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk ''x''<sup>2</sup> − ''Ny''<sup>2</sup> = 1 dimulai dengan satu solusi, tetapi juga, dengan membagi komposisi tersebut dengan ''k''<sub>1</sub>''k''<sub>2</sub>, solusi bilangan bulat atau "dekat bilangan bulat" sering kali diperoleh. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh [[Bhaskara II]] pada tahun 1150, yaitu [[metode chakravala\|metode chakravala (siklik)]], juga didasarkan pada identitas ini.		Ini tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk ''x''<sup>2</sup> − ''Ny''<sup>2</sup> = 1 dimulai dengan satu solusi, tetapi juga, dengan membagi komposisi tersebut dengan ''k''<sub>1</sub>''k''<sub>2</sub>, solusi bilangan bulat atau "dekat bilangan bulat" sering kali diperoleh. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh [[Bhaskara II]] pada tahun 1150, yaitu [[metode chakravala\|metode chakravala (siklik)]], juga didasarkan pada identitas ini.<ref>John Stillwell. [https://books.google.com/books?id=WNjRrqTm62QC&pg=PA72 Mathematics and its history]. Springer. 2002. hlm. 72–76. ISBN 978-0-387-95336-6.</ref>

	==Lihat pula==		==Lihat pula==
Baris 31:		Baris 31:
	* [[matematika India]]		* [[matematika India]]
	* [[Daftar matematikawan India]]		* [[Daftar matematikawan India]]

	~~==Referensi==~~


	==Pranala luar==		==Pranala luar==
Baris 40:		Baris 37:
	*[http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/ Kumpulan Identitas Aljabar]		*[http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/ Kumpulan Identitas Aljabar]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Brahmagupta&oldid=28422815 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28422815 (2025-11-12T07:39:49Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Brahmagupta&oldid=28422815 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28422815 (2025-11-12T07:39:49Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28422815; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:39:05Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28422815; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar]], '''identitas Brahmagupta''' menyatakan untuk <math>n</math> yang diberikan, produk dari dua bilangan berbentuk <math>a^2+nb^2</math> itu sendiri adalah bilangan dari bentuk tersebut. Dengan kata lain, himpunan bilangan tersebut adalah [[ketertutupan (matematika)|tertutup]] di bawah perkalian. Secara khusus:

:<math>\begin{align}
\left(a^2 + nb^2\right)\left(c^2 + nd^2\right) & {}= \left(ac-nbd\right)^2 + n\left(ad+bc\right)^2 & & & (1) \\
& {}= \left(ac+nbd\right)^2 + n\left(ad-bc\right)^2, & & & (2)
\end{align}</math>

Baik (1) dan (2) dapat diverifikasi dengan [[pengembangan polinomial|pengembangan]] setiap sisi persamaan. Juga, (2) dapat diperoleh dari (1), atau (1) dari (2), dengan mengubah ''b'' menjadi −''b''.

Identitas ini berlaku baik dalam [[bilangan bulat|gelanggang bilangan bulat]] dan [[bilangan rasional|gelanggang bilangan rasional]], dan khususnya dalam [[gelanggang komutatif]] mana pun.

==Sejarah==
Identitas adalah generalisasi dari apa yang disebut [[identitas Brahmagupta–Fibonacci|identitas Fibonacci]] (di mana ''n''=1) yang sebenarnya ditemukan dalam ''[[Arithmetica]]'' [[Diophantus]]' (III, 19).
Identitas tersebut ditemukan kembali oleh [[Brahmagupta]] (598–668), seorang [[matematikawan India]] dan [[Astronomi India|astronom]], yang menggeneralisasi dan menggunakannya dalam studinya tentang apa yang saat ini disebut [[persamaan Pell]]. ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' miliknya diterjemahkan dari [[Sansekerta]] ke [[bahasa Arab|Arab]] oleh [[Mohammad al-Fazari]], dan kemudian diterjemahkan ke [[bahasa Latin|Latin]] pada tahun 1126. Identitas tersebut kemudian muncul dalam ''[[The Book of Squares|Book of Squares]]'' ([[Fibonacci]]) pada tahun 1225.

== Penerapan persamaan Pell ==
Dalam konteks aslinya, Brahmagupta menerapkan penemuannya pada solusi dari apa yang kemudian disebut [[persamaan Pell]], yaitu ''x''2 − ''Ny''2 = 1. Menggunakan identitas dalam formulir

:<math>(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2, </math>

ia "menyusun" rangkap tiga (''x''1, ''y''1, ''k''1) dan (''x''2, ''y''2, ''k''2) itu adalah solusi dari ''x''2 − ''Ny''2 = ''k'', untuk menghasilkan rangkap tiga baru

:<math>(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2).</math>

Ini tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk ''x''2 − ''Ny''2 = 1 dimulai dengan satu solusi, tetapi juga, dengan membagi komposisi tersebut dengan ''k''1''k''2, solusi bilangan bulat atau "dekat bilangan bulat" sering kali diperoleh. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh [[Bhaskara II]] pada tahun 1150, yaitu [[metode chakravala|metode chakravala (siklik)]], juga didasarkan pada identitas ini.

==Lihat pula==
* [[Matriks Brahmagupta]]
* [[Identitas Brahmagupta–Fibonacci]]
* [[Rumus interpolasi Brahmagupta]]
* [[matematika India]]
* [[Daftar matematikawan India]]

==Referensi==

==Pranala luar==
*[https://web.archive.org/web/20121129133237/http://planetmath.org/encyclopedia/BrahmaguptasIdentity.html Identitas Brahmagupta] di [[PlanetMath]]
*[http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptaIdentity.html Identitas Brahmagupta] di [[MathWorld]]
*[http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/ Kumpulan Identitas Aljabar]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Brahmagupta&oldid=28422815 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28422815 (2025-11-12T07:39:49Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Identitas Brahmagupta - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28422815; atribusi sumber disertakan.