Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:12:21Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.12
Baris 41:		Baris 41:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Induksi matematika\|Induksi matematis]]		* [[Induksi matematika\|Induksi matematis]]
	* [[Induksi transfinit]]		* [[Induksi transfinit]]
Baris 47:		Baris 46:
	* [[Teori himpunan konstruktif]]		* [[Teori himpunan konstruktif]]
	* [[Teori himpunan takberalasan]]		* [[Teori himpunan takberalasan]]



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi-epsilon&oldid=29409530 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409530 (2026-07-02T01:20:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi-epsilon&oldid=29409530 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409530 (2026-07-02T01:20:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409530; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:56:00Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409530; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''induksi'''-<math>\in</math> ('''induksi-epsilon''' atau '''induksi-himpunan''') merupakan sebuah ragam [[induksi transfinit]].

Dianggap sebagai sebuah skema [[aksioma]] teori himpunan alternatif, ini disebut '''Aksioma (skema) induksi (himpunan)'''

Ini dapat digunakan dalam [[teori himpunan]] untuk membuktikan bahwa semua [[Himpunan (matematika)|himpunan]] memenuhi sebuah sifat <math>P(x)</math> yang diberikan. Ini merupakan sebuah kasus khusus mengenai [[Relasi cukup beralasan#Induksi dan rekursi|induksi cukup beralasan]].

== Pernyataan ==
Ini menyatakan, untuk suatu sifat <math>P</math>, bahwa untuk setiap himpunan <math>x</math>, kebenaran <math>P(x)</math> mengikuti dari kebenaran <math>P</math> [[Kuantifikasi semesta|untuk semua]] unsur <math>x</math>, maka sifat <math>P</math> ini berlaku untuk semua himpunan. Dalam simbol:

:<math>\forall x. \Big(\left(\forall y \in x.\, P(y)\right) \rightarrow P(x)\Big)\ \rightarrow\ \forall z \, P(z)</math>

Perhatikan bahwa untuk "kasus bawah" dimana <math>x</math> melambangkan [[himpunan kosong]], <math>\forall y \in x</math>. <math>P(y)</math> adalah [[kebenaran hampa]].

=== Perbandingan dengan induksi bilangan asli ===
Di atas dapat dibandingkan dengan induksi-<math>\omega</math> [[Induksi matematika|atas bilangan asli]] <math>n \in \{0,1,2\dots\}</math> untuk sifat-sifat bilangan <math>Q</math>. Ini dapat diungkapkan sebagai

:<math>\Big(Q(0)\land \forall n. (Q(n) \to Q(n+1))\Big)\ \to\ \forall m.\, Q(m)</math>

Memperkenalkan beberapa konvensi untuk karena pencerminan Induksi Himpunan, ini dapat diutlis sebagai

:<math>\forall n. \Big(Q(n-1) \to Q(n)\Big)\ \to\ \forall m.\, Q(m)</math>

dimana untuk "kasus bawah" <math>n = 0</math> kita ambil "<math>Q(-1)</math>" menjadi benar oleh definisi. Perhatikan bahwa induksi-himpunan dapat juga diperlakukan dalam sebuah cara yang memperlakukan kasus bawah dengan eksplisit.

Dengan tautologi klasik seperti <math>(A\to B)\iff(\neg A \lor B)</math>, prinsip induksi-<math>\omega</math> di atas dapat diterjemahkan ke pernyataan berikut:

:<math>\exists n. \Big(Q(n-1) \land \neg Q(n)\Big)\ \lor\ \forall m.\, Q(m)</math>

Ini mengungkapkan bahwa, untuk suatu sifat <math>Q</math>, baik terdapat suatu bilangan (pertama) <math>n</math> yang mana <math>Q</math> tidak berlaku, meskipun <math>Q</math> berlaku untuk kasus sebelumnya, atau - jika tidak ada seperti kasus palsu - <math>Q</math> adalah benar untuk semua bilangan.

Demikian, dalam teori Zermelo–Fraenkel klasik, induksi-himpunan dapat diterjemahkan ke pernyataan berikut, menjelaskan bentuk apa mengenai contoh berlawanan mencegah sebuah sifat himpunan <math>P </math> berlaku untuk semua himpunan:

:<math>\exist x. \Big(\left(\forall y \in x.\, P(y)\right) \,\land\, \neg P(x)\Big)\ \lor\ \forall z \, P(z)</math>

Ekspresi ini bahwa, untuk suatu sifat <math>P</math>, baik ada sebuah himpunan <math>x </math> yang mana <math>P</math> tidak berlaku sementara <math>P</math> menjadi benar untuk semua unsur <math>x</math>, atau <math>P</math> berlaku untuk semua himpunan.

Untuk suatu sifat, jika salah satu dapat membuktikan bahwa <math>\forall y \in x</math>. <math>P(y)</math> menyiratkan <math>P(x)</math>, maka kasus palsu dikesampingkan dan rumusnya menyatakan bahwa <math>\forall z \, P(z)</math> terpisah harus berlaku.

== Kebebasan ==
Dalam konteks dari [[Teori himpunan konstruktif|konstruksi Zermelo–Fraenkel teori himpunan konstruktif]], mengutip [[Aksioma keteraturan]] akan menyiratkan [[kaidah menengah terkecuali]] dan juga induksi himpunan. Tapi kemudian hasil teorinya akan menjadi [[teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] standar. Namun, sebaliknya, induksi himpunan menyiratkan baik bukan dari dua. Dengan kata lain, dengan sebuah kerangka [[logika]] konstruktif, induksi himpunan seperti yang dinyatakan di atas lebih lemah sempurna daripada keteraturan.

== Lihat pula ==

* [[Induksi matematika|Induksi matematis]]
* [[Induksi transfinit]]
* [[Induksi beralasan]]
* [[Teori himpunan konstruktif]]
* [[Teori himpunan takberalasan]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi-epsilon&oldid=29409530 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409530 (2026-07-02T01:20:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Induksi-epsilon - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409530; atribusi sumber disertakan.