Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:03:28Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.03
Baris 69:		Baris 69:
	&= \frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}} \arctan \left(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\right) + \text{konstanta}.		&= \frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}} \arctan \left(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\right) + \text{konstanta}.
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	~~== Referensi ==~~
	* Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/QuadraticIntegral.html Quadratic Integral]." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource, wherein the following is referenced:
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+kuadratik&oldid=28437362 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28437362 (2025-11-13T02:41:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+kuadratik&oldid=28437362 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28437362 (2025-11-13T02:41:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28437362; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:31:20Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28437362; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''integral kuadratik''' adalah [[integral]] dengan bentuk umum
:<math>\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c}</math>

di mana nilai <math>a \neq 0</math>. Integral di atas dapat diselesaikan dengan [[melengkapkan kuadrat sempurna]] pada bagian [[pecahan|penyebut]], yaitu sebagai berikut

:<math>\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{4 a^2 x^2 + 4ab x + 4ac} \, dx \\
&= \int \frac{4a}{\left( 2ax \right)^2 + (2ax)(b) + b^2 - b^2 + 4ac} \, dx \\
&= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 - \left( b^2 - 4ac \right)} \, dx \\
\end{align}</math>

== Kasus Diskriminan Positif ==
Diasumsikan nilai [[diskriminan]] <math>b^2 - 4ac > 0</math>. Dalam kasus ini, didefinisikan variabel pembantu
* <math>2ax + b = t</math>
* <math>b^2 - 4ac = k^2</math>

yang mengakibatkan <math>2a \, dx = dt</math> dan <math>k = \sqrt{b^2 - 4ac}</math>. Dari sini, integral kuadratiknya menjadi
:<math>\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 - \left( b^2 - 4ac \right)} \, dx \\
&= \int \frac{2}{t^2 - k^2} \, dt \\
&= \int \frac{2}{(t - k)(t + k)} \, dt
\end{align}</math>

Dengan menggunakan teknik [[dekomposisi pecahan parsial]], perhatikan bahwa
:<math>\frac{2}{(t - k)(t - k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{t - k} - \frac{1}{t + k} \right)</math>

Sehingga diperoleh
:<math>\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{2}{(t - k)(t + k)} \, dt \\
&= \int \frac{1}{k} \left( \frac{1}{t - k} - \frac{1}{t + k} \right) \, dt \\
&= \frac{1}{\sqrt{b^2 - 4ac}} \left( \ln \left| t - k \right| - \ln \left| t + k \right| \right) + \text{konstanta} \\
&= \frac{1}{\sqrt{b^2 - 4ac}} \ln \left| \frac{t - k}{t + k} \right| + \text{konstanta} \\
&= \frac{1}{\sqrt{b^2 - 4ac}} \ln \left| \frac{2ax + b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2ax + b + \sqrt{b^2 - 4ac}} \right| + \text{konstanta}
\end{align}</math>

== Kasus Diskriminan Nol ==
Pada kasus ini, informasi nilai <math>b^2 - 4ac = 0</math> akan mempermudah pengerjaan integral kuadratiknya, karena
:<math>\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 - \left( b^2 - 4ac \right)} \, dx \\
&= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2} \, dx
\end{align}</math>

Dengan menggunakan substitusi <math>t = 2ax + b</math> (yang berarti <math>dt = 2a \, dx</math>), maka
:<math>\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2} \, dx \\
&= \int \frac{2}{t^2} \, dt \\
&= - \frac{2}{t} + \text{konstanta} \\
&= - \frac{2}{2ax + b} + \text{konstanta}
\end{align}</math>

== Kasus Diskriminan Negatif ==
Dikarenakan nilai [[diskriminan]] <math>b^2 - 4ac < 0</math>, maka suku kedua pada bagian penyebut dari
:<math>\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 - \left( b^2 - 4ac \right)} \, dx \\
&= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 + \left( 4ac - b^2 \right)} \, dx
\end{align}</math>
bernilai positif, sehingga akan digunakan substitusi
* <math>2ax + b = \sqrt{4ac - b^2} \tan t</math>
* <math>2a \, dx = \sqrt{4ac - b^2} \sec^2 t \, dt</math>
* <math>\tan^2 t + 1 = \sec^2 t</math> (lihat [[identitas Pythagoras]])

Akibatnya,
:<math>\begin{align}
\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} &= \int \frac{4a}{\left( 2ax + b \right)^2 + \left( 4ac - b^2 \right)} \, dx \\
&= \int \frac{2}{\left( \sqrt{4ac - b^2} \tan t \right)^2 + \left( 4ac - b^2 \right)} \cdot \sqrt{4ac - b^2} \sec^2 t \, dt \\
&= \int \frac{2}{\left( 4ac - b^2 \right) \left( \tan^2 t + 1 \right)} \cdot \sqrt{4ac - b^2} \sec^2 t \, dt \\
&= \frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}} \int \dfrac{\sec^2 t}{\sec^2 t} \, dt \\
&= \frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}} t + \text{konstanta} \\
&= \frac{2}{\sqrt{4ac - b^2}} \arctan \left(\frac{2ax + b}{\sqrt{4ac - b^2}}\right) + \text{konstanta}.
\end{align}</math>

== Referensi ==
* Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/QuadraticIntegral.html Quadratic Integral]." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource, wherein the following is referenced:
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+kuadratik&oldid=28437362 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28437362 (2025-11-13T02:41:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Integral kuadratik - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28437362; atribusi sumber disertakan.