Integral Gauss - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:59:03Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.59
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:E^(-x^2).svg\|thumb\|right\|280px\|Grafik dari fungsi ''f''(''x'') = ''e'' −''x'' 2 dan luas di antara fungsi tersebut dan sumbu ''x'' (yakni, di sepanjang garis), sama dengan \scriptstyle\sqrt{\pi}]]

	'''Integral Gauss''', juga dikenal dengan nama '''integral Euler–Poisson''', merupakan integral dari [[fungsi Gauss]] <math>f(x) = e^{-x^2}</math> di sepanjang garis riil. Integral ini dinamai dari matematikawan Jerman [[Carl Friedrich Gauss]], dan dituliskan secara matematis sebagai		'''Integral Gauss''', juga dikenal dengan nama '''integral Euler–Poisson''', merupakan integral dari [[fungsi Gauss]] <math>f(x) = e^{-x^2}</math> di sepanjang garis riil. Integral ini dinamai dari matematikawan Jerman [[Carl Friedrich Gauss]], dan dituliskan secara matematis sebagai

	:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>		:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>

	Jenis integral ini awalnya ditemukan oleh [[Abraham de Moivre]] pada tahun 1733, tetapi Gauss menerbitkan bentuk integral yang rinci pada tahun 1809. Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung [[konstanta normalisasi]] dari [[distribusi normal]]. Bentuk integral yang sama dengan limit terbatas memiliki kaitan yang erat dengan [[fungsi galat]] dan [[fungsi distribusi kumulatif]] dari [[distribusi normal]]. Dalam ilmu fisika, jenis fungsi ini sering muncul, sebagai contoh: dalam [[mekanika kuantum]], untuk mencari [[Fungsi kepadatan peluang\|kepadatan peluang]] dari [[keadaan dasar]] osilator harmonik; dalam [[mekanika statistika]], untuk mencari [[Fungsi partisi (mekanika statistika)\|fungsi partisi]].		Jenis integral ini awalnya ditemukan oleh [[Abraham de Moivre]] pada tahun 1733, tetapi Gauss menerbitkan bentuk integral yang rinci pada tahun 1809.<ref>Saul Stahl. [https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/stahl96.pdf The Evolution of the Normal Distribution]. ''MAA.org''. April 2006.</ref> Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung [[konstanta normalisasi]] dari [[distribusi normal]]. Bentuk integral yang sama dengan limit terbatas memiliki kaitan yang erat dengan [[fungsi galat]] dan [[fungsi distribusi kumulatif]] dari [[distribusi normal]]. Dalam ilmu fisika, jenis fungsi ini sering muncul, sebagai contoh: dalam [[mekanika kuantum]], untuk mencari [[Fungsi kepadatan peluang\|kepadatan peluang]] dari [[keadaan dasar]] osilator harmonik; dalam [[mekanika statistika]], untuk mencari [[Fungsi partisi (mekanika statistika)\|fungsi partisi]].
	== Cara menghitung ==		== Cara menghitung ==

	=== Menggunakan koordinat polar ===		=== Menggunakan koordinat polar ===
	Salah satu cara umum menghitung integral Gauss, berdasar pada ide yang dapat ditelusuri kembali ke Poisson, adalah menggunakan sifat:<math display="block">\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\, dx\,dy. </math>Selanjutnya, pertimbangkan fungsi <math>e^{-\left(x^2 + y^2\right)} = e^{-r^{2}}</math>pada bidang <math>\mathbb{R}^2</math>, yang integralnya dapat dihitung menggunakan dua cara:		Salah satu cara umum menghitung integral Gauss, berdasar pada ide yang dapat ditelusuri kembali ke Poisson,<ref>Peter M. Lee. [https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/normal_history.pdf The Probability Integral].</ref> adalah menggunakan sifat:<math display="block">\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\, dx\,dy. </math>Selanjutnya, pertimbangkan fungsi <math>e^{-\left(x^2 + y^2\right)} = e^{-r^{2}}</math>pada bidang <math>\mathbb{R}^2</math>, yang integralnya dapat dihitung menggunakan dua cara:

	# Di ruas kiri, menggunakan [[Integral lipat\|integral lipat dua]] di [[Sistem koordinat Cartesius\|sistem koordinat Kartesius]], yang hasilnya adalah sebuah kuadrat: <math display="inline">\left(\int e^{-x^2}\,dx\right)^2;</math>		# Di ruas kiri, menggunakan [[Integral lipat\|integral lipat dua]] di [[Sistem koordinat Cartesius\|sistem koordinat Kartesius]], yang hasilnya adalah sebuah kuadrat: <math display="inline">\left(\int e^{-x^2}\,dx\right)^2;</math>
Baris 31:		Baris 32:
	\end{align}</math>Menggunakan [[teorema Fubini]], integral lipat dua di atas dapat dianggap sebagai integral luas<math display="block">\iint_{[-a, a] \times [-a, a]} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,d(x,y),</math> yang dilakukan di petak persegi dengan sudut-sudut <math>\{(-a,a),\,(a,a),\,(a,-a),\,(-a,-a)\} </math> pada bidang-<math>xy. </math> Karena fungsi eksponesial bernilai positif untuk sebarang [[bilangan riil]], dapat disimpulkan integrasi yang dilakukan pada daerah lingkaran singgung dalam persegi akan bernilai kurang dari <math display="inline">I(a)^2</math> sedangkan integrasi pada daerah lingkaran singgung luar persegi akan lebih besar dari <math display="inline">I(a)^2.</math> Kedua integrasi tersebut dapat mudah dihitung dengan [[Daftar transformasi koordinat\|mengubah sistem koordinat dari Kartesius ke polar]]:<math display="block">\begin{align}		\end{align}</math>Menggunakan [[teorema Fubini]], integral lipat dua di atas dapat dianggap sebagai integral luas<math display="block">\iint_{[-a, a] \times [-a, a]} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,d(x,y),</math> yang dilakukan di petak persegi dengan sudut-sudut <math>\{(-a,a),\,(a,a),\,(a,-a),\,(-a,-a)\} </math> pada bidang-<math>xy. </math> Karena fungsi eksponesial bernilai positif untuk sebarang [[bilangan riil]], dapat disimpulkan integrasi yang dilakukan pada daerah lingkaran singgung dalam persegi akan bernilai kurang dari <math display="inline">I(a)^2</math> sedangkan integrasi pada daerah lingkaran singgung luar persegi akan lebih besar dari <math display="inline">I(a)^2.</math> Kedua integrasi tersebut dapat mudah dihitung dengan [[Daftar transformasi koordinat\|mengubah sistem koordinat dari Kartesius ke polar]]:<math display="block">\begin{align}
	x & = r \cos \theta \\		x & = r \cos \theta \\
	y & = r \sin\theta.		y & = r \sin\theta.
	\end{align}</math>Transformasi ini memiliki [[determinan Jacobi]] <math display="block">		\end{align}</math>Transformasi ini memiliki [[determinan Jacobi]] <math display="block">
	\mathbf J(r, \theta) =		\mathbf J(r, \theta) =
	\begin{bmatrix}		\begin{bmatrix}
	\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\[1em]		\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\[1em]
Baris 46:		Baris 47:

	=== Dengan koordinat Kartesius ===		=== Dengan koordinat Kartesius ===
	Teknik berbeda, yang berasal dari Laplace (1812), juga dapat digunakan untuk menghitung integral Gauss. Karena fungsi <math display="inline">e^{-x^2}</math>merupakan fungsi genap, hasil integrasi di sepanjang garis riil sama saja dengan dua kali lipat hasil integrasi dari nol sampai takhingga; secara matematis <math display="block">I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\,dx.</math>Selanjutnya, dengan menggunakan subtitusi<math display="block">\begin{align}		Teknik berbeda, yang berasal dari Laplace (1812),<ref>Peter M. Lee. [https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/normal_history.pdf The Probability Integral].</ref> juga dapat digunakan untuk menghitung integral Gauss. Karena fungsi <math display="inline">e^{-x^2}</math>merupakan fungsi genap, hasil integrasi di sepanjang garis riil sama saja dengan dua kali lipat hasil integrasi dari nol sampai takhingga; secara matematis <math display="block">I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\,dx.</math>Selanjutnya, dengan menggunakan subtitusi<math display="block">\begin{align}
	y & = xs \\		y & = xs \\
	dy & = x\,ds,		dy & = x\,ds,
	\end{align}</math>dan memperhatikan variabel <math>y</math> dan <math>s</math> memiliki limit yang sama pada selang integrasi (<math>x\geq 0</math>), bentuk kuadrat dari <math>I</math> dapat dijabarkan seperti berikut<math display="block">\begin{align}		\end{align}</math>dan memperhatikan variabel <math>y</math> dan <math>s</math> memiliki limit yang sama pada selang integrasi (<math>x\geq 0</math>), bentuk kuadrat dari <math>I</math> dapat dijabarkan seperti berikut<math display="block">\begin{align}
	I^2 &= 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} dy\,dx \\[6pt]		I^2 &= 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} dy\,dx \\[6pt]
Baris 66:		Baris 67:
	== Perumuman ==		== Perumuman ==
	===Integral dari fungsi Gauss===		===Integral dari fungsi Gauss===

	Integral dari sebarang [[fungsi Gauss]] adalah		Integral dari sebarang [[fungsi Gauss]] adalah

Baris 78:		Baris 78:

	===Perumuman fungsional dan dimensi-===		===Perumuman fungsional dan dimensi-===


	Misalkan <math>A</math> adalah [[matriks presisi]] yang [[Matriks simetrik\|simetrik]] dan definit positif, yang dihasilkan dari invers [[matriks kovarians]]. Dapat ditunjukkan<math display="block">\begin{align}		Misalkan <math>A</math> adalah [[matriks presisi]] yang [[Matriks simetrik\|simetrik]] dan definit positif, yang dihasilkan dari invers [[matriks kovarians]]. Dapat ditunjukkan<math display="block">\begin{align}
	\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^n x &= \int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x \right)} \, d^n x \\		\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^n x &= \int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x \right)} \, d^n x \\
Baris 87:		Baris 85:
	\end{align}</math>Dengan melengkapi kuadrat, bentuk di atas dapat diperumum menjadi <math display="block">\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x + b^\mathsf{T} x + c\right)} \, d^n x = \sqrt{\det (2 \pi A^{-1})} e^{\frac 12 b^\mathsf{T} A^{-1}b + c}</math>Fakta ini diterapkan dalam studi terkait [[distribusi normal multivariat]]. Selain itu,<math display="block">\int x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}} \, \exp{\left( -\frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \, \frac{1}{2^N N!} \, \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}</math> dengan <math>\sigma</math> menyatakan [[permutasi]] dari <math>\{1,\,\cdots,\,2N\} </math> dan faktor tambahan di ruas kanan adalah hasil penjumlahan atas semua pasangan kombinatorik <math>\{1,\,\cdots,\,2N\} </math> dari <math>N</math> salinan <math>A^{-1}.</math>.		\end{align}</math>Dengan melengkapi kuadrat, bentuk di atas dapat diperumum menjadi <math display="block">\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x + b^\mathsf{T} x + c\right)} \, d^n x = \sqrt{\det (2 \pi A^{-1})} e^{\frac 12 b^\mathsf{T} A^{-1}b + c}</math>Fakta ini diterapkan dalam studi terkait [[distribusi normal multivariat]]. Selain itu,<math display="block">\int x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}} \, \exp{\left( -\frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \, \frac{1}{2^N N!} \, \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}</math> dengan <math>\sigma</math> menyatakan [[permutasi]] dari <math>\{1,\,\cdots,\,2N\} </math> dan faktor tambahan di ruas kanan adalah hasil penjumlahan atas semua pasangan kombinatorik <math>\{1,\,\cdots,\,2N\} </math> dari <math>N</math> salinan <math>A^{-1}.</math>.

	Alternatif lain,<math display="block">\int f(\vec x) \exp{\left( - \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp{\left({1\over 2} \sum_{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)} f(\vec{x})\right\|_{\vec{x}=0}</math>Untuk suatu [[fungsi analitik]] <math>f</math>, mengasumsikan pertumbuhan fungsi tersebut memenuhi suatu batasan yang masuk akal, dan beberapa kriteria lainnya. Perpangkatan pada operator diferensial dipandang sebagai bentuk [[deret pangkat]].		Alternatif lain,<ref>[https://math.stackexchange.com/q/126227 Reference for Multidimensional Gaussian Integral]. ''Stack Exchange''. March 30, 2012.</ref><math display="block">\int f(\vec x) \exp{\left( - \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp{\left({1\over 2} \sum_{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)} f(\vec{x})\right\|_{\vec{x}=0}</math>Untuk suatu [[fungsi analitik]] <math>f</math>, mengasumsikan pertumbuhan fungsi tersebut memenuhi suatu batasan yang masuk akal, dan beberapa kriteria lainnya. Perpangkatan pada operator diferensial dipandang sebagai bentuk [[deret pangkat]].

	=== Perumuman dimensi-'''' dengan suku linear ===		=== Perumuman dimensi-'''' dengan suku linear ===
Baris 108:		Baris 106:

	===Polinomial tingkat tinggi===		===Polinomial tingkat tinggi===
			Menerapkan [[perubahan basis]] linier memperlihatkan bahwa integral dari eksponensial dari [[polinomial]] homogen pada <math>n</math> variabel hanya dapat bergantung pada invarian-[[SL(n)\|SL(''n'')]] dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah [[diskriminan]], akar fungsi yang menandai singularitas integral. Sayangnya, integral tersebut juga dapat bergantung pada invarian lainnya.<ref>A. Morozov. ''Pengantar diskriminan integral''. ''Journal of High Energy Physics''. 2009. Vol. 12. hlm. 002. doi:10.1088/1126-6708/2009/12/002.</ref>
	Menerapkan [[perubahan basis]] linier memperlihatkan bahwa integral dari eksponensial dari [[polinomial]] homogen pada <math>n</math> variabel hanya dapat bergantung pada invarian-[[SL(n)\|SL(''n'')]] dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah [[diskriminan]], akar fungsi yang menandai singularitas integral. Sayangnya, integral tersebut juga dapat bergantung pada invarian lainnya.

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Daftar integral dari fungsi Gauss]]		* [[Daftar integral dari fungsi Gauss]]
	* [[Integral yang umum dalam teori medan kuantum]]		* [[Integral yang umum dalam teori medan kuantum]]
Baris 119:		Baris 115:
	* [[Fungsi galat]]		* [[Fungsi galat]]
	* [[Integral Berezin]]		* [[Integral Berezin]]

	~~== Referensi ==~~


	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==
	*		*
	*		*
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Gauss&oldid=26980381 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26980381 (2025-03-01T01:19:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Gauss&oldid=26980381 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26980381 (2025~~-03-~~01T01:19:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26980381; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:21:08Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26980381; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Integral Gauss''', juga dikenal dengan nama '''integral Euler–Poisson''', merupakan integral dari [[fungsi Gauss]] <math>f(x) = e^{-x^2}</math> di sepanjang garis riil. Integral ini dinamai dari matematikawan Jerman [[Carl Friedrich Gauss]], dan dituliskan secara matematis sebagai

:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>

Jenis integral ini awalnya ditemukan oleh [[Abraham de Moivre]] pada tahun 1733, tetapi Gauss menerbitkan bentuk integral yang rinci pada tahun 1809. Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung [[konstanta normalisasi]] dari [[distribusi normal]]. Bentuk integral yang sama dengan limit terbatas memiliki kaitan yang erat dengan [[fungsi galat]] dan [[fungsi distribusi kumulatif]] dari [[distribusi normal]]. Dalam ilmu fisika, jenis fungsi ini sering muncul, sebagai contoh: dalam [[mekanika kuantum]], untuk mencari [[Fungsi kepadatan peluang|kepadatan peluang]] dari [[keadaan dasar]] osilator harmonik; dalam [[mekanika statistika]], untuk mencari [[Fungsi partisi (mekanika statistika)|fungsi partisi]].
== Cara menghitung ==

=== Menggunakan koordinat polar ===
Salah satu cara umum menghitung integral Gauss, berdasar pada ide yang dapat ditelusuri kembali ke Poisson, adalah menggunakan sifat:<math display="block">\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\, dx\,dy. </math>Selanjutnya, pertimbangkan fungsi <math>e^{-\left(x^2 + y^2\right)} = e^{-r^{2}}</math>pada bidang <math>\mathbb{R}^2</math>, yang integralnya dapat dihitung menggunakan dua cara:

# Di ruas kiri, menggunakan [[Integral lipat|integral lipat dua]] di [[Sistem koordinat Cartesius|sistem koordinat Kartesius]], yang hasilnya adalah sebuah kuadrat: <math display="inline">\left(\int e^{-x^2}\,dx\right)^2;</math>
# Di ruas kanan, menggunakan [[Integrasi kulit|metode kulit]] (sautu bentuk integral lipat dua dalam [[Sistem koordinat polar|koordinat polar]]), hasil integralnya sama dengan <math>\pi</math>

Integral Gauss dapat dihitung dengan menggabungkan kedua cara tersebut, walau perhatian khusus diperlukan saat berurusan dengan bentuk [[integral takwajar]]:<math display="block">\begin{align}
\iint_{\R^2} e^{-\left(x^2 + y^2\right)}dx\,dy
&= \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d\theta\\[6pt]
&= 2\pi \int_0^\infty re^{-r^2}\,dr\\[6pt]
&= 2\pi \int_{-\infty}^0 \tfrac{1}{2} e^s\,ds && s = -r^2\\[6pt]
&= \pi \int_{-\infty}^0 e^s\,ds \\[6pt]
&= \lim_{x\to-\infty}\pi \left(e^0 - e^x\right) \\[6pt]
&=\pi
\end{align}</math>Faktor <math>r</math> yang ada di ruas kanan berasal dari nilai [[determinan Jacobi]], yang muncul akibat [[Daftar transformasi koordinat|transformasi ke koordinat polar]] (<math>r\,dr\, d\theta</math> adalah ukuran standar pada bidang, yang dinyatakan dalam koordinat polar). Teknik [[Integral substitusi|subtitusi]] juga dilakukan dengan mengambil <math>s=-r^2,</math> sehingga <math>ds = -2r\, dr.</math>

Menggabungkan semua yang telah didapatkan, dihasilkan bentuk<math display="block">\left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \right )^2=\pi,</math> sehingga<math display="block">\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}.</math>

==== Bukti lengkap ====
Penggunaan integral lipat dua takwajar dan menyamakan bentuk kedua ekpresi dapat dijustifikasi sebagai berikut. Pertimbangkan fungsi hampiran<math display="block">I(a) = \int_{-a}^a e^{-x^2}dx.</math>Jika hasil dari integral <math display="block">\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx</math> [[konvergen absolut]], maka integral tersebut memiliki [[nilai utama Cauchy]]; dengan kata lain limit dari <math display="inline">\lim_{a\to\infty} I(a) </math> akan sama dengan hasil integral tersebut. Untuk melihat itu memang terjadi, pertimbangkan bahwa<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \left|e^{-x^2}\right| dx < \int_{-\infty}^{-1} -x e^{-x^2}\, dx + \int_{-1}^1 e^{-x^2}\, dx+ \int_{1}^{\infty} x e^{-x^2}\, dx < \infty .</math>Ini mengartikan integral<math display="block">\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx</math> dapat dihitung cukup dengan menghitung limit dari<math display="block">\lim_{a\to\infty} I(a).</math>Menghitung kuadrat dari <math>I(a)</math> akan menghasilkan bentuk<math display="block">\begin{align}
I(a)^2 & = \left ( \int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx \right ) \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right ) \\[6pt]
& = \int_{-a}^a \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )\,e^{-x^2}\, dx \\[6pt]
& = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,dy\,dx.
\end{align}</math>Menggunakan [[teorema Fubini]], integral lipat dua di atas dapat dianggap sebagai integral luas<math display="block">\iint_{[-a, a] \times [-a, a]} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,d(x,y),</math> yang dilakukan di petak persegi dengan sudut-sudut <math>\{(-a,a),\,(a,a),\,(a,-a),\,(-a,-a)\} </math> pada bidang-<math>xy. </math> Karena fungsi eksponesial bernilai positif untuk sebarang [[bilangan riil]], dapat disimpulkan integrasi yang dilakukan pada daerah lingkaran singgung dalam persegi akan bernilai kurang dari <math display="inline">I(a)^2</math> sedangkan integrasi pada daerah lingkaran singgung luar persegi akan lebih besar dari <math display="inline">I(a)^2.</math> Kedua integrasi tersebut dapat mudah dihitung dengan [[Daftar transformasi koordinat|mengubah sistem koordinat dari Kartesius ke polar]]:<math display="block">\begin{align}
x & = r \cos \theta \\
y & = r \sin\theta.
\end{align}</math>Transformasi ini memiliki [[determinan Jacobi]] <math display="block">
\mathbf J(r, \theta) =
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\[1em]
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\theta} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos\theta & - r\sin \theta \\
\sin\theta & r\cos \theta
\end{bmatrix} = r
</math> dan elemen luas<math display="block">d(x,y) = |\mathbf{J}(r, \theta)|d(r,\theta) = r\, d(r,\theta).</math>Dengan demikian, kedua integrasi tadi dapat ditulis sebagai<math display="block">\int_0^{2\pi} \int_0^a re^{-r^2} \, dr \, d\theta < I^2(a) < \int_0^{2\pi} \int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2} \, dr\, d\theta.</math>Mengintegrasi ruas kiri dan ruas kanan,<math display="block">\pi \left(1-e^{-a^2}\right) < I^2(a) < \pi \left(1 - e^{-2a^2}\right). </math>Akhirnya, dengan menggunakan [[teorema apit]] didapatkan <math display="inline">\lim_{a\to\infty} I(a)=\pi </math>, sehingga integral Gauss

<math display="block">\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}.</math>

=== Dengan koordinat Kartesius ===
Teknik berbeda, yang berasal dari Laplace (1812), juga dapat digunakan untuk menghitung integral Gauss. Karena fungsi <math display="inline">e^{-x^2}</math>merupakan fungsi genap, hasil integrasi di sepanjang garis riil sama saja dengan dua kali lipat hasil integrasi dari nol sampai takhingga; secara matematis <math display="block">I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\,dx.</math>Selanjutnya, dengan menggunakan subtitusi<math display="block">\begin{align}
y & = xs \\
dy & = x\,ds,
\end{align}</math>dan memperhatikan variabel <math>y</math> dan <math>s</math> memiliki limit yang sama pada selang integrasi (<math>x\geq 0</math>), bentuk kuadrat dari <math>I</math> dapat dijabarkan seperti berikut<math display="block">\begin{align}
I^2 &= 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} dy\,dx \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} \, dy \right) \, dx \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2\left(1+s^2\right)} x\,ds \right) \, dx \\[6pt]
\end{align}</math>Menggunakan [[teorema Fubini]] untuk menukar urutan integrasi:<math display="block">\begin{align}
I^2 &= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2\left(1 + s^2\right)} x \, dx \right) \, ds \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left[ \frac{e^{-x^2\left(1+s^2\right)} }{-2 \left(1+s^2\right)} \right]_{x=0}^{x=\infty} \, ds \\[6pt]
&= 4 \left (\frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{ds}{1+s^2} \right) \\[6pt]
&= 2 \arctan(s)\Big |_0^\infty \\[6pt]
&= \pi.
\end{align}</math>Alhasil, terbukti <math>I = \sqrt{\pi}</math>.

== Kaitan dengan fungsi gamma ==
Integran dalam integral Gauss merupakan [[fungsi genap]], mengartikan<math display="block">\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx,</math>Jadi, setelah variabel <math>x</math> diubah menjadi <math>\sqrt{t}</math>, bentuk integral tersebut berubah menjadi [[integral Euler]]<math display="block">2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx=2\int_0^\infty \frac{1}{2}\ e^{-t} \ t^{-\frac{1}{2}} dt = \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}</math>dengan <math display="inline"> \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt </math> adalah [[fungsi gamma]]. Hal ini memperlihatkan alasan [[faktorial]] dari setengah-bilangan-bulat adalah kelipatan rasional dari <math>\sqrt \pi</math>. Dengan mensubtitusi <math>t = ax^b</math> di integran, dapat dihasilkan bentuk integral yang lebih umum,<math display="block">\int_0^\infty x^n e^{-ax^b} dx = \frac{\Gamma\left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}} </math>

== Perumuman ==
===Integral dari fungsi Gauss===

Integral dari sebarang [[fungsi Gauss]] adalah

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x+b)^2}\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}.</math>

Integral di atas mempunyai bentuk alternatif, yaitu

:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}+c}.</math>

Bentuk ini berguna dalam menghitung ekspektasi dari beberapa [[Sebaran probabilitas|distribusi probabilitas]] kontinu yang berkaitan dengan [[distribusi normal]]; seperti [[distribusi log-normal]], sebagai contoh.

===Perumuman fungsional dan dimensi-===

Misalkan <math>A</math> adalah [[matriks presisi]] yang [[Matriks simetrik|simetrik]] dan definit positif, yang dihasilkan dari invers [[matriks kovarians]]. Dapat ditunjukkan<math display="block">\begin{align}
\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^n x &= \int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x \right)} \, d^n x \\

&= \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} =\sqrt{\frac{1}{\det (A / 2\pi)}}\\
&=\sqrt{\det (2 \pi A^{-1})}
\end{align}</math>Dengan melengkapi kuadrat, bentuk di atas dapat diperumum menjadi <math display="block">\int_{\mathbb{R}^n} \exp{\left(-\frac 1 2 x^\mathsf{T} A x + b^\mathsf{T} x + c\right)} \, d^n x = \sqrt{\det (2 \pi A^{-1})} e^{\frac 12 b^\mathsf{T} A^{-1}b + c}</math>Fakta ini diterapkan dalam studi terkait [[distribusi normal multivariat]]. Selain itu,<math display="block">\int x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}} \, \exp{\left( -\frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \, \frac{1}{2^N N!} \, \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}</math> dengan <math>\sigma</math> menyatakan [[permutasi]] dari <math>\{1,\,\cdots,\,2N\} </math> dan faktor tambahan di ruas kanan adalah hasil penjumlahan atas semua pasangan kombinatorik <math>\{1,\,\cdots,\,2N\} </math> dari <math>N</math> salinan <math>A^{-1}.</math>.

Alternatif lain,<math display="block">\int f(\vec x) \exp{\left( - \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp{\left({1\over 2} \sum_{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)} f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0}</math>Untuk suatu [[fungsi analitik]] <math>f</math>, mengasumsikan pertumbuhan fungsi tersebut memenuhi suatu batasan yang masuk akal, dan beberapa kriteria lainnya. Perpangkatan pada operator diferensial dipandang sebagai bentuk [[deret pangkat]].

=== Perumuman dimensi-'''' dengan suku linear ===
Jika <math>A</math> merupakan matriks simetrik definit-positif, maka (dengan asumsi bahwa semuanya adalah vektor kolom):<math display="block">\int e^{-\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum\limits_{i=1}^{n}B_i x_i} d^nx=\int e^{-\frac{1}{2}\vec{x}^T \mathbf{A} \vec{x}+\vec{B}^T \vec{x}} d^nx= \sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{2}\vec{B}^{T}\mathbf{A}^{-1}\vec{B}}.</math>

===Integral dengan bentuk yang serupa===
Misalkan <math>n</math> adalah [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] dan <math>!!</math> menyatakan [[faktorial ganda]]. Beberapa integral berikut memiki bentuk yang mirip dengan integral Gauss:<math display="block">\int_0^\infty x^{2n} e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \sqrt{\pi}\frac{a^{2n+1} (2n-1)!!}{2^{n+1}}</math><math display="block">\int_0^\infty x^{2n+1} e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \frac{n!}{2} a^{2n+2}</math><math display="block">\int_0^\infty x^{2n}e^{-ax^2}\,dx = \frac{(2n-1)!!}{a^n 2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math><math display="block">\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-ax^2}\,dx = \frac{n!}{2a^{n+1}}</math><math display="block">\int_0^\infty x^{n}e^{-ax^2}\,dx = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2a^{\frac{n+1}{2}}}</math>

Sebuah cara mudah untuk menghasilkan bentuk-bentuk tersebut adalah dengan mendiferensialkannya terhadap variabel integrasi:

<math display="block">\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty x^{2n} e^{-\alpha x^2}\,dx
&= \left(-1\right)^n\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} e^{-\alpha x^2}\,dx \\
&= \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx\\
&= \sqrt{\pi} \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n}\alpha^{-\frac{1}{2}} \\
&= \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\frac{(2n-1)!!}{\left(2\alpha\right)^n}
\end{align}</math>

Cara lain untuk mendapatkannya adalah dengan menggunakan integral parsial dan menemukan [[relasi pengulangan]].

===Polinomial tingkat tinggi===

Menerapkan [[perubahan basis]] linier memperlihatkan bahwa integral dari eksponensial dari [[polinomial]] homogen pada <math>n</math> variabel hanya dapat bergantung pada invarian-[[SL(n)|SL(''n'')]] dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah [[diskriminan]], akar fungsi yang menandai singularitas integral. Sayangnya, integral tersebut juga dapat bergantung pada invarian lainnya.

== Lihat pula ==

* [[Daftar integral dari fungsi Gauss]]
* [[Integral yang umum dalam teori medan kuantum]]
* [[Distribusi normal]]
* [[Daftar integral dari fungsi eksponensial]]
* [[Fungsi galat]]
* [[Integral Berezin]]

== Referensi ==

== Daftar pustaka ==
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Gauss&oldid=26980381 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26980381 (2025-03-01T01:19:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.