Integral Berezin - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:59:56Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.59
Baris 31:		Baris 31:
	untuk setiap <math>f \in \Lambda^n</math>, di mana <math>\frac{\partial}{\partial \theta_i}</math> berarti [[turunan parsial]] kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.		untuk setiap <math>f \in \Lambda^n</math>, di mana <math>\frac{\partial}{\partial \theta_i}</math> berarti [[turunan parsial]] kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.

	Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya		Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya<ref>''Mirror symmetry''. American Mathematical Society. 2003. hlm. 155. ISBN 0-8218-2955-6.</ref>

	: <math>\int_{\Lambda^n}\theta_{1}\cdots\theta_{n}\,\mathrm{d}\theta:=1.</math>		: <math>\int_{\Lambda^n}\theta_{1}\cdots\theta_{n}\,\mathrm{d}\theta:=1.</math>
Baris 49:		Baris 49:

	== Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil ==		== Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil ==

	=== Definisi ===		=== Definisi ===
	Sekarang pertimbangkan aljabar <math>\Lambda^{m \mid n}</math> dari fungsi dari variabel komutatif real <math>x = x_1, \dots, x_m</math> dan variabel antikomutatif <math>\theta_{1},\ldots,\theta_{n}</math> (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi <math>(m\|n)</math>). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi <math>f=f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n} </math> adalah sebuah fungsi dari variabel <math>m </math> genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel <math>n</math> ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota <math>f = f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n} </math> adalah sebuah fungsi dari argumen <math>x</math> yang bervariasi di himpunan terbuka <math>X \subset \mathbb{R}^m</math> dengan nilai di aljabar <math>\Lambda^n </math>. Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak <math>K \subset \mathbb{R}^m</math>. Integral Berezin adalah		Sekarang pertimbangkan aljabar <math>\Lambda^{m \mid n}</math> dari fungsi dari variabel komutatif real <math>x = x_1, \dots, x_m</math> dan variabel antikomutatif <math>\theta_{1},\ldots,\theta_{n}</math> (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi <math>(m\|n)</math>). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi <math>f=f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n} </math> adalah sebuah fungsi dari variabel <math>m </math> genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel <math>n</math> ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota <math>f = f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n} </math> adalah sebuah fungsi dari argumen <math>x</math> yang bervariasi di himpunan terbuka <math>X \subset \mathbb{R}^m</math> dengan nilai di aljabar <math>\Lambda^n </math>. Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak <math>K \subset \mathbb{R}^m</math>. Integral Berezin adalah
Baris 94:		Baris 93:

	== Sejarah ==		== Sejarah ==
	Teori matematika dari integral dengan variabel komuter dan antikomuter ditemukan dan dikembangkan oleh [[Felix Berezin]]. Beberapa wawasan awal yang penting dibuat oleh [[David John Candlin]] di tahun 1956. Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam, dan Martin.		Teori matematika dari integral dengan variabel komuter dan antikomuter ditemukan dan dikembangkan oleh [[Felix Berezin]].<ref>A. Berezin, ''The Method of Second Quantization'', Academic Press, (1966)</ref> Beberapa wawasan awal yang penting dibuat oleh [[David John Candlin]]<ref>D.J. Candlin. ''On Sums over Trajectories for Systems With Fermi Statistics''. ''Nuovo Cimento''. 1956. Vol. 4 (2). hlm. 231–239. doi:10.1007/BF02745446.</ref> di tahun 1956. Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov<ref>I.M. Khalatnikov. [http://jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_001_03_0568.pdf Predstavlenie funkzij Grina v kvantovoj elektrodinamike v forme kontinualjnyh integralov]. ''Journal of Experimental and Theoretical Physics''. 1955. Vol. 28 (3). hlm. 633.</ref> (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam,<ref>P. T. Matthews. ''Propagators of quantized field''. ''Il Nuovo Cimento''. Springer Science and Business Media LLC. 1955. Vol. 2 (1). hlm. 120–134. doi:10.1007/bf02856011.</ref> dan Martin.<ref>P. T. Matthews. ''Propagators of quantized field''. ''Il Nuovo Cimento''. Springer Science and Business Media LLC. 1955. Vol. 2 (1). hlm. 120–134. doi:10.1007/bf02856011.</ref>

	== Literatur ==		== Literatur ==
			* Theodore Voronov: ''Geometric integration theory on Supermanifolds'', Harwood Academic Publisher,
	* Theodore Voronov: ''Geometric integration theory on Supermanifolds'', Harwood Academic Publisher,		* Berezin, Felix Alexandrovich: ''Introduction to Superanalysis'', Springer Netherlands,
	* Berezin, Felix Alexandrovich: ''Introduction to Superanalysis'', Springer Netherlands,

	== Lihat Pula ==		== Lihat Pula ==

	* [[Supermanifold]]		* [[Supermanifold]]
	* [[Berezinian]]		* [[Berezinian]]

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />


	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Berezin&oldid=28660203 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28660203 (2025-12-04T07:42:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Berezin&oldid=28660203 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28660203 (2025-12-04T07:42:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28660203; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:23:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28660203; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[fisika matematis]], '''Integral Berezin''', dinamai dari [[Felix Berezin]], (juga dikenal sebagai '''Integral Grassmann''', dinamai dari [[Hermann Grassmann]]) adalah sebuah cara untuk mendefinisikan integral pada fungsi-fungsi pada [[variabel Grassmann]] (anggota dari [[aljabar eksterior]]). Itu bukan sebuah integral dalam maksud [[integral Lebesgue]], kata "integral" digunakan karena integral Berezin memiliki sifat-sifat [[analogi]] dari integral Lebesgue dan karena memperpanjang [[Rumus integral lintasan|integral lintasan]] dalam fisika, yang di mana itu digunakan sebagai sebuah penjumlahan atas sejarah pada [[fermion]].

== Definisi ==
Misalkan <math>\Lambda^n</math> adalah aljabar eksterior dari [[polinomial]] dalam anggota antikomutatif <math>\theta_1,\dots, \theta_n</math> dari bidang [[bilangan kompleks]]. (Urutan dari generator <math>\theta_1,\dots, \theta_n</math> tetap dan mendefinisikan awal dari aljabar eksterior.)

=== Satu variabel ===
''Integral Berezin'' melebihi variabel tunggal Grassmann <math>\theta = \theta_1</math> didefinisikan menjadi sebuah fungsional linear

: <math>\int [af(\theta)+bg(\theta)] \, d\theta = a\int f(\theta) \, d\theta + b\int g(\theta) \, d\theta, \quad a,b \in \Complex</math>

...di mana kita mendefinisikan...

: <math>\int \theta \, d\theta = 1, \qquad \int \, d\theta = 0 </math>

sehinggaː

: <math>\int \frac\partial{\partial\theta}f(\theta)\,d\theta = 0.</math>

Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik dan menyiratkan

: <math>\int (a\theta+b)\, d\theta = a, \quad a,b \in \Complex. </math>

Perhatikan bahwa <math>f(\theta) = a \theta + b</math> merupakan fungsi yang paling umum dari <math>\theta</math> karena variabel Grassmann kuadrat ke nol, jadi <math>f(\theta)</math> tidak dapat memiliki istilah tak nol melebihi urutan linear.

=== Beberapa variabel ===
''Integral Berezin'' dari <math>\Lambda^n</math> didefinisikan sebagai fungsi linear unik <math>\int_{\Lambda^n} \mathrm{d}\theta</math> dengan sifat-sifat berikut.

: <math>\int_{\Lambda^n}\theta_{n}\cdots\theta_{1}\,\mathrm{d}\theta=1,</math>
: <math>\int_{\Lambda^n}\frac{\partial f}{\partial\theta_{i}}\,\mathrm{d}\theta=0,\ i=1,\dots,n</math>

untuk setiap <math>f \in \Lambda^n</math>, di mana <math>\frac{\partial}{\partial \theta_i}</math> berarti [[turunan parsial]] kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.

Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya

: <math>\int_{\Lambda^n}\theta_{1}\cdots\theta_{n}\,\mathrm{d}\theta:=1.</math>

Rumus

: <math>\int_{\Lambda^n}f(\theta) \mathrm{d}\theta=\int_{\Lambda^1}\left( \cdots \int_{\Lambda^1}\left(\int_{\Lambda^1}f(\theta) \, \mathrm{d}\theta_{1}\right) \, \mathrm{d}\theta_2 \cdots \right)\mathrm{d}\theta_n</math>

mengekspresikan hukum Fubini. Di sisi kanan, bagian dalam integral pada sebuah monomial <math>f = g(\theta ' )\theta_1</math> diatur menjadi <math>g(\theta ')</math>, di mana <math>\theta'=\left(\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\right)</math>, integral dari <math>f=g (\theta')</math> menghilang. Integral dengan terhadap <math>\theta_2</math> dihitung dalam cara yang sama dan sebagainya.

=== Perubahan dari variael Grassmann ===
Misalkan <math>\theta_{i}=\theta_{i}\left(\xi_{1},\ldots,\xi_{n}\right),\ i=1,\ldots,n</math>, adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris <math>\xi_1,\dots,\xi_n</math>. Matriks Jacobian bisa ditulis

di mana <math>\frac{\partial}{\partial \xi_j}</math> merujuk turunan sebelah kanan (<math>\frac{\partial(\theta_1\theta_2)}{\partial\theta_2} = \theta_1, \; \frac{\partial(\theta_1\theta_2)}{\partial \theta_1} = -\theta_2</math>). Rumus untuk perubahan koordinat terbaca

: <math>\int f(\theta)\mathrm{d}\theta=\int f(\theta( \xi))(\det D)^{-1}\mathrm{d}\xi.</math>

== Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil ==

=== Definisi ===
Sekarang pertimbangkan aljabar <math>\Lambda^{m \mid n}</math> dari fungsi dari variabel komutatif real <math>x = x_1, \dots, x_m</math> dan variabel antikomutatif <math>\theta_{1},\ldots,\theta_{n}</math> (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi <math>(m|n)</math>). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi <math>f=f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n} </math> adalah sebuah fungsi dari variabel <math>m </math> genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel <math>n</math> ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota <math>f = f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n} </math> adalah sebuah fungsi dari argumen <math>x</math> yang bervariasi di himpunan terbuka <math>X \subset \mathbb{R}^m</math> dengan nilai di aljabar <math>\Lambda^n </math>. Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak <math>K \subset \mathbb{R}^m</math>. Integral Berezin adalah

: <math>\int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x,\theta)\mathrm{d}\theta \mathrm{d}x=\int_{\R^{m}}\mathrm{d}x\int_{\Lambda^{n}}f(x,\theta)\mathrm{d}\theta.</math>

=== Perubahan variabel genap dan ganjil ===
Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh <math>x_{i}=x_{i} (y,\xi),\ i=1,\ldots,m;\ \theta_{j}=\theta_{j} (y,\xi),j=1,\ldots, n</math>, di mana <math>x_i</math> genap dan <math>\theta_j</math> adalah polinomial ganjil dari <math>\xi</math> bergantung pada variabel genap <math>y</math>. Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː

: <math>\mathrm{J}=\frac{\partial(x,\theta)}{\partial (y,\xi)}= \begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix},</math>

di mana setiap turunan genap <math>\frac{\partial}{\partial y_j}</math> komuter dengan semua anggota dari aljabar <math>\Lambda^{m \mid n} </math>, turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil. Entri dari blok diagonal <math>A = \frac{\partial x}{\partial y}</math> dan <math>D = \frac{\partial \theta}{\partial \xi}</math> adalah genap dan entri dari blok off-diagonal <math>B = \frac{\partial x}{\partial \xi}</math>, <math>C = \frac{\partial \theta}{\partial y}</math>, di mana <math>\frac{\partial}{\partial \xi_j} </math> lagi berarti ''turunan kanan''.

Kita sekarang perlu [[Berezinian]] (atau superdeterminan) dari matriks <math>\mathrm{J}</math>, yang di mana fungsi genap

: <math>\mathrm{Ber~J}=\det\left( A-BD^{-1}C\right) \det D^{-1}</math>

mendefinisikan ketika fungsi <math>\det D</math> invertible (artinya matriks yang dapat dibalik) dalam <math>\Lambda^{m \mid n} </math>. Andaikan bahwa fungsi real <math>x_i = x_i(y,0)</math> mendefinisikan pemetaan invertible mulus <math>F : Y \to X</math> dari himpunan terbuka <math>X, Y</math> dalam <math>\mathbb{R}^m</math> dan bagian linear dari <math>\xi \mapsto \theta = \theta(y, \xi) </math> invertible untuk setiap <math>y \in Y </math>. Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan

: <math>\int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x,\theta)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}x=\int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x(y,\xi),\theta (y,\xi)) \varepsilon \mathrm{Ber~J~d} \xi\mathrm{d}y =\int_{\Lambda^{m\mid n}}f (x(y,\xi),\theta (y,\xi))\varepsilon\frac{\det\left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}y,</math>

di mana <math>\varepsilon=\mathrm{sgn}\left(\det \left(\frac{\partial x(y,0)}{\partial y} \right) \right)</math> adalah tanda dari awalnya pemetaan <math>F</math>. Superposisi <math>f(x(y,\xi),\theta(y,\xi))</math> mendefinisikan dalam cara yang jelas, jika fungsi <math>x_{i}(y,\xi)</math> tidak bergantung pada <math>\xi</math>. Dalam kasus umum, kita tulis <math>x_{i}(y,\xi) = x_i(y,0) + \delta_i</math>, di mana <math>\delta_{i}, i=1,\ldots,m</math> adalah anggota nilpoten genap dari <math>\Lambda^{m \mid n} </math> dan himpunan

: <math>f(x(y,\xi),\theta) =f(x(y,0),\theta) +\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x(y,0),\theta) \delta_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(x(y,0),\theta) \delta_{i}\delta_{j}+ \cdots</math>,

di mana [[deret Taylor]] terbatas.

== Rumus yang berguna ==
Rumus berikut untuk integral Gaussian digunakan kerap kali dalam [[rumus integral lintasan]] dari [[teori medan kuantum]]ː

*<math>\int \exp\left[-\theta^TA\eta\right]\ \mathrm{d}\theta \ \mathrm{d}\eta = \det A </math>

dengan <math>A</math> menjadi sebuah matriks <math>n \times n</math> yang kompleks.

<math>\int \exp\left[- \tfrac{1}{2} \theta^T M \theta\right] \, \mathrm{d} \theta = \begin{cases} \mathrm{Pf}\, M & n \mbox{ genap} \\ 0 & n \mbox{ ganjil} \end{cases}</math>

dengan <math>M</math> menjadi sebuah matriks miring simetris <math>n \times n </math> yang kompleks, dan <math>\text{Pf} \ M</math> menjadi Pfaffian dari <math>M</math><math>M </math>, yang memenuhi <math>(\text{Pf}\ M)^2 = \det M</math>.

Rumus di atas, notasi <math>\mathrm{d}\theta = \mathrm{d}\theta_1 \cdots \mathrm{d}\theta_n </math> digunakan. Dari rumus-rumus ini, rumus berguna lainnya berikutː

*<math>\int \exp\left[-\left(\theta^TA\eta +\theta^T J + K^T \eta \right)\right] \,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\eta = \det A \,\,\exp[-K^T A^{-1} J ] </math>

dengan <math>A </math> menjadi sebuah matriks <math>n \times n </math> invertible. Catatan bahwa integral-integral ini semuanya dalam bentuk dari [[Fungsi partisi (matematika)|fungsi partisi]].

== Sejarah ==
Teori matematika dari integral dengan variabel komuter dan antikomuter ditemukan dan dikembangkan oleh [[Felix Berezin]]. Beberapa wawasan awal yang penting dibuat oleh [[David John Candlin]] di tahun 1956. Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam, dan Martin.

== Literatur ==

* Theodore Voronov: ''Geometric integration theory on Supermanifolds'', Harwood Academic Publisher,
* Berezin, Felix Alexandrovich: ''Introduction to Superanalysis'', Springer Netherlands,

== Lihat Pula ==

* [[Supermanifold]]
* [[Berezinian]]

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Berezin&oldid=28660203 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28660203 (2025-12-04T07:42:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.