Identitas Brahmagupta–Fibonacci - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:03:51Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.03
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[aljabar]], '''identitas Brahmagupta–Fibonacci''' mengatakan bahwa hasil kali dari dua jumlah dua bilangan kuadrat sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat dengan dua cara yang berbeda. Oleh karena itu, himpunan dari semua jumlah dari dua bilangan kuadrat adalah [[Ketertutupan (matematika)\|ketertutupan]] di bawah perkalian. Secara khusus, identitas ini mengatakan		Dalam [[aljabar]], '''identitas Brahmagupta–Fibonacci'''<ref>[http://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/BrahmaguptaFibonacci.shtml Brahmagupta-Fibonacci Identity].</ref><ref>Marc Chamberland: ''Single Digits: In Praise of Small Numbers''. Pers Universitas Princeton, 2015, , hal. 60</ref> mengatakan bahwa hasil kali dari dua jumlah dua bilangan kuadrat sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat dengan dua cara yang berbeda. Oleh karena itu, himpunan dari semua jumlah dari dua bilangan kuadrat adalah [[Ketertutupan (matematika)\|ketertutupan]] di bawah perkalian. Secara khusus, identitas ini mengatakan
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 & & (1) \\		\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 & & (1) \\
Baris 7:		Baris 7:
	:<math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.</math>		:<math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.</math>

	Identitas ini dikenal juga sebagai '''identitas Diophantus''', yang pertama kali dibuktikan oleh [[Diophantus\|Diophantus dari Alexandria]]. Ini adalah kasus khusus dari [[identitas empat kuadrat Euler]] dan juga [[identitas Lagrange]].		Identitas ini dikenal juga sebagai '''identitas Diophantus''',<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci&oldid=27515936 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>Daniel Shanks, Solved and unsolved problems in number theory, hlm. 209, American Mathematical Society, American Mathematical Society, Edisi ke-4 (1993).</ref> yang pertama kali dibuktikan oleh [[Diophantus\|Diophantus dari Alexandria]]. Ini adalah kasus khusus dari [[identitas empat kuadrat Euler]] dan juga [[identitas Lagrange]].

	[[Brahmagupta]] membuktikan dan menggunakan identitas yang lebih umum ([[identitas Brahmagupta]]), ekuivalen dengan		[[Brahmagupta]] membuktikan dan menggunakan identitas yang lebih umum ([[identitas Brahmagupta]]), ekuivalen dengan
Baris 19:		Baris 19:

	==Sejarah==		==Sejarah==
	Identitas ini pertama kali ditemukan dalam buku karya [[Diophantus]], ''[[Arithmetica]]'' (III, 19), yang ditulis pada abad ketiga M. Identitas ini ditemukan kembali oleh [[Brahmagupta]], seorang [[Matematikawan India\|matematikawan]] dan [[astronomi India\|astronom]] berkebangsaan India, yang memperumumkannya ke [[identitas Brahmagupta]], dan menggunakannya dalam studi yang dikenal saat ini, [[persamaan Pell]]. Karya miliknya, ''[[Brahmasphutasiddhanta]],'' diterjemahkan dari bahasa [[Sansekerta]] ke bahasa [[Bahasa Arab\|Arab]] oleh [[Mohammad al-Fazari]], dan kemudian diterjemahkan ke [[Latin]] pada tahun 1126. Identitas tersebut diperkenalkan di Eropa barat pada tahun 1225 oleh [[Fibonacci]] dalam bukunya yang berjudul ''[[The Book of Squares]]'', dan oleh karena itu, identitas tersebut sering dikaitkan dengannya.		Identitas ini pertama kali ditemukan dalam buku karya [[Diophantus]], ''[[Arithmetica]]'' (III, 19), yang ditulis pada abad ketiga M. Identitas ini ditemukan kembali oleh [[Brahmagupta]], seorang [[Matematikawan India\|matematikawan]] dan [[astronomi India\|astronom]] berkebangsaan India, yang memperumumkannya ke [[identitas Brahmagupta]], dan menggunakannya dalam studi yang dikenal saat ini, [[persamaan Pell]]. Karya miliknya, ''[[Brahmasphutasiddhanta]],'' diterjemahkan dari bahasa [[Sansekerta]] ke bahasa [[Bahasa Arab\|Arab]] oleh [[Mohammad al-Fazari]], dan kemudian diterjemahkan ke [[Latin]] pada tahun 1126.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci&oldid=27515936 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Identitas tersebut diperkenalkan di Eropa barat pada tahun 1225 oleh [[Fibonacci]] dalam bukunya yang berjudul ''[[The Book of Squares]]'', dan oleh karena itu, identitas tersebut sering dikaitkan dengannya.

	==Identitas terkait==		==Identitas terkait==

	Identitas Brahmagupta–Fibonacci mirip dengan [[identitas empat kuadrat Euler]] yang terkait dengan [[kuaternion]], dan [[identitas delapan kuadrat Degen]] yang diperoleh dari [[oktonion]] yang memiliki hubungan dengan [[periodisitas Bott]]. Adapula [[identitas enam belas kuadrat Pfister]], meskipun bukan lagi merupakan identitas bilinear.		Identitas Brahmagupta–Fibonacci mirip dengan [[identitas empat kuadrat Euler]] yang terkait dengan [[kuaternion]], dan [[identitas delapan kuadrat Degen]] yang diperoleh dari [[oktonion]] yang memiliki hubungan dengan [[periodisitas Bott]]. Adapula [[identitas enam belas kuadrat Pfister]], meskipun bukan lagi merupakan identitas bilinear.

Baris 28:		Baris 27:

	== Perkalian bilangan kompleks ==		== Perkalian bilangan kompleks ==

	Jika <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, dan <math>d</math> adalah [[bilangan real]], maka identitas Brahmagupta–Fibonacci ekuivalen dengan sifat perkalian untuk nilai mutlak dari [[bilangan kompleks]]:		Jika <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, dan <math>d</math> adalah [[bilangan real]], maka identitas Brahmagupta–Fibonacci ekuivalen dengan sifat perkalian untuk nilai mutlak dari [[bilangan kompleks]]:

Baris 41:		Baris 39:
	:<math> (a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. </math>		:<math> (a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. </math>

	Jika variabel <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, dan <math>d</math> adalah [[bilangan rasional]], maka perhitungan tersebut memperlihatkan identitas yang dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa [[medan norma\|norma]] dalam [[Lapangan (matematika)\|lapangan]] <math>\Q(i)</math> adalah multiplikatif: norma ini dinyatakan dengan		Jika variabel <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, dan <math>d</math> adalah [[bilangan rasional]], maka perhitungan tersebut memperlihatkan identitas yang dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa [[medan norma\|norma]] dalam [[Lapangan (matematika)\|lapangan]] <math>\Q(i)</math> adalah multiplikatif: norma ini dinyatakan dengan
	: <math>N(a+bi) = a^2 + b^2,</math>		: <math>N(a+bi) = a^2 + b^2,</math>
	dan perhitungan perkaliannya sama dengan perhitungan sebelumnya.		dan perhitungan perkaliannya sama dengan perhitungan sebelumnya.
Baris 54:		Baris 52:
	:<math>(x_1x_2 + Ay_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2).</math>		:<math>(x_1x_2 + Ay_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2).</math>

	Brahmagupta tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk <math>x^2 - Ay^2 = 1</math> yang dimulai dengan satu solusi, tetapi juga menghasilkan solusi bilangan bulat atau "bilangan bulat dekat" yang sering kali dapat diperoleh dengan membagi komposisi tersebut dengan <math>k_1 k_2</math>. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh [[Bhaskara II]] pada 1150, yaitu [[metode chakravala\|metode chakravala (siklus)]] yang juga didasarkan pada identitas ini.		Brahmagupta tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk <math>x^2 - Ay^2 = 1</math> yang dimulai dengan satu solusi, tetapi juga menghasilkan solusi bilangan bulat atau "bilangan bulat dekat" yang sering kali dapat diperoleh dengan membagi komposisi tersebut dengan <math>k_1 k_2</math>. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh [[Bhaskara II]] pada 1150, yaitu [[metode chakravala\|metode chakravala (siklus)]] yang juga didasarkan pada identitas ini.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci&oldid=27515936 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	== Menulis bilangan bulat sebagai jumlah dari dua kuadrat ==		== Menulis bilangan bulat sebagai jumlah dari dua kuadrat ==
Baris 60:		Baris 58:

	==Lihat pula==		==Lihat pula==

	* [[Matriks Brahmagupta]]		* [[Matriks Brahmagupta]]
	* [[Matematika India]]		* [[Matematika India]]
	* [[Daftar matematikawan India]]		* [[Daftar matematikawan India]]
	* [[Jumlah teorema dua kuadrat]]		* [[Jumlah teorema dua kuadrat]]


	==Catatan==		==Catatan==


	~~==Referensi==~~
	*
	*

	==Pranala luar==		==Pranala luar==
	*[http://planetmath.org/SumsOfTwoSquares Identitas Brahmagupta] di [[PlanetMath]]		*[http://planetmath.org/SumsOfTwoSquares Identitas Brahmagupta] di [[PlanetMath]]
Baris 79:		Baris 69:
	*[http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/ Sebuah Kumpulan Identitas Aljabar]		*[http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/ Sebuah Kumpulan Identitas Aljabar]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci&oldid=27515936 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27515936 (2025-07-09T03:40:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci&oldid=27515936 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27515936 (2025-07-09T03:40:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27515936; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:36:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27515936; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar]], '''identitas Brahmagupta–Fibonacci''' mengatakan bahwa hasil kali dari dua jumlah dua bilangan kuadrat sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat dengan dua cara yang berbeda. Oleh karena itu, himpunan dari semua jumlah dari dua bilangan kuadrat adalah [[Ketertutupan (matematika)|ketertutupan]] di bawah perkalian. Secara khusus, identitas ini mengatakan
:<math>\begin{align}
\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 & & (1) \\
& {}= \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2. & & (2)
\end{align}</math>
Sebagai contoh,
:<math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.</math>

Identitas ini dikenal juga sebagai '''identitas Diophantus''', yang pertama kali dibuktikan oleh [[Diophantus|Diophantus dari Alexandria]]. Ini adalah kasus khusus dari [[identitas empat kuadrat Euler]] dan juga [[identitas Lagrange]].

[[Brahmagupta]] membuktikan dan menggunakan identitas yang lebih umum ([[identitas Brahmagupta]]), ekuivalen dengan
:<math>\begin{align}
\left(a^2 + nb^2\right)\left(c^2 + nd^2\right) & {}= \left(ac-nbd\right)^2 + n\left(ad+bc\right)^2 & & (3) \\
& {}= \left(ac+nbd\right)^2 + n\left(ad-bc\right)^2. & & (4)
\end{align}</math>
Ini menunjukkan bahwa untuk sebarang konstan <math>A</math>, himpunan dari semua bilangan berbentuk <math>x^2 + Ay^2</math> adalah ketertutupan di bawah perkalian.

Identitas ini berlaku untuk semua [[bilangan bulat]], serta semua [[bilangan rasional]]; lebih umumnya, bilangan tersebut adalah benar dalam sebarang [[gelanggang komutatif]]. Keempat bentuk identitas tersebut dapat diverifikasikan dengan [[perluasan polinomial|perluasan]] pada setiap sisi persamaan. Selain itu, persamaan (2) dapat diperoleh dari persamaan (1), atau persamaan (1) dari persamaan (2), dengan mengubah <math>b</math> menjadi <math>-b</math>, dan begitpula untuk persamaan (3) dan persamaan (4).

==Sejarah==
Identitas ini pertama kali ditemukan dalam buku karya [[Diophantus]], ''[[Arithmetica]]'' (III, 19), yang ditulis pada abad ketiga M. Identitas ini ditemukan kembali oleh [[Brahmagupta]], seorang [[Matematikawan India|matematikawan]] dan [[astronomi India|astronom]] berkebangsaan India, yang memperumumkannya ke [[identitas Brahmagupta]], dan menggunakannya dalam studi yang dikenal saat ini, [[persamaan Pell]]. Karya miliknya, ''[[Brahmasphutasiddhanta]],'' diterjemahkan dari bahasa [[Sansekerta]] ke bahasa [[Bahasa Arab|Arab]] oleh [[Mohammad al-Fazari]], dan kemudian diterjemahkan ke [[Latin]] pada tahun 1126. Identitas tersebut diperkenalkan di Eropa barat pada tahun 1225 oleh [[Fibonacci]] dalam bukunya yang berjudul ''[[The Book of Squares]]'', dan oleh karena itu, identitas tersebut sering dikaitkan dengannya.

==Identitas terkait==

Identitas Brahmagupta–Fibonacci mirip dengan [[identitas empat kuadrat Euler]] yang terkait dengan [[kuaternion]], dan [[identitas delapan kuadrat Degen]] yang diperoleh dari [[oktonion]] yang memiliki hubungan dengan [[periodisitas Bott]]. Adapula [[identitas enam belas kuadrat Pfister]], meskipun bukan lagi merupakan identitas bilinear.

Identitas ini sangat terkait dengan [[teorema Hurwitz (aljabar komposisi)|klasifikasi Hurwitz]] dari [[aljabar komposisi]].

== Perkalian bilangan kompleks ==

Jika <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, dan <math>d</math> adalah [[bilangan real]], maka identitas Brahmagupta–Fibonacci ekuivalen dengan sifat perkalian untuk nilai mutlak dari [[bilangan kompleks]]:

:<math> | a+bi | \cdot | c+di | = | (a+bi)(c+di) | .</math>

Hal ini dapat diperlihatkan sebagai berikut: dengan memperluas sisi kanan dan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, maka sifat perkalian ekuivalen dengan

:<math> | a+bi |^2 \cdot | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,</math>

Berdasarkan definisi nilai absolut, persamaan ini menjadi ekuivalen dengan

:<math> (a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. </math>

Jika variabel <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, dan <math>d</math> adalah [[bilangan rasional]], maka perhitungan tersebut memperlihatkan identitas yang dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa [[medan norma|norma]] dalam [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>\Q(i)</math> adalah multiplikatif: norma ini dinyatakan dengan
: <math>N(a+bi) = a^2 + b^2,</math>
dan perhitungan perkaliannya sama dengan perhitungan sebelumnya.

== Aplikasi pada persamaan Pell ==
Dalam konteks aslinya, Brahmagupta mengaplikasikan penemuan identitas ini pada solusi [[persamaan Pell]] <math>x^2 - Ay^2 = 1</math>. Ketika menggunakan identitas dalam bentuk yang lebih umum

:<math>(x_1^2 - Ay_1^2)(x_2^2 - Ay_2^2) = (x_1x_2 + Ay_1y_2)^2 - A(x_1y_2 + x_2y_1)^2, </math>

Brahmagupta mampu "menyusun" rangkap tiga <math>(x_1, y_1, k_1)</math> dan <math>(x_2, y_2, k_2)</math> untuk solusi dari <math>x^2 - Ay^2 = k</math>, sehingga menghasilkan rangkap tiga baru

:<math>(x_1x_2 + Ay_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2).</math>

Brahmagupta tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk <math>x^2 - Ay^2 = 1</math> yang dimulai dengan satu solusi, tetapi juga menghasilkan solusi bilangan bulat atau "bilangan bulat dekat" yang sering kali dapat diperoleh dengan membagi komposisi tersebut dengan <math>k_1 k_2</math>. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh [[Bhaskara II]] pada 1150, yaitu [[metode chakravala|metode chakravala (siklus)]] yang juga didasarkan pada identitas ini.

== Menulis bilangan bulat sebagai jumlah dari dua kuadrat ==
Ketika digunakan bersama dengan salah satu dari [[Teorema Fermat pada jumlah dua kuadrat|teorema Fermat]], identitas Brahmagupta–Fibonacci membuktikan bahwa hasil kali dari bilangan kuadrat dan sebarang bilangan prima dalam bentuk <math>4n+1</math> sama dengan jumlah dari dua bilangan kuadrat.

==Lihat pula==

* [[Matriks Brahmagupta]]
* [[Matematika India]]
* [[Daftar matematikawan India]]
* [[Jumlah teorema dua kuadrat]]

==Catatan==

==Referensi==
*
*

==Pranala luar==
*[http://planetmath.org/SumsOfTwoSquares Identitas Brahmagupta] di [[PlanetMath]]
*[http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptaIdentity.html Identitas Brahmagupta] di [[MathWorld]]
*[http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/ Sebuah Kumpulan Identitas Aljabar]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci&oldid=27515936 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27515936 (2025-07-09T03:40:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.