Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:07:38Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28478118; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:42:10Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28478118; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''irisan kerucut''' adalah [[lokus (matematika)|lokus]] dari semua [[titik]] yang membentuk [[kurva]] dua-[[dimensi]], yang terbentuk oleh irisan sebuah [[kerucut]] dengan sebuah [[bidang]]. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah [[Parabola]], [[Elips]], dan [[Hiperbola (geometri)|Hiperbola]]. [[Apollonius dari Perga]] adalah [[matematikawan]] [[Yunani]] yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal [[abad ke-2 SM]].

== Geometri ==

Dalam memahami [[geometri]] irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah [[generator]] adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut [[verteks]] kerucut.

== Jenis-jenis irisan kerucut ==

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah [[parabola]]. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah [[Hiperbola (geometri)|hiperbola]]. Sebuah [[elips]] terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. [[Lingkaran]] adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

=== Kasus degenerasi ===
Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa [[titik]], [[garis]] lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut tetapi tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

== Geometri analitis ==
Secara [[geometri analitis]], irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:

Rasio yang konstan tersebut disebut [[eksentrisitas]], dilambangkan dengan ''e'', dan merupakan bilangan non-negatif. Untuk ''e'' = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, 0 < ''e'' < 1 sebuah elips, ''e'' = 1 sebuah parabola, dan ''e'' > 1 sebuah hiperbola.

== Koordinat Kartesius ==
Dalam [[koordinat kartesius]], grafik dari [[persamaan kuadrat]] dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.

Jika terdapat persamaan dengan bentuk:
:<math>ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0</math>

maka:
* Jika ''h2 = ab'', persamaan ini menghasilkan [[parabola]].
* Jika ''h2 < ab'', persamaan ini menghasilkan [[elips]].
* Jika ''h2 > ab'', persamaan ini menghasilkan [[Hiperbola (geometri)|hiperbola]].
* Jika ''a = b'' dan ''h'' = 0, persamaan ini menghasilkan [[lingkaran]].
* Jika ''a'' + ''b'' = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.

== Bentuk persamaan umum ==
Bentuk persamaan umum sebagai berikut:
:<math>Ax^2 + By^2 + Cx + Dxy + Ey + F = 0</math>

kesimpulan:
* Jika A = B = 0 maka persamaan adalah [[garis lurus]]/linear
* Jika A = B = 0 tetapi tidak kedua-duanya maka persamaan adalah [[parabola]]/kuadrat
* Jika A = B maka persamaan adalah [[lingkaran]]
* Jika A ≠ B dan bertanda positif maka persamaan adalah [[elips]]
* Jika A ≠ B dan bertanda negatif maka persamaan adalah [[Hiperbola (geometri)|hiperbola]]

== Sekilas irisan kerucut ==
; Garis lurus

: Titik pusat (0,0): <math>y = mx</math>
: Titik pusat (h,k): <math>y - k = m (x - h)</math>
: Bergradien <math>m = \frac{y}{x}</math> (satu titik) dan <math>m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math> (dua titik)
: Dua titik: <math>\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}</math>
: Sejajar: <math>m_1 = m_2</math>
: Tegak lurus: <math>m_1 = \frac{1}{m_2}</math>
: Berpotongan: <math>tan \alpha = \frac</math>
; Lingkaran
: Titik pusat (0,0): <math>x^2 + y^2 = r^2</math>
: Titik pusat (h,k): <math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \text { atau } x^2 + 2hx + h^2 + y^2 + 2ky + k^2 - r^2 = 0</math>

dengan <math>x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 </math> maka <math>A = 2h, B = 2k \text { serta } C = h^2 + k^2 - r^2</math>

; Parabola

; Elips

dimana <math> c = \sqrt{a^2 - b^2}</math>

; Hiperbola

dimana <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>

== Persamaan garis singgung ==
; bergradien <math>m</math> (<math>y = mx + c </math>)

: jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka <math>m_2 = m_1</math>
: jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka <math>m_2 = \frac{-1}{m_1}</math>

; melalui titik <math>(x_1, y_1) </math>
dengan cara bagi adil

: jika titik <math>(x_1, y_1) </math> berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).
: jika titik <math>(x_1, y_1) </math> berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah).

Contoh:
; Umum
* Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan <math>y = 4x - 8</math> dan melalui titik potong antara garis <math>y = 3x + 2</math> dan <math>3y = 2x + 13</math>!
jawab:
: cari gradien yang sejajar dengan <math>y = 4x - 8</math> yaitu m = 4.
: cari x dan y dengan cara eliminasi dari <math>y = 3x + 2</math> dan <math>3y = 2x + 13</math> yaitu x = 1 dan y = 5.
: masukkan persamaannya menjadi y - 5 = 4 (x - 1).
: maka hasil persamaannya adalah y = 4x + 1.

; Titik pusat (0,0)
* Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap <math>y^2 = 16x </math>!
jawab:
:<math>y^2 = 16x -> y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4</math>
:<math>y = mx + \frac{p}{m}</math>
:<math>y = 2x + \frac{4}{2}</math>
:<math>y = 2x + 2</math>

* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap <math>y^2 = 16x</math>!
jawab:
:<math>y^2 = 16x -> y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4</math>
:<math>y^2 - 16x = 0 \text{ maka masukkan lah (4,8) } (8)^2 - 16 (4) = 0 = 0</math> (dalam)
dengan cara bagi adil
:<math>y y_1 = 2px + 2px_1</math>
:<math>8y = 2(4)x + 2(4)(4)</math>
:<math>8y = 8x + 32</math> (dibagi 8)
:<math>y = x + 4 </math>

* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap <math>y^2 = 16x</math>!
jawab:
:<math>y^2 = 16x -> y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4</math>
:<math>y^2 - 16x = 0 \text{ maka masukkan lah (1,5) } (5)^2 - 16 (1) = 9 > 0</math> (luar)
dengan cara bagi adil
:<math>y y_1 = 2px + 2px_1</math>
:<math>5y = 2(4)x + 2(4)(1)</math>
:<math>5y = 8x + 8</math>
:<math>y = \frac{8}{5}x + \frac{8}{5}</math>

masukkan lah <math>y^2 = 16x</math>
:<math>(\frac{8}{5}x + \frac{8}{5})^2 = 16x</math>
:<math>\frac{64}{25}x^2 + \frac{128}{25}x + \frac{64}{25} - 16x = 0</math>
:<math>\frac{64}{25}x^2 + \frac{128}{25}x + \frac{64}{25} - \frac{400}{25}x = 0</math>
:<math>\frac{64}{25}x^2 - \frac{272}{25}x + \frac{64}{25} = 0 </math> (dibagi 16/25)
:<math>4x^2 - 17x + 4 = 0</math>

maka kita mencari nilai x
:<math>x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
:<math>x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 256}}{8}</math>
:<math>x = \frac{17 \pm \sqrt{33}}{8}</math>
:<math>x_1 = \frac{17 + \sqrt{33}}{8}</math> atau <math>x_2 = \frac{17 - \sqrt{33}}{8}</math>

maka kita mencari nilai y
: untuk <math>x_1</math>
:<math>y_1 = \frac{8}{5}(\frac{17 + \sqrt{33}}{8}) + \frac{8}{5}</math>
:<math>y_1 = \frac{17}{5} + \frac{\sqrt{33}}{5} + \frac{8}{5}</math>
:<math>y_1 = 5 + \frac{\sqrt{33}}{5}</math>
jadi <math>(\frac{17 + \sqrt{33}}{8}, 5 + \frac{\sqrt{33}}{5})</math>

: untuk <math>x_2</math>
:<math>y_2 = \frac{8}{5}(\frac{17 - \sqrt{33}}{8}) + \frac{8}{5}</math>
:<math>y_2 = \frac{17}{5} - \frac{\sqrt{33}}{5} + \frac{8}{5}</math>
:<math>y_2 = 5 - \frac{\sqrt{33}}{5} </math>
jadi <math>(\frac{17 - \sqrt{33}}{8}, 5 - \frac{\sqrt{33}}{5})</math>

kembali dengan cara bagi adil
: untuk persamaan singgung pertama
:<math>y y_1 = 2px + 2px_1</math>
:<math>(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 2(4)x + 2(4)(\frac{17 + \sqrt{33}}{8})</math>
:<math>(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 + \sqrt{33}</math>

: untuk persamaan singgung kedua
:<math>y y_2 = 2px + 2px_2</math>
:<math>(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 2(4)x + 2(4)(\frac{17 - \sqrt{33}}{8})</math>
:<math>(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 - \sqrt{33}</math>

; Titik pusat (h,k)
* Tentukan persamaan garis singgung <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0</math> melalui persamaan yang tegak lurus <math>y - 2x - 5 = 0</math>!
jawab:
ubah ke bentuk sederhana
:<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0</math>
:<math>y^2 - 6y + 9 = 8x</math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x</math>

cari gradien persamaan <math>y - 2x - 5 = 0 </math>
:<math>y - 2x - 5 = 0</math>
:<math>y = 2x + 5</math>
gradien (<math>m_1</math>) = 2 karena tegak lurus menjadi <math>m_2 = - \frac{1}{2}</math>

cari <math>p</math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2</math>
:<math>y = mx + \frac{p}{m}</math>
:<math>y = - \frac{1}{2}x + \frac{2}{- \frac{1}{2}} -> y = - \frac{1}{2}x - 4</math>

* Tentukan persamaan garis singgung <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0</math> yang berordinat 6!
jawab:
ubah ke bentuk sederhana
:<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0</math>
:<math>y^2 - 6y + 9 = 8x</math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x</math>

cari absis dimana ordinat 6
:<math>(y - 3)^2 = 8x</math>
:<math>(6 - 3)^2 = 8x</math>
:<math>9 = 8x</math>
:<math>x = \frac{9}{8}</math>

:<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2</math>

dengan cara bagi adil
:<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1</math>
:<math>(y - 3)(6 - 3) = 2(2)x + 2(2)(\frac{9}{8})</math>
:<math>(y - 3)3 = 4x + \frac{9}{2}</math>
:<math>3y - 9 = 4x + \frac{9}{2}</math>
:<math>3y = 4x + \frac{27}{2}</math>
:<math>y = \frac{4}{3}x + \frac{27}{6}</math>

* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math>!
ubah ke bentuk sederhana
:<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math>
:<math>y^2 - 6y + 9 = 8x </math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x</math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2</math>

:<math>(y - 3)^2 - 8x = 0 \text { maka masukkan lah (1,6) } (6 - 3)^2 - 8 (1) = 9 - 8 = 1 > 0</math> (luar)
dengan cara bagi adil
:<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1</math>
:<math>(y - 3)(6 - 3) = 2(2)x + 2(2)(1)</math>
:<math>(y - 3)3 = 4x + 4</math>
:<math>3y - 9 = 4x + 4</math>
:<math>3y = 4x + 13</math>
:<math>y = \frac{4}{3}x + \frac{13}{3}</math>

masukkan lah <math>(y - 3)^2 = 8x</math>
:<math>(\frac{4}{3}x + \frac{13}{3} - 3)^2 = 8x</math>
:<math>(\frac{4}{3}x + \frac{4}{3})^2 = 8x</math>
:<math>\frac{16}{9}x^2 + \frac{32}{9}x + \frac{16}{9} - 8x = 0</math>
:<math>\frac{16}{9}x^2 - \frac{40}{9}x + \frac{16}{9} = 0</math> (dibagi 8/9)
:<math>2x^2 + 5x + 2 = 0</math>

maka kita mencari nilai x
:<math>x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
:<math>x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}</math>
:<math>x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4}</math>
:<math>x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = 2</math> atau <math>x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1}{2}</math>

maka kita mencari nilai y
: untuk <math>x_1</math>
:<math>y_1 = \frac{4}{3} (2) + \frac{13}{3} = \frac{8}{3} + \frac{13}{3} = 7</math>
jadi <math>(2, 7)</math>

: untuk <math>x_2</math>
:<math>y_2 = \frac{4}{3} (\frac {1}{2}) + \frac{13}{3} = \frac{2}{3} + \frac{13}{3} = 5</math>
jadi <math>(\frac{1}{2}, 5)</math>

kembali dengan cara bagi adil
: untuk persamaan singgung pertama
:<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1</math>
:<math>(y - 3)(7 - 3) = 2(2)x + 2(2)(2)</math>
:<math>(y - 3)4 = 4x + 8</math>
:<math>4y - 12 = 4x + 8</math>
:<math>4y = 4x + 20 </math> (dibagi 4)
:<math>y = x + 5</math>

: untuk persamaan singgung kedua
:<math>(y - k)(y_2 - k) = 2px + 2px_2</math>
:<math>(y - 3)(5 - 3) = 2(2)x + 2(2)(\frac{1}{2})</math>
:<math>(y - 3)2 = 4x + 2</math>
:<math>2y - 6 = 4x + 2</math>
:<math>2y = 4x + 8</math> (dibagi 2)
:<math>y = 2x + 4</math>

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Irisan+kerucut&oldid=28478118 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28478118 (2025-11-14T06:01:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Irisan kerucut - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28478118; atribusi sumber disertakan.