Integral substitusi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:11:54Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.11
Baris 4:		Baris 4:
	Sebelum menyatakan hasilnya dengan teliti, mari kita periksa kasus sederhana menggunakan [[integral tak tentu]].		Sebelum menyatakan hasilnya dengan teliti, mari kita periksa kasus sederhana menggunakan [[integral tak tentu]].

	Menghitung <math>\textstyle\int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx</math>.		Menghitung <math>\textstyle\int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx</math>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+substitusi&oldid=28431530 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	Kumpulan nilai <math>u=2x^3+1</math>. Hal tersebut berarti <math>\textstyle\frac{du}{dx}=6x^2</math>, atau, dalam [[bentuk diferensial]] pada <math>du=6x^2\,dx</math>. Sekarang		Kumpulan nilai <math>u=2x^3+1</math>. Hal tersebut berarti <math>\textstyle\frac{du}{dx}=6x^2</math>, atau, dalam [[bentuk diferensial]] pada <math>du=6x^2\,dx</math>. Sekarang

	:<math>\int(2x^3 +1)^7(x^2)\,dx = \frac{1}{6}\int\underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}}\underbrace{(6x^2)\,dx}_{du}=\frac{1}{6}\int u^{7}\,du=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}u^{8}\right)=\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C.</math>		:<math>\int(2x^3 +1)^7(x^2)\,dx = \frac{1}{6}\int\underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}}\underbrace{(6x^2)\,dx}_{du}=\frac{1}{6}\int u^{7}\,du=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}u^{8}\right)=\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C.</math>
Baris 17:		Baris 17:

	== Integral tentu ==		== Integral tentu ==
	Misalkan menjadikan fungsi yang dapat dibedakan dengan turunan kontinu, darimana adalah sebuah interval. Seandainya nilai pada adalah [[fungsi berkelanjutan]]. Kemudian, apakah		Misalkan menjadikan fungsi yang dapat dibedakan dengan turunan kontinu, darimana adalah sebuah interval. Seandainya nilai pada adalah [[fungsi berkelanjutan]]. Kemudian, apakah <ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+substitusi&oldid=28431530 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
	:<math>		:<math>
	\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du.		\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du.
	</math>		</math>

	Dalam notasi Leibniz, substitusi pada menghasilkan nilai		Dalam notasi Leibniz, substitusi pada menghasilkan nilai
	:<math>\frac{du}{dx} = \varphi'(x).</math>		:<math>\frac{du}{dx} = \varphi'(x).</math>
	Bekerja secara [[Heuristika\|heuristik]] dengan [[infinitesimal]], menghasilkan persamaan		Bekerja secara [[Heuristika\|heuristik]] dengan [[infinitesimal]], menghasilkan persamaan
	:<math>du = \varphi'(x)\,dx,</math>		:<math>du = \varphi'(x)\,dx,</math>
	Hasil rumus substitusi di atas. (Persamaan ini dapat diletakkan di atas dasar yang kuat dengan menafsirkannya sebagai pernyataan tentang [[bentuk diferensial]].) Seseorang dapat melihat metode integrasi dengan substitusi sebagai justifikasi parsial pada [[notasi Leibniz]] untuk integral dan turunan.		Hasil rumus substitusi di atas. (Persamaan ini dapat diletakkan di atas dasar yang kuat dengan menafsirkannya sebagai pernyataan tentang [[bentuk diferensial]].) Seseorang dapat melihat metode integrasi dengan substitusi sebagai justifikasi parsial pada [[notasi Leibniz]] untuk integral dan turunan.


	== Bukti ==		== Bukti ==
	Integrasi dengan substitusi dapat diturunkan dari [[teorema dasar kalkulus]] sebagai berikut. Mari cari nilai dan menjadi dua fungsi yang memenuhi [[hipotesis]] di atas itu terus menerus dan dapat diintegrasikan pada interval tertutup . Setelah itu fungsi pada		Integrasi dengan substitusi dapat diturunkan dari [[teorema dasar kalkulus]] sebagai berikut. Mari cari nilai dan menjadi dua fungsi yang memenuhi [[hipotesis]] di atas itu terus menerus dan dapat diintegrasikan pada interval tertutup . Setelah itu fungsi pada

	:<math>\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx</math>		:<math>\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx</math>
Baris 98:		Baris 97:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
	*		<references />
	*
	* .
	* .
	*
	* .
	*
	* .



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+substitusi&oldid=28431530 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28431530 (2025-11-12T14:27:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+substitusi&oldid=28431530 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28431530 (2025-11-12T14:27:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28431530; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:52:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28431530; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam bidang [[kalkulus]], '''integral substitusi''' atau '''substitusi-u''' adalah salah satu metode untuk mencari [[integral]] dengan mensubstitusi salah satu variabel dan mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana.

== Pengantar ==
Sebelum menyatakan hasilnya dengan teliti, mari kita periksa kasus sederhana menggunakan [[integral tak tentu]].

Menghitung <math>\textstyle\int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx</math>.

Kumpulan nilai <math>u=2x^3+1</math>. Hal tersebut berarti <math>\textstyle\frac{du}{dx}=6x^2</math>, atau, dalam [[bentuk diferensial]] pada <math>du=6x^2\,dx</math>. Sekarang

:<math>\int(2x^3 +1)^7(x^2)\,dx = \frac{1}{6}\int\underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}}\underbrace{(6x^2)\,dx}_{du}=\frac{1}{6}\int u^{7}\,du=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}u^{8}\right)=\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C.</math>

Prosedur tersebut sering digunakan, tetapi tidak semua integral dalam bentuk yang memungkinkan penggunaannya. Bagaimanapun, hasil harus diverifikasi dengan membedakan dan membandingkan dengan integral asli.

:<math>\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}\right]=\frac{1}{6}(2x^3+1)^{7}(6x^2) = (2x^3+1)^7(x^2).</math>

Untuk integral tertentu, batas integrasi juga harus disesuaikan, tetapi prosedurnya sebagian besar sama.

== Integral tentu ==
Misalkan menjadikan fungsi yang dapat dibedakan dengan turunan kontinu, darimana adalah sebuah interval. Seandainya nilai pada adalah [[fungsi berkelanjutan]]. Kemudian, apakah
:<math>
\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du.
</math>

Dalam notasi Leibniz, substitusi pada menghasilkan nilai
:<math>\frac{du}{dx} = \varphi'(x).</math>
Bekerja secara [[Heuristika|heuristik]] dengan [[infinitesimal]], menghasilkan persamaan
:<math>du = \varphi'(x)\,dx,</math>
Hasil rumus substitusi di atas. (Persamaan ini dapat diletakkan di atas dasar yang kuat dengan menafsirkannya sebagai pernyataan tentang [[bentuk diferensial]].) Seseorang dapat melihat metode integrasi dengan substitusi sebagai justifikasi parsial pada [[notasi Leibniz]] untuk integral dan turunan.

== Bukti ==
Integrasi dengan substitusi dapat diturunkan dari [[teorema dasar kalkulus]] sebagai berikut. Mari cari nilai dan menjadi dua fungsi yang memenuhi [[hipotesis]] di atas itu terus menerus dan dapat diintegrasikan pada interval tertutup . Setelah itu fungsi pada

:<math>\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx</math>

dan

:<math>\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du</math>

darimana pada kenyataannya ada, dan tetap menunjukkan bahwa mereka setara.

Setelah dapat dibedakan, menggabungkan [[aturan rantai]] dan definisi pemberian antiturunan

:<math>(F \circ \varphi)'(x) = F'(\varphi(x))\varphi'(x) = f(\varphi(x))\varphi'(x).</math>

Menerapkan [[teorema dasar kalkulus]] dua kali memberi

:<math>
\begin{align}
\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx
&= \int_a^b (F \circ \varphi)'(x)\,dx \\
&= (F \circ \varphi)(b) - (F \circ \varphi)(a) \\
&= F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) \\
&= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du,
\end{align}
</math>

yang merupakan aturan substitusi.

== Contoh ==
; Perhatikan integral berikut:
:<math>
\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,dx
</math>

Jika kita melakukan substitusi ''u'' = (''x''2 + 1), maka diperoleh ''du'' = 2''x'' ''dx'', sehingga ''x'' ''dx'' = ½''du''. Lalu kita substitusikan ke dalam integralnya:

: <math>
\begin{align}
\int_{x=0}^{x=2} x \cos(x^2+1) \,dx & {} = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du \\
& {} = \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)).
\end{align}
</math>

Perlu diingat bahwa di sini batas bawah ''x'' = 0 diganti dengan ''u'' = 02 + 1 = 1, dan batas atas ''x'' = 2 diganti dengan ''u'' = 22 + 1 = 5, sehingga dalam kasus ini ''u'' tidak perlu diubah kembali menjadi ''x''.

; Untuk integral
:<math>
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx
</math>

Substitusi yang sebaiknya dilakukan adalah ''x'' = sin(''u''), ''dx'' = cos(''u'') ''du'', karena <math>\sqrt{(1-\sin^2(u))} = \cos(u)</math>:

:<math>
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos(u)\;du = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(u)\;du = \Bigg( {\frac{u}{2} +\frac{\sin(2u)}{4} \Bigg) \Bigg\vert\,}_0^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}
</math>

di mana <math>cos^2 u = \frac{1+cos 2u}{2}</math>

; Metode substitusi dapat digunakan untuk mencari [[antiturunan]], yaitu dengan menentukan hubungan antara ''x'' dan ''u'' serta ''dx'' dan ''du''. Berikut adalah contohnya:

:<math>
\begin{align}
& {} \quad \int x \cos(x^2+1) \,dx = \frac{1}{2} \int 2x \cos(x^2+1) \,dx \\
& {} = \frac{1}{2} \int\cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin(x^2+1) + C
\end{align}
</math>

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*
* .
* .
*
* .
*
* .

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral+substitusi&oldid=28431530 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28431530 (2025-11-12T14:27:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.