Integral permukaan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:59:43Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.59
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Surface_integral_illustration.svg\|thumb\|right\|280px\|Surface integral illustration]]

	Dalam [[matematika]], '''Permukaan integral''' adalah generalisasi dari [[Integral lipat\|beberapa integral]] untuk integrasi di atas [[Permukaan (geometri diferensial)\|permukaan]]. Ini dapat dianggap sebagai analog [[Integral lipat\|integral]] lipat dari [[integral garis]] . Dengan adanya suatu permukaan, seseorang dapat mengintegralkan [[bidang skalar]] (yaitu, [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] posisi yang mengembalikan [[skalar]] sebagai nilai) di atas permukaan, atau [[medan vektor\|bidang vektor]] (yaitu, fungsi yang mengembalikan [[Vektor (spasial)\|vektor]] sebagai nilai). Jika suatu daerah R tidak datar, maka itu disebut [[Geometri diferensial permukaan\|permukaan]] seperti yang diperlihatkan dalam ilustrasi.		Dalam [[matematika]], '''Permukaan integral''' adalah generalisasi dari [[Integral lipat\|beberapa integral]] untuk integrasi di atas [[Permukaan (geometri diferensial)\|permukaan]]. Ini dapat dianggap sebagai analog [[Integral lipat\|integral]] lipat dari [[integral garis]] . Dengan adanya suatu permukaan, seseorang dapat mengintegralkan [[bidang skalar]] (yaitu, [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] posisi yang mengembalikan [[skalar]] sebagai nilai) di atas permukaan, atau [[medan vektor\|bidang vektor]] (yaitu, fungsi yang mengembalikan [[Vektor (spasial)\|vektor]] sebagai nilai). Jika suatu daerah R tidak datar, maka itu disebut [[Geometri diferensial permukaan\|permukaan]] seperti yang diperlihatkan dalam ilustrasi.

	Permukaan integral memiliki aplikasi dalam [[fisika]], khususnya dalam teori [[Elektrodinamika\|elektromagnetisme klasik]].		Permukaan integral memiliki aplikasi dalam [[fisika]], khususnya dalam teori [[Elektrodinamika\|elektromagnetisme klasik]].


	== Integral permukaan bidang skalar ==		== Integral permukaan bidang skalar ==
			Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan ''S'', kita perlu membuat [[Sistem koordinat\|parameter]] ''S'' dengan menentukan sistem [[koordinat lengkung]] pada ''S'', seperti [[Sistem koordinat geografi\|lintang dan bujur]] pada [[Bola (geometri)\|bola]] . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi '''x''' ( ''s'', ''t'' ), di mana ( ''s'', ''t'' ) bervariasi di beberapa daerah ''T'' di [[Sistem koordinat Kartesius\|bidang]] . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh <ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/calculus-analysis-symbols/ List of Calculus and Analysis Symbols]. ''Math Vault''. 2020-05-11.</ref><ref>[https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/surfaceintegrals.aspx#:~:text=The%20way%20to%20tell%20them,the%20often%20messy%20square%20root. Calculus III - Surface Integrals]. ''tutorial.math.lamar.edu''.</ref>
	Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan ''S'', kita perlu membuat [[Sistem koordinat\|parameter]] ''S'' dengan menentukan sistem [[koordinat lengkung]] pada ''S'', seperti [[Sistem koordinat geografi\|lintang dan bujur]] pada [[Bola (geometri)\|bola]] . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi '''x''' ( ''s'', ''t'' ), di mana ( ''s'', ''t'' ) bervariasi di beberapa daerah ''T'' di [[Sistem koordinat Kartesius\|bidang]] . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh

	<math>\iint_{S} f \,\mathrm dS		<math>\iint_{S} f \,\mathrm dS
Baris 16:		Baris 16:
	= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \sqrt{g} \, \mathrm ds\, \mathrm dt</math>		= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \sqrt{g} \, \mathrm ds\, \mathrm dt</math>

	di mana ''g'' adalah determinan [[bentuk fundamental pertama]] dari pemetaan permukaan '''x''' ( ''s'', ''t'' ).		di mana ''g'' adalah determinan [[bentuk fundamental pertama]] dari pemetaan permukaan '''x''' ( ''s'', ''t'' ).<ref>C. H. Edwards. [https://archive.org/details/advancedcalculus0000edwa Advanced Calculus of Several Variables]. Dover. 1994. hlm. [https://archive.org/details/advancedcalculus0000edwa/page/335 335]. ISBN 0-486-68336-2.</ref><ref>Michiel Hazewinkel. [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Surface_integral Encyclopedia of Mathematics]. Springer. 2001. hlm. Surface Integral. ISBN 978-1-55608-010-4.</ref>

	Contohnya, jika kita ingin mencari [[luas permukaan]] grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah <math>z=f\,(x,y)</math>, kita punya		Contohnya, jika kita ingin mencari [[luas permukaan]] grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah <math>z=f\,(x,y)</math>, kita punya
Baris 39:		Baris 39:

	== Permukaan integral bidang vektor ==		== Permukaan integral bidang vektor ==

	Pertimbangkan bidang vektor '''v''' pada permukaan ''S'', yaitu untuk setiap '''x''' dalam ''S'', '''v''' ('''x''') adalah vektor.		Pertimbangkan bidang vektor '''v''' pada permukaan ''S'', yaitu untuk setiap '''x''' dalam ''S'', '''v''' ('''x''') adalah vektor.

Baris 101:		Baris 100:
	* [[Sistem koordinat silinder\|Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat silinder]]		* [[Sistem koordinat silinder\|Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat silinder]]
	* [[Metode Holstein–Herring]]		* [[Metode Holstein–Herring]]

	~~== Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
Baris 109:		Baris 105:
	* [http://people.math.gatech.edu/~cain/notes/cal15.pdf Surface Integral — Theory and exercises]		* [http://people.math.gatech.edu/~cain/notes/cal15.pdf Surface Integral — Theory and exercises]

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+permukaan&oldid=28532867 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28532867 (2025-11-18T10:20:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+permukaan&oldid=28532867 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28532867 (2025~~-11-~~18T10:20:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28532867; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:22:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28532867; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''Permukaan integral''' adalah generalisasi dari [[Integral lipat|beberapa integral]] untuk integrasi di atas [[Permukaan (geometri diferensial)|permukaan]]. Ini dapat dianggap sebagai analog [[Integral lipat|integral]] lipat dari [[integral garis]] . Dengan adanya suatu permukaan, seseorang dapat mengintegralkan [[bidang skalar]] (yaitu, [[Fungsi (matematika)|fungsi]] posisi yang mengembalikan [[skalar]] sebagai nilai) di atas permukaan, atau [[medan vektor|bidang vektor]] (yaitu, fungsi yang mengembalikan [[Vektor (spasial)|vektor]] sebagai nilai). Jika suatu daerah R tidak datar, maka itu disebut [[Geometri diferensial permukaan|permukaan]] seperti yang diperlihatkan dalam ilustrasi.

Permukaan integral memiliki aplikasi dalam [[fisika]], khususnya dalam teori [[Elektrodinamika|elektromagnetisme klasik]].

== Integral permukaan bidang skalar ==

Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan ''S'', kita perlu membuat [[Sistem koordinat|parameter]] ''S'' dengan menentukan sistem [[koordinat lengkung]] pada ''S'', seperti [[Sistem koordinat geografi|lintang dan bujur]] pada [[Bola (geometri)|bola]] . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi '''x''' ( ''s'', ''t'' ), di mana ( ''s'', ''t'' ) bervariasi di beberapa daerah ''T'' di [[Sistem koordinat Kartesius|bidang]] . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh

<math>\iint_{S} f \,\mathrm dS
= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt</math>

di mana ekspresi antara bar di sisi kanan adalah [[Besaran (matematika)|besarnya]] dari [[Perkalian vektor|produk silang]] dari [[turunan parsial]] dari '''x''' ''(s,'' ''t),'' dan dikenal sebagai permukaan [[Elemen volume|elemen]] . Integral permukaan juga dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen

<math>\iint_{S} f \,\mathrm dS
= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \sqrt{g} \, \mathrm ds\, \mathrm dt</math>

di mana ''g'' adalah determinan [[bentuk fundamental pertama]] dari pemetaan permukaan '''x''' ( ''s'', ''t'' ).

Contohnya, jika kita ingin mencari [[luas permukaan]] grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah <math>z=f\,(x,y)</math>, kita punya

<math>L = \iint_S \,\mathrm dS
= \iint_T \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial y}\right\| \mathrm dx\, \mathrm dy</math>

rumus di atas adalah <math>\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))</math> . Yang seperti itu <math>{\partial \mathbf{r} \over \partial x}=(1, 0, f_x(x,y))</math>, dan <math>{\partial \mathbf{r} \over \partial y}=(0, 1, f_y(x,y))</math> . Jika

<math>\begin{align}
L
&{} = \iint_T \left\|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right\| \mathrm dx\, \mathrm dy \\
&{} = \iint_T \left\|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right\| \mathrm dx\, \mathrm dy \\
&{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2+\left({\partial f \over \partial y}\right)^2+1}\, \, \mathrm dx\, \mathrm dy
\end{align}</math>

Berikut salah satu merupakan rumus standar untuk luas permukaan yang dijelaskan dengan cara ini. Seseorang dapat mengenali vektor pada baris kedua terakhir di atas sebagai [[Permukaan normal|vektor normal]] ke permukaan.

Perhatikan, bahwa karena adanya [[perkalian silang]], rumus di atas hanya berfungsi untuk permukaan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi.

Hal ini dapat dilihat sebagai integrasi [[bentuk volume Riemannian]] pada permukaan berparameter, di mana [[tensor metrik]] diberikan oleh [[Bentuk fundamental pertama|bentuk dasar pertama]] permukaan.

== Permukaan integral bidang vektor ==

Pertimbangkan bidang vektor '''v''' pada permukaan ''S'', yaitu untuk setiap '''x''' dalam ''S'', '''v''' ('''x''') adalah vektor.

Integral permukaan dapat didefinisikan secara komponen sesuai dengan definisi integral permukaan dari suatu bidang skalar; hasilnya adalah vektor. Ini berlaku misalnya dalam ekspresi [[medan listrik]] di beberapa titik tetap karena permukaan bermuatan listrik, atau gravitasi di beberapa titik tetap karena selembar material.

Alternatifnya, jika kita mengintegrasikan [[komponen normal]] bidang vektor di atas permukaan, hasilnya adalah skalar, biasanya disebut [[fluks]] yang melewati permukaan. Bayangkan kita memiliki [[fluida]] yang mengalir melalui ''S'', sehingga '''v''' ('''x''') menentukan kecepatan fluida di '''x'''. [[Fluks]] didefinisikan sebagai jumlah fluida yang mengalir melalui ''S'' per satuan waktu.

Ilustrasi ini menyiratkan bahwa jika bidang vektor [[tangen]] ke ''S'' di setiap titik, maka fluksnya nol karena fluida hanya mengalir di [[Paralel (geometri)|paralel]] ke ''S'', dan tidak masuk maupun keluar. Ini juga menyiratkan bahwa jika '' 'v' '' tidak hanya mengalir di sepanjang ''S'', yaitu, jika '''v''' memiliki komponen tangensial dan normal, maka hanya komponen normal yang berkontribusi fluks. Berdasarkan alasan ini, untuk mencari fluks, kita perlu mengambil [[perkalian titik]] dari '''v''' dengan satuan [[permukaan normal]] '''n''' menjadi ''S'' di setiap titik, yang akan memberi kita bidang skalar, dan mengintegrasikan bidang yang diperoleh seperti di atas. Kami menemukan rumusnya

:<math>\begin{align}
\iint_S {\mathbf v}\cdot\mathrm d{\mathbf {S}} &= \iint_S \left({\mathbf v}\cdot {\mathbf n}\right)\,\mathrm dS\\
&{}= \iint_T \left({\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t)) \cdot {\left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) \over \left\|\left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right)\right\|}\right) \left\|\left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right)\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt\\
&{}=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) \mathrm ds\, \mathrm dt.
\end{align}</math>

Perkalian silang di sisi kanan ekspresi ini adalah permukaan normal (tidak harus unital) yang ditentukan oleh parametrisasi.

Rumus ini ''mendefinisikan'' integral di sebelah kiri (perhatikan titik dan notasi vektor untuk elemen permukaan).

Kami juga dapat menafsirkan ini sebagai kasus khusus untuk mengintegrasikan 2 bentuk, di mana kami mengidentifikasi bidang vektor dengan 1 bentuk, dan kemudian mengintegrasikan [[Hodge dual]] di atas permukaan.
Ini sama dengan mengintegrasikan <math>\langle \mathbf{v}, \mathbf{n} \rangle \;\mathrm dS </math> di atas permukaan yang terbenam, di mana <math>\mathrm dS</math> adalah bentuk volume yang diinduksi pada permukaan, diperoleh dengan [[perkalian interior]] dari metrik Riemannian dari ruang ambien dengan normal luar permukaan.

== Sintegral permukaan dari bentuk-2 diferensial ==
Bila
:<math> f=f_{z}\, \mathrm dx \wedge \mathrm dy + f_{x}\, \mathrm dy \wedge \mathrm dz + f_{y}\, \mathrm dz \wedge \mathrm dx</math>
menjadi [[bentuk diferensial|
diferensial 2-bentuk]] yang didefinisikan pada permukaan ''S'', dan jika

:<math>\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!</math>

menjadi parameter [[orientasi|pelestarian orientasi]] dari ''S'' dengan <math>(s,t)</math> di ''D''. Mengubah koordinat dari <math>(x, y)</math>
untuk <math>(s, t)</math>, bentuk diferensial berubah sebagai

:<math>\mathrm dx=\frac{\partial x}{\partial s}\mathrm ds+\frac{\partial x}{\partial t}\mathrm dt</math>

:<math>\mathrm dy=\frac{\partial y}{\partial s}\mathrm ds+\frac{\partial y}{\partial t}\mathrm dt</math>

Begitu <math> \mathrm dx \wedge \mathrm dy </math> berubah menjadi <math> \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \mathrm ds \wedge \mathrm dt </math>, di mana <math> \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} </math> menunjukkan determinan dari Jacobian dari fungsi transisi dari <math>(s, t)</math> pada <math>(x,y)</math>. Transformasi bentuk lainnya serupa.

Kemudian, Permukaan integral ''f'' pada ''S'' diberikan oleh

:<math>\iint_D \left[ f_{z} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} + f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)} \right]\, \mathrm ds\, \mathrm dt</math>

where
:<math>{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\right)</math>
is the surface element normal to ''S''.

Perhatikan bahwa integral permukaan bentuk-2 ini sama dengan integral permukaan bidang vektor yang memiliki komponen <math>f_x</math>, <math>f_y</math> dan <math>f_z</math>.

== Teorema yang melibatkan integral permukaan ==
Berbagai hasil yang berguna untuk integral permukaan dapat diturunkan menggunakan [[geometri diferensial]] dan [[kalkulus vektor]], seperti [[teorema divergensi]], dan generalisasinya, [[teorema Stokes]].

== Lihat pula ==
* [[Teorema divergensi]]
* [[Teorema Stokes]]
* [[Integral garis|Garis integral]]
* [[Elemen volume]]
* [[Integral volume]]
* [[Sistem koordinat Cartesius]]
* [[Sistem koordinat bola#Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola|Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat bola]]
* [[Sistem koordinat silinder|Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat silinder]]
* [[Metode Holstein–Herring]]

== Referensi ==

== Pranala luar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/SurfaceIntegral.html Surface Integral — from MathWorld]
* [http://people.math.gatech.edu/~cain/notes/cal15.pdf Surface Integral — Theory and exercises]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+permukaan&oldid=28532867 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28532867 (2025-11-18T10:20:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.