Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:06:09Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.06
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam matematika, '''identitas Sophie Germain''' adalah [[faktorisasi polinomial]] yang dinamai dari [[Sophie Germain]]. Identitas ini mengatakan bahwa		Dalam matematika, '''identitas Sophie Germain''' adalah [[faktorisasi polinomial]] yang dinamai dari [[Sophie Germain]]. Identitas ini mengatakan bahwa
	<math display=block>		<math display=block>
	\begin{align}		\begin{align}
Baris 43:		Baris 43:
	</math>		</math>
	Menurut identitas Sophie Germain, [[fungsi kuadrat]] memenuhi persamaan fungsional di atas.		Menurut identitas Sophie Germain, [[fungsi kuadrat]] memenuhi persamaan fungsional di atas.

	~~== Referensi ==~~



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Sophie+Germain&oldid=29419030 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29419030 (2026-07-04T11:59:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Sophie+Germain&oldid=29419030 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29419030 (2026-07-04T11:59:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29419030; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:40:07Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29419030; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam matematika, '''identitas Sophie Germain''' adalah [[faktorisasi polinomial]] yang dinamai dari [[Sophie Germain]]. Identitas ini mengatakan bahwa
<math display=block>
\begin{align}
x^4 + 4y^4 &= \bigl((x + y)^2 + y^2\bigr)\cdot\bigl((x - y)^2 + y^2\bigr)\\
&= (x^2 + 2xy + 2y^2)\cdot(x^2 - 2xy + 2y^2).
\end{align}</math>
Selain penerapannya di dalam [[aljabar elementer]], identitas ini juga dapat digunakan dalam [[teori bilangan ]] untuk [[faktorisasi bilangan bulat|memfaktorkan bilangan bulat]] dari bentuk khusus <math>x^4+4y^4</math>, dan sering kali membentuk basis permasalahan di dalam [[kompetisi matematika]].

== Sejarah ==
Walaupun identitas ini dikaitkan dengan Sophie Germain, tetapi identitas ini tidak terdapat di dalam karyanya. Dalam karyanya malahan identitas yang berkaitan dapat ditemukan dengan cara berikut
<math display=block>
\begin{align}
x^4+y^4 &= (x^2-y^2)^2+2(xy)^2\\
&= (x^2+y^2)^2-2(xy)^2.\\
\end{align}</math>
Mengubah persamaan ini dengan mengalikan <math>y</math> oleh <math>\sqrt2</math> memberikan
<math display=block>
x^4+4y^4 = (x^2+2y^2)^2-4(xy)^2,
</math>
sebuah ekspresi berupa [[Selisih dua bilangan kuadrat|selisih dari dua bilangan kuadrat]], yang menghasilkan identitas Germain. Ketidakakuratan mengenai keterkaitan identitas ini dengan Germain dibuat oleh [[Leonard Eugene Dickson]] dalam karyanya ''[[History of the Theory of Numbers]]''. Di dalamnya lagi, ia mengatakan (lagi-lagi tidak akurat) bahwa identitas ini ditemukan dalam surat dari [[Leonhard Euler]] kepada [[Christian Goldbach]].

Identitas ini dengan mudah dapat dibuktikan, dengan cara mengalikan kedua suku [[faktorisasi]] bersama, serta membenarkan bahwa hasil kalinya sama dengan ruas kanan persamaan. Sebuah [[bukti tanpa kata]] juga dapat dilakukan yang didasarkan pada banyak penerapan [[teorema Pythagoras]].

== Penerapannya ke faktorisasi bilangan bulat ==
Suatu akibat dari identitas Germain adalah bahwa bilangan dengan bentuk
<math display=block>n^4+4^n</math>
tidak dapat berupa [[bilangan prima]] untuk <math>n>1</math>. (Untuk <math>n=1</math>, hasilnya memberikan bilangan prima 5.) Bilangan dengan bentuk tersebut tidak menghasilkan bilangan prima jika <math>n</math> adalah bilangan genap, dan jika <math>n</math> bilangan ganjil maka bilangan tersebut mempunyai faktorisasi yang diberikan oleh identitas dengan <math>x=n</math> dan <math>y=2^{(n-1)/2}</math>. Bilangan-bilangan tersebut (diawali dari <math>n=0</math>) membentuk [[barisan bilangan bulat]]

Banyaknya kemunculan identitas Sophie Germain dalam kompetisi matematika berasal dari korolari.

Adapun kasus istimewa dari identitas dengan <math>x=1</math> dan <math>y=2^k</math> dapat digunakan untuk menghasilkan faktorisasi
<math display=block>
\begin{align}
\Phi_4(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\
&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\
\end{align}</math>
dengan <math>\Phi_4(x)=x^2+1</math> adalah [[polinomial siklotomik]] keempat. Sama halnya dengan [[polinomial]] siklotomik untuk lebih umum, <math>\Phi_4</math> adalah [[polinomial tak tereduksi]], sehingga faktorisasi dari tak berhingganya nilainya ini tak dapat diperluas ke faktorisasi dari <math>\Phi_4</math> sebagai suatu polinomial. Karena itu, faktorisasi ini merupakan contoh dari [[faktorisasi aurifeuillean]].

==Perumuman==
Identitas Germain telah diperumum ke [[persamaan fungsional]]
<math display=block>
f(x)^2+4f(y)^2 = \bigl( f(x+y)+f(y) \bigr)\bigl(f(x-y)+f(y)\bigr).
</math>
Menurut identitas Sophie Germain, [[fungsi kuadrat]] memenuhi persamaan fungsional di atas.

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas+Sophie+Germain&oldid=29419030 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29419030 (2026-07-04T11:59:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Identitas Sophie Germain - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29419030; atribusi sumber disertakan.