Invers perkalian - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:57:15Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.57
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Hyperbola_one_over_x.svg\|thumb\|right\|280px\|Hyperbola one over x]]

	Dalam [[matematika]], '''invers perkalian''' () atau '''timbal balik''' () untuk bilangan ''x'', dilambangkan dengan 1/''x'' atau ''x''<sup>−1</sup>, adalah bilangan yang ketika [[Perkalian\|dikalikan]] dengan ''x'' menghasilkan [[identitas perkalian]], 1. Pembalikan perkalian dari sebuah [[bilangan rasional\|pecahan]] ''a''/''b'' adalah ''b''/''a''. Untuk pembalikan perkalian bilangan real, bagilah 1 dengan bilangan tersebut. Misalnya, kebalikan dari 5 adalah seperlima (1/5 atau 0,2), dan kebalikan dari 0,25 adalah 1 dibagi 0,25, atau 4. '''Fungsi invers''', fungsi ''f''(''x'') dengan peta ''x'' untuk 1/''x'', adalah salah satu contoh paling sederhana dari suatu fungsi yang merupakan kebalikannya sendiri (sebuah [[Involusi (matematika)\|involusi]]).		Dalam [[matematika]], '''invers perkalian''' () atau '''timbal balik''' () untuk bilangan ''x'', dilambangkan dengan 1/''x'' atau ''x''<sup>−1</sup>, adalah bilangan yang ketika [[Perkalian\|dikalikan]] dengan ''x'' menghasilkan [[identitas perkalian]], 1. Pembalikan perkalian dari sebuah [[bilangan rasional\|pecahan]] ''a''/''b'' adalah ''b''/''a''. Untuk pembalikan perkalian bilangan real, bagilah 1 dengan bilangan tersebut. Misalnya, kebalikan dari 5 adalah seperlima (1/5 atau 0,2), dan kebalikan dari 0,25 adalah 1 dibagi 0,25, atau 4. '''Fungsi invers''', fungsi ''f''(''x'') dengan peta ''x'' untuk 1/''x'', adalah salah satu contoh paling sederhana dari suatu fungsi yang merupakan kebalikannya sendiri (sebuah [[Involusi (matematika)\|involusi]]).

	Mengalikan sebuah bilangan sama dengan [[Pembagian\|membagi]] kebalikannya dan sebaliknya. Misalnya, perkalian dengan 4/5 (atau 0,8) akan memberikan hasil yang sama seperti pembagian dengan 5/4 (atau 1,25). Oleh karena itu, perkalian dengan bilangan diikuti dengan perkalian kebalikannya menghasilkan bilangan asli (karena perkaliannya adalah 1).		Mengalikan sebuah bilangan sama dengan [[Pembagian\|membagi]] kebalikannya dan sebaliknya. Misalnya, perkalian dengan 4/5 (atau 0,8) akan memberikan hasil yang sama seperti pembagian dengan 5/4 (atau 1,25). Oleh karena itu, perkalian dengan bilangan diikuti dengan perkalian kebalikannya menghasilkan bilangan asli (karena perkaliannya adalah 1).

	Istilah ''inverse'' umum digunakan setidaknya sejauh edisi ketiga ''[[Encyclopædia Britannica]]'' (1797) untuk menggambarkan dua angka yang hasil kalinya 1; kuantitas geometris dalam proporsi terbalik dijelaskan sebagai ''inverse'' dalam terjemahan tahun 1570 dari ''[[Elemen Euklides\|Elemen]]'' [[Euklides]].		Istilah ''inverse'' umum digunakan setidaknya sejauh edisi ketiga ''[[Encyclopædia Britannica]]'' (1797) untuk menggambarkan dua angka yang hasil kalinya 1; kuantitas geometris dalam proporsi terbalik dijelaskan sebagai ''inverse'' dalam terjemahan tahun 1570 dari ''[[Elemen Euklides\|Elemen]]'' [[Euklides]].<ref>" Dalam Parallelipedons yang sama, basa-basa berbanding terbalik dengan ketinggiannya ". ''OED''" Reciprocal "§3a. Sir Henry Billingsley terjemahan Elemen XI, 34.</ref>

	Dalam frasa ''invers perkalian'', kualifikasi ''perkalian'' sering dihilangkan dan kemudian dipahami secara diam-diam (berbeda dengan [[Invers aditif]]). Pembalikan perkalian dapat didefinisikan di banyak domain matematika serta angka. Dalam kasus ini bisa terjadi itu ; kemudian "inverse" biasanya menyiratkan bahwa suatu elemen adalah kiri dan kanan [[elemen invers\|invers]].		Dalam frasa ''invers perkalian'', kualifikasi ''perkalian'' sering dihilangkan dan kemudian dipahami secara diam-diam (berbeda dengan [[Invers aditif]]). Pembalikan perkalian dapat didefinisikan di banyak domain matematika serta angka. Dalam kasus ini bisa terjadi itu ; kemudian "inverse" biasanya menyiratkan bahwa suatu elemen adalah kiri dan kanan [[elemen invers\|invers]].
Baris 26:		Baris 28:

	:<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\left(\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi)\right).</math>		:<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\left(\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi)\right).</math>


	== Kalkulus ==		== Kalkulus ==
Baris 42:		Baris 43:
	:<math>\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C.</math>		:<math>\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C.</math>

	dengan ln adalah [[logaritma natural]]. Untuk menunjukkan perhatikan <math>\frac{d}{dx} e^x = e^x</math>, jadi jika <math>y = e^x</math> dan <math>x = \ln y</math>, kita punya:		dengan ln adalah [[logaritma natural]]. Untuk menunjukkan perhatikan <math>\frac{d}{dx} e^x = e^x</math>, jadi jika <math>y = e^x</math> dan <math>x = \ln y</math>, kita punya:<ref>Dr. Anthony. [http://mathforum.org/library/drmath/view/53562.html Proof that INT(1/x)dx = lnx]. ''Ask Dr. Math''. Drexel University.</ref>
	:<math>\frac{dy}{dx} = y\quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{y} = dx \quad\Rightarrow\quad \int \frac{1}{y}\,dy = \int 1\,dx \quad\Rightarrow\quad \int \frac{1}{y}\,dy = x + C = \ln y + C.</math>		:<math>\frac{dy}{dx} = y\quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{y} = dx \quad\Rightarrow\quad \int \frac{1}{y}\,dy = \int 1\,dx \quad\Rightarrow\quad \int \frac{1}{y}\,dy = x + C = \ln y + C.</math>

Baris 61:		Baris 62:

	Dalam [[matematika konstruktif]], untuk bilangan real ''x'' memiliki timbal balik, itu tidak cukup bahwa ''x'' ≠ 0. Sebaliknya harus diberi bilangan ''rasional'' ''r'' sedemikian rupa 0 < ''r'' < \|''x''\|. Dalam hal pendekatan [[algoritme]] yang dijelaskan di atas, ini diperlukan untuk membuktikan bahwa perubahan dalam ''y'' pada akhirnya akan menjadi kecil secara sewenang-wenang.		Dalam [[matematika konstruktif]], untuk bilangan real ''x'' memiliki timbal balik, itu tidak cukup bahwa ''x'' ≠ 0. Sebaliknya harus diberi bilangan ''rasional'' ''r'' sedemikian rupa 0 < ''r'' < \|''x''\|. Dalam hal pendekatan [[algoritme]] yang dijelaskan di atas, ini diperlukan untuk membuktikan bahwa perubahan dalam ''y'' pada akhirnya akan menjadi kecil secara sewenang-wenang.


	[[Iterasi]] ini juga dapat digeneralisasikan ke jenis inversi yang lebih luas; misalnya, [[Matriks invers#Metode Newton\|matriks invers]].		[[Iterasi]] ini juga dapat digeneralisasikan ke jenis inversi yang lebih luas; misalnya, [[Matriks invers#Metode Newton\|matriks invers]].
Baris 96:		Baris 96:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

	* Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. ''Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications'' vol 28 pp 147–148 1992		== Sumber dan atribusi ==



	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Invers+perkalian&oldid=28366103 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28366103 (2025-11-07T04:11:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Invers+perkalian&oldid=28366103 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28366103 (2025~~-11-~~07T04:11:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28366103; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:18:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28366103; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''invers perkalian''' () atau '''timbal balik''' () untuk bilangan ''x'', dilambangkan dengan 1/''x'' atau ''x''−1, adalah bilangan yang ketika [[Perkalian|dikalikan]] dengan ''x'' menghasilkan [[identitas perkalian]], 1. Pembalikan perkalian dari sebuah [[bilangan rasional|pecahan]] ''a''/''b'' adalah ''b''/''a''. Untuk pembalikan perkalian bilangan real, bagilah 1 dengan bilangan tersebut. Misalnya, kebalikan dari 5 adalah seperlima (1/5 atau 0,2), dan kebalikan dari 0,25 adalah 1 dibagi 0,25, atau 4. '''Fungsi invers''', fungsi ''f''(''x'') dengan peta ''x'' untuk 1/''x'', adalah salah satu contoh paling sederhana dari suatu fungsi yang merupakan kebalikannya sendiri (sebuah [[Involusi (matematika)|involusi]]).

Mengalikan sebuah bilangan sama dengan [[Pembagian|membagi]] kebalikannya dan sebaliknya. Misalnya, perkalian dengan 4/5 (atau 0,8) akan memberikan hasil yang sama seperti pembagian dengan 5/4 (atau 1,25). Oleh karena itu, perkalian dengan bilangan diikuti dengan perkalian kebalikannya menghasilkan bilangan asli (karena perkaliannya adalah 1).

Istilah ''inverse'' umum digunakan setidaknya sejauh edisi ketiga ''[[Encyclopædia Britannica]]'' (1797) untuk menggambarkan dua angka yang hasil kalinya 1; kuantitas geometris dalam proporsi terbalik dijelaskan sebagai ''inverse'' dalam terjemahan tahun 1570 dari ''[[Elemen Euklides|Elemen]]'' [[Euklides]].

Dalam frasa ''invers perkalian'', kualifikasi ''perkalian'' sering dihilangkan dan kemudian dipahami secara diam-diam (berbeda dengan [[Invers aditif]]). Pembalikan perkalian dapat didefinisikan di banyak domain matematika serta angka. Dalam kasus ini bisa terjadi itu ; kemudian "inverse" biasanya menyiratkan bahwa suatu elemen adalah kiri dan kanan [[elemen invers|invers]].

Notasi ''f'' −1 terkadang juga digunakan untuk [[fungsi invers]] dari fungsi ''f'', yang secara umum tidak sama dengan invers perkalian. Misalnya, invers perkalian adalah [[cosecant]] dari x, dan bukan [[fungsi trigonometri invers|sinus terbalik dari ''x'']] denoted by or . Hanya untuk [[peta linier]] yang terkait erat (lihat di bawah). Perbedaan terminologi ''timbal balik'' versus ''invers'' tidak cukup untuk membuat perbedaan ini, karena banyak penulis lebih menyukai konvensi penamaan yang berlawanan, mungkin karena alasan historis (misalnya dalam [[bahasa Prancis|Prancis]], fungsi invers lebih disukai disebut [[w:fr:Bijection réciproque|Bijection réciproque]]

== Contoh dan contoh balasan ==
Dalam bilangan riil, [[0 (bilangan)|nol]] [[Pembagian dengan nol|tidak memiliki kebalikan]] karena tidak ada bilangan real dikalikan 0 menghasilkan 1 (hasil perkalian bilangan berapa apa pun). Dengan pengecualian nol, kebalikan dari setiap [[bilangan riil]] adalah nyata, kebalikan dari setiap [[bilangan rasional]] adalah rasional, dan kebalikan dari setiap [[bilangan kompleks]] adalah kompleks. Properti bahwa setiap elemen selain nol memiliki pembalikan perkalian adalah bagian dari definisi dari sebuah [[Bidang (matematika)|bidang]], yang semuanya adalah contoh. Di sisi lain, tidak ada [[bilangan bulat]] selain 1 dan −1 yang memiliki kebalikan integer, sehingga bilangan bulat tersebut bukan bidang.

Dalam [[aritmetika modular]], [[pembalikan perkalian modular]] dari ''a'' juga ditentukan: ini adalah bilangan ''x'' sehingga ''ax'' ≡ 1 (mod ''n''). Pembalikan perkalian ini ada [[jika dan hanya jika]] ''a'' dan ''n'' adalah [[koprima]]. Misalnya inversi dari 3 modulo 11 adalah 4 karena 4 · 3 ≡ 1 (mod 11). [[Algoritme Euklides diperluas]] dapat digunakan untuk menghitungnya.

[[Sedenion]] adalah aljabar di mana setiap elemen bukan nol memiliki invers perkalian, tetapi tetap memiliki [[pembagi]] nol, yaitu elemen bukan nol ''x'', ''y'' seperti ''xy'' = 0.

== Bilangan kompleks ==
Seperti disebutkan di atas, kebalikan dari setiap bilangan kompleks bukan nol . Ini dapat ditemukan dengan mengalikan bagian atas dan bawah 1/''z'' dengan [[konjugasi kompleks]] <math>\bar z = a - bi</math> dan menggunakan properti <math>z\bar z = \|z\|^2</math>, [[nilai absolut]] dari ''z'' kuadrat, yang merupakan bilangan riil :

:<math>\frac{1}{z} = \frac{\bar z}{z \bar z} = \frac{\bar z}{\|z\|^2} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i.</math>

Secara khusus, jika ||''z''||=1 (''z'' memiliki besaran satuan), lalu <math>1/z = \bar z</math>. Akibatnya, [[satuan imajiner]], ±, memiliki [[pembalikan penjumlahan]] sama dengan pembalikan perkalian, dan merupakan satu-satunya bilangan kompleks yang memiliki sifat ini. Misalnya, invers aditif dan perkalian dari ialah −() = − dan 1/ = −, berturutan.

Untuk bilangan kompleks dalam bentuk kutub , kebalikannya hanya mengambil kebalikan dari besarnya dan negatif dari sudut:

:<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\left(\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi)\right).</math>

== Kalkulus ==
Dalam [[kalkulus]] sesungguhnya, [[turunan]] dari diberikan oleh [[kaidah pangkat]] dengan pangkat −1:

:<math> \frac{d}{dx} x^{-1} = (-1)x^{(-1)-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.</math>

Aturan pangkat untuk integral ([[rumus kuadrat Cavalieri]]) tidak dapat digunakan untuk menghitung integral dari 1/''x'', karena hal itu akan menghasilkan pembagian dengan 0:

:<math>\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0}\ + C </math>

Sebaliknya integral diberikan oleh:

:<math>\int_1^a \frac{1}{x}\,dx = \ln a,</math>
:<math>\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C.</math>

dengan ln adalah [[logaritma natural]]. Untuk menunjukkan perhatikan <math>\frac{d}{dx} e^x = e^x</math>, jadi jika <math>y = e^x</math> dan <math>x = \ln y</math>, kita punya:
:<math>\frac{dy}{dx} = y\quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{y} = dx \quad\Rightarrow\quad \int \frac{1}{y}\,dy = \int 1\,dx \quad\Rightarrow\quad \int \frac{1}{y}\,dy = x + C = \ln y + C.</math>

== Algoritma ==
Kebalikannya dapat dihitung dengan tangan dengan menggunakan [[pembagian panjang]].

Menghitung kebalikannya penting dalam banyak [[algoritma pembagian]], karena hasil bagi ''a''/''b'' dapat dihitung dengan menghitung 1/''b'' terlebih dahulu dan kemudian mengalikannya dengan ''a''. Memperhatikan itu <math>f(x) = 1/x - b</math> memiliki [[Nol fungsi|nol]] di ''x'' = 1/''b'', [[Metode Newton]] dapat menemukan nol itu, dimulai dengan tebakan <math>x_0</math> dan mengulang menggunakan aturan:

:<math>x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{1/x_n - b}{-1/x_n^2} = 2x_n - bx_n^2 = x_n(2 - bx_n).</math>

Ini berlanjut sampai ketepatan yang diinginkan tercapai. Misalnya, kita ingin menghitung 1/17 ≈ 0,0588 dengan presisi 3 digit. Pengambilan ''x''0 = 0.1, urutan berikut diproduksi:
:''x''1 = 0.1(2 − 17 × 0.1) = 0.03
:''x''2 = 0.03(2 − 17 × 0.03) = 0.0447
:''x''3 = 0.0447(2 − 17 × 0.0447) ≈ 0.0554
:''x''4 = 0.0554(2 − 17 × 0.0554) ≈ 0.0586
:''x''5 = 0.0586(2 − 17 × 0.0586) ≈ 0.0588
Tebakan awal tipikal dapat ditemukan dengan membulatkan ''b'' ke pangkat 2 terdekat, kemudian menggunakan [[pergeseran sedikit]] untuk menghitung kebalikannya.

Dalam [[matematika konstruktif]], untuk bilangan real ''x'' memiliki timbal balik, itu tidak cukup bahwa ''x'' ≠ 0. Sebaliknya harus diberi bilangan ''rasional'' ''r'' sedemikian rupa 0 < ''r'' < |''x''|. Dalam hal pendekatan [[algoritme]] yang dijelaskan di atas, ini diperlukan untuk membuktikan bahwa perubahan dalam ''y'' pada akhirnya akan menjadi kecil secara sewenang-wenang.

[[Iterasi]] ini juga dapat digeneralisasikan ke jenis inversi yang lebih luas; misalnya, [[Matriks invers#Metode Newton|matriks invers]].

== Kebalikan dari bilangan irasional ==
Setiap bilangan real atau kompleks tidak termasuk nol memiliki kebalikan, dan kebalikan dari [[bilangan irasional]] tertentu dapat memiliki sifat khusus yang penting. Contohnya termasuk kebalikan dari ''[[e (konstanta matematika)|e]]'' (≈ 0.367879) dan [[Rasio emas#Konjugat rasio emas|rasio emas timbal balik]] (≈ 0.618034). Kebalikan pertama adalah istimewa karena tidak ada bilangan positif lain yang dapat menghasilkan bilangan yang lebih rendah ketika dipangkatkan sendiri; <math>f(1/e)</math> adalah [[optimal global|minimum global]] dari <math>f(x)=x^x</math>. Bilangan kedua adalah satu-satunya bilangan positif yang sama dengan kebalikannya ditambah satu:<math>\varphi = 1/\varphi + 1</math>. Invers penjumlahan adalah satu-satunya bilangan negatif yang sama dengan kebalikannya dikurangi satu:<math>-\varphi = -1/\varphi - 1</math>.

Fungsi <math>f(n)=n+\sqrt {(n^2+1)}, n \in \mathbb{N}, n>0</math> memberikan jumlah tak terbatas dari bilangan irasional yang berbeda dengan kebalikannya oleh bilangan bulat. Sebagai contoh, <math>f(2)</math> adalah irasional <math>2+\sqrt 5</math>. Kebalikannya <math>1 / (2 + \sqrt 5)</math> adalah <math>-2 + \sqrt 5</math>, justru <math>4</math> masih kurang. Bilangan irasional seperti itu memiliki sifat yang terbukti: bilangan tersebut memiliki [[bagian pecahan]] yang sama sebagai kebalikannya, karena bilangan ini berbeda dengan bilangan bulat.

== Keterangan lebih lanjut ==
Jika perkaliannya asosiatif, elemen '' x '' dengan pembalikan perkalian tidak bisa menjadi [[pembagi nol]] ('' x '' adalah pembagi nol jika beberapa bukan nol ''y'', ). Untuk melihat ini, cukup dengan mengalikan persamaan dengan kebalikan dari '' x '' (di sebelah kiri), lalu sederhanakan menggunakan asosiatif. Dengan tidak adanya asosiativitas, [[sedenion]] memberikan contoh yang berlawanan.

Kebalikannya tidak berlaku: elemen yang bukan [[pembagi nol]] tidak dijamin memiliki pembalikan perkalian.
Dalam '''Z''', semua bilangan bulat kecuali −1, 0, 1 memberikan contoh; mereka bukan pembagi nol dan juga tidak memiliki invers '''Z'''.
Jika gelanggang atau aljabar adalah [[himpunan hingga|terbatas]], maka semua elemen '' a '' yang bukan pembagi nol memiliki invers (kiri dan kanan). Sebab, amati dulu peta itu maka [[injektif]]: berarti :
:<math>\begin{align}
ax &= ay &\quad \rArr & \quad ax-ay = 0 \\
& &\quad \rArr &\quad a(x-y) = 0 \\
& &\quad \rArr &\quad x-y = 0 \\
& &\quad \rArr &\quad x = y.
\end{align}</math>
Elemen yang berbeda dipetakan ke elemen yang berbeda, sehingga gambar terdiri dari elemen dengan jumlah terbatas yang sama, dan peta harus [[subjektif]]. Secara khusus, ƒ (yaitu perkalian dengan ''a'') harus memetakan beberapa elemen '' x '' ke 1, , jadi '' x '' adalah kebalikan dari '' a ''.

== Lihat pula ==
* [[Pembagian (matematika)]]
* [[Peluruhan eksponensial]]
* [[Pecahan]]
* [[Grup (matematika)]]
* [[Hiperbola]]
* [[Daftar jumlah timbal balik]]
* [[Desimal berulang]]
* [[Koordinat enam bola]]
* [[Pecahan satuan]] - kebalikan dari bilangan bula

== Catatan ==

== Referensi ==

* Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. ''Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications'' vol 28 pp 147–148 1992

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Invers+perkalian&oldid=28366103 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28366103 (2025-11-07T04:11:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.