Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:02:38Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.02
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Integral-area-under-curve.svg\|thumb\|right\|280px\|261x261px]]

	Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral.		Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral.

	== Konstruksi ==		== Konstruksi ==

	=== Ruang ukuran ===		=== Ruang ukuran ===
	Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)\|ruang ukuran]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math>.		Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)\|ruang ukuran]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math>.
Baris 39:		Baris 40:
	:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu .</math>		:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu .</math>

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Lebesgue&oldid=22724458 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22724458 (2023-01-22T19:23:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Lebesgue&oldid=22724458 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22724458 (2023~~-01-~~22T19:23:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22724458; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:32:00Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22724458; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral.

== Konstruksi ==

=== Ruang ukuran ===
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)|ruang ukuran]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math>.

=== Integral dari fungsi sederhana ===
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A: X \rightarrow \{ 0, 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} .</math>

Suatu fungsi <math> \phi: X \rightarrow \mathbb{R} </math> tersebut '''fungsi sederhana''', jika
:<math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math>
untuk <math> \alpha _1, \ldots, \alpha _n \in \mathbb{R} </math>, <math> A _1, \ldots, A _n \in \Sigma </math> dan <math> n \in \mathbb{N} </math>.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai
:<math> \int _X \phi\, d \mu = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu (A _i) .</math>

=== Integral dari fungsi tak negatif ===
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana <math> \mathcal{B} (\mathbb{R}) </math> aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
:<math> \int _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu: \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} .</math>
Perhatikan bahwa <math> \int _X f \, d \mu \in [ 0, \infty ] </math>.

=== Integral dari fungsi terukur sembarang ===
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur.
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f, 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f, 0 \} </math>.
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>.

Jika <math> \int _X f ^+ \, d \mu < \infty </math> dan <math> \int _X f ^- \, d \mu < \infty </math>, maka <math> f </math> dikatakan '''terintegralkan''' dan kita mendefinisikan
:<math> \int _X f \, d \mu = \int _X f ^+ \, d \mu - \int _X f ^- \, d \mu .</math>

Jelas, <math> f </math> terintegralkan jika dan hanya jika <math> \int | f | \, d \mu < \infty </math>.

== Sifat-sifat dasar ==
* Integral itu linear, yaitu jika <math> \alpha, \beta \in \mathbb{R} </math> dan <math> f, g </math> fungsi terintegralkan, maka <math> \alpha f + \beta g </math> juga terintegralkan dengan
:<math> \int _X \alpha f + \beta g \, d \mu = \alpha \int _X f \, d \mu + \beta \int _X g \, d \mu .</math>

* Integral itu monoton, yaitu jika <math> f,g </math> fungsi terintegralkan dan <math> f \leq g </math>, maka
:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu .</math>

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+Lebesgue&oldid=22724458 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22724458 (2023-01-22T19:23:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Integral Lebesgue - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22724458; atribusi sumber disertakan.