Isometri - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:09:47Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.09
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], '''isometri''' (atau '''[[Kongruen\|kekongruenan]]''', atau '''tranformasi (yang) kongruen''') adalah tranformasi yang mempertahankan [[jarak]] antar [[ruang metrik]], dan umumnya diasumsikan bersifat [[Bijeksi\|bijektif]].		Dalam [[matematika]], '''isometri''' (atau '''[[Kongruen\|kekongruenan]]''', atau '''tranformasi (yang) kongruen''') adalah tranformasi yang mempertahankan [[jarak]] antar [[ruang metrik]], dan umumnya diasumsikan bersifat [[Bijeksi\|bijektif]].<ref>"Kami merasa nyaman untuk menggunakan kata ''transformasi'' dalam arti khusus sebagai korespondensi satu-satu P \to P' untuk semua titik di bidang (atau di ruang), yaitu sebuah aturan untuk menghubungkan pasangan titik; dengan pemahaman bahwa setiap pasangan memiliki anggota pertama di dan anggota kedua di , dan bahwa setiap titik di menjadi anggota pertama dari tepat satu pasangan saja dan setiap titik di juga sebagai anggota kedua dari tepat satu pasangan saja ... Secara khusus, ''isometri'' (atau "transformasi yang kongruen," atau "kekongruenan") adalah transformasi yang mempertahankan panjang ..."</ref>

	Untuk sebuah ruang metrik (secara sederhana, sebuah himpunan dan aturan untuk menghitung jarak antar elemen di himpunan tersebut), isometri adalah [[Transformasi geometri\|transformasi]] yang memetakan setiap elemen ke ruang metrik yang sama (atau yang berbeda), sedemikian sehingga jarak antar elemen pada ruang metrik [[Galeri (matematika)\|hasil pemetaan]] sama dengan jarak antar elemen pada ruang metrik asalnya. Pada [[ruang Euklides]] dimensi 2 atau dimensi 3, dua bangun dikatakan [[kongruen]] jika terdapat hubungan isometri di antara keduanya; isometri tersebut dapat berupa translasi, rotasi, refleksi, atau komposisi dari ketiganya.		Untuk sebuah ruang metrik (secara sederhana, sebuah himpunan dan aturan untuk menghitung jarak antar elemen di himpunan tersebut), isometri adalah [[Transformasi geometri\|transformasi]] yang memetakan setiap elemen ke ruang metrik yang sama (atau yang berbeda), sedemikian sehingga jarak antar elemen pada ruang metrik [[Galeri (matematika)\|hasil pemetaan]] sama dengan jarak antar elemen pada ruang metrik asalnya. Pada [[ruang Euklides]] dimensi 2 atau dimensi 3, dua bangun dikatakan [[kongruen]] jika terdapat hubungan isometri di antara keduanya;<ref>'''3.11''' Setiap dua segitiga yang kongruen memiliki sebuah isometri yang unik.</ref> isometri tersebut dapat berupa translasi, rotasi, refleksi, atau komposisi dari ketiganya.

	Isometri umum digunakan untuk mengonstruksi sebuah ruang yang terletak di dalam ruang lainnya. Sebagai contoh, [[Ruang metrik lengkap#Pelengkap\|pelengkap]] dari ruang metrik <math>M</math> membutuhkan isometri dari <math>M</math> ke <math>M'</math>, sebuah [[himpunan hasil bagi]] dari ruang [[barisan Cauchy]] pada <math>M</math>. Ruang metrik asal <math>M</math> tersebut secara isometris [[Isomorfisme\|isomorfik]] terhadap sebuah sub ruang dari [[ruang metrik lengkap]], dan umumnya dapat dikenali lewat sub ruang ini. Konstruksi-konstruksi lainnya menunjukkan bahwa setiap ruang metrik secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu [[ruang vektor bernorma]]; dan setiap ruang metrik lengkap secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu [[ruang Banach]].		Isometri umum digunakan untuk mengonstruksi sebuah ruang yang terletak di dalam ruang lainnya. Sebagai contoh, [[Ruang metrik lengkap#Pelengkap\|pelengkap]] dari ruang metrik <math>M</math> membutuhkan isometri dari <math>M</math> ke <math>M'</math>, sebuah [[himpunan hasil bagi]] dari ruang [[barisan Cauchy]] pada <math>M</math>. Ruang metrik asal <math>M</math> tersebut secara isometris [[Isomorfisme\|isomorfik]] terhadap sebuah sub ruang dari [[ruang metrik lengkap]], dan umumnya dapat dikenali lewat sub ruang ini. Konstruksi-konstruksi lainnya menunjukkan bahwa setiap ruang metrik secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu [[ruang vektor bernorma]]; dan setiap ruang metrik lengkap secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu [[ruang Banach]].
Baris 11:		Baris 11:
	</math> dikatakan '''isometri''' atau '''mempertahankan jarak''' jika untuk setiap <math>a, b \in X</math> berlaku		</math> dikatakan '''isometri''' atau '''mempertahankan jarak''' jika untuk setiap <math>a, b \in X</math> berlaku

	: <math>d_Y\!\left(f(a),f(b)\right)=d_X(a,b).</math>		: <math>d_Y\!\left(f(a),f(b)\right)=d_X(a,b).</math><ref>F. S. Beckman. [http://www.ams.org/journals/proc/1953-004-05/S0002-9939-1953-0058193-5/S0002-9939-1953-0058193-5.pdf On isometries of Euclidean spaces]. ''Proceedings of the American Mathematical Society''. 1953. Vol. 4 (5). hlm. 810–815. doi:10.2307/2032415.</ref>

	Sebuah isometri pasti injektif; karena jika tidak, ada dua titik <math>a, b \in X</math> berbeda yang dipetakan ke titik yang sama, sehingga melanggar [[aksioma]] metrik <math>d_X</math>. Pembuktian ini serupa dengan bukti bahwa [[embedding terurut]] antara himpunan terurut sebagian bersifat injektif. Tentu, setiap isometri antar ruang metrik adalah embedding topologis.		Sebuah isometri pasti injektif;<ref>"Kami merasa nyaman untuk menggunakan kata ''transformasi'' dalam arti khusus sebagai korespondensi satu-satu P \to P' untuk semua titik di bidang (atau di ruang), yaitu sebuah aturan untuk menghubungkan pasangan titik; dengan pemahaman bahwa setiap pasangan memiliki anggota pertama di dan anggota kedua di , dan bahwa setiap titik di menjadi anggota pertama dari tepat satu pasangan saja dan setiap titik di juga sebagai anggota kedua dari tepat satu pasangan saja ... Secara khusus, ''isometri'' (atau "transformasi yang kongruen," atau "kekongruenan") adalah transformasi yang mempertahankan panjang ..."</ref> karena jika tidak, ada dua titik <math>a, b \in X</math> berbeda yang dipetakan ke titik yang sama, sehingga melanggar [[aksioma]] metrik <math>d_X</math>. Pembuktian ini serupa dengan bukti bahwa [[embedding terurut]] antara himpunan terurut sebagian bersifat injektif. Tentu, setiap isometri antar ruang metrik adalah embedding topologis.

	Sebuah '''isometri global''', '''isometri yang isomorfik''', atau '''pemetaan kekongruenan''', adalah isometri yang bijektif. Dan seperti bijeksi lainnya, isometri global memiliki [[fungsi invers]]. Invers dari isometri global juga merupakan isometri global.		Sebuah '''isometri global''', '''isometri yang isomorfik''', atau '''pemetaan kekongruenan''', adalah isometri yang bijektif. Dan seperti bijeksi lainnya, isometri global memiliki [[fungsi invers]]. Invers dari isometri global juga merupakan isometri global.
Baris 28:		Baris 28:

	: '''Definisi''': '''Titik tengah''' antara dua elemen dan di suatu ruang vektor adalah vektor .		: '''Definisi''': '''Titik tengah''' antara dua elemen dan di suatu ruang vektor adalah vektor .


	=== Isometri linear ===		=== Isometri linear ===
Baris 35:		Baris 34:
	: <math>\\|Av\\| = \\|v\\|</math>		: <math>\\|Av\\| = \\|v\\|</math>

	untuk setiap <math> v \in V </math>. Isometri linear mempertahankan jarak dalam konteks tersebut, dan termasuk isometri global [[jika dan hanya jika]] juga bersifat surjektif. Pada [[ruang hasil kali dalam]], definisi di atas dapat disederhanakan menjadi		untuk setiap <math> v \in V </math>.<ref>Jesper Funch Thomsen. ''Lineær algebra''. Department of Mathematics, Aarhus University. 2017. hlm. 125.</ref> Isometri linear mempertahankan jarak dalam konteks tersebut, dan termasuk isometri global [[jika dan hanya jika]] juga bersifat surjektif. Pada [[ruang hasil kali dalam]], definisi di atas dapat disederhanakan menjadi

	: <math> \langle Av, Av \rangle = \langle v, v \rangle </math>		: <math> \langle Av, Av \rangle = \langle v, v \rangle </math>
Baris 45:		Baris 44:
	Isometri linear belum tentu termasuk [[operator uniter]], karena masih diperlukan sifat tambahan <math>V = W </math> dan <math> A A^\dagger = \operatorname{I}_V </math>.		Isometri linear belum tentu termasuk [[operator uniter]], karena masih diperlukan sifat tambahan <math>V = W </math> dan <math> A A^\dagger = \operatorname{I}_V </math>.

	Berdasarkan [[teorema Mazur–Ulam]], setiap isometri pada ruang vektor <math>\mathbb{R} </math> bernorma bersifat [[Transformasi affine\|affine]]. Sebagai contoh, pemetaan isometri linear dari <math>\mathbb{C}^n </math>ke dirinya sendiri dapat dinyatakan sebagai [[matriks uniter]].		Berdasarkan [[teorema Mazur–Ulam]], setiap isometri pada ruang vektor <math>\mathbb{R} </math> bernorma bersifat [[Transformasi affine\|affine]]. Sebagai contoh, pemetaan isometri linear dari <math>\mathbb{C}^n </math>ke dirinya sendiri dapat dinyatakan sebagai [[matriks uniter]].<ref>S. T. Roweis. ''Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding''. ''Science''. 2000. Vol. 290 (5500). hlm. 2323–2326. doi:10.1126/science.290.5500.2323.</ref><ref>Lawrence K. Saul. ''Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds''. ''Journal of Machine Learning Research''. 2003. Vol. 4 (June). hlm. 119–155.</ref><ref>Zhenyue Zhang. ''Principal Manifolds and Nonlinear Dimension Reduction via Local Tangent Space Alignment''. ''SIAM Journal on Scientific Computing''. 2004. Vol. 26 (1). hlm. 313–338. doi:10.1137/s1064827502419154.</ref><ref>Zhenyue Zhang. [https://papers.nips.cc/paper/3132-mlle-modified-locally-linear-embedding-using-multiple-weights MLLE: Modified Locally Linear Embedding Using Multiple Weights]. ''Advances in Neural Information Processing Systems''. 2006. Vol. 19.</ref>

	== Lipatan ==		== Lipatan ==
Baris 57:		Baris 56:

	Dalam bahasa lain, ε-isometri menoleransi perubahan jarak akibat pemetaan sebesar ε. Sebuah ε-isometri belum tentu bersifat [[Fungsi kontinu\|kontinu]].		Dalam bahasa lain, ε-isometri menoleransi perubahan jarak akibat pemetaan sebesar ε. Sebuah ε-isometri belum tentu bersifat [[Fungsi kontinu\|kontinu]].

	~~== Referensi ==~~


	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==
			*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Isometri&oldid=29527006 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29527006 (2026-08-05T02:07:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Isometri&oldid=29527006 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29527006 (2026-08-05T02:07:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29527006; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:46:21Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29527006; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''isometri''' (atau '''[[Kongruen|kekongruenan]]''', atau '''tranformasi (yang) kongruen''') adalah tranformasi yang mempertahankan [[jarak]] antar [[ruang metrik]], dan umumnya diasumsikan bersifat [[Bijeksi|bijektif]].

Untuk sebuah ruang metrik (secara sederhana, sebuah himpunan dan aturan untuk menghitung jarak antar elemen di himpunan tersebut), isometri adalah [[Transformasi geometri|transformasi]] yang memetakan setiap elemen ke ruang metrik yang sama (atau yang berbeda), sedemikian sehingga jarak antar elemen pada ruang metrik [[Galeri (matematika)|hasil pemetaan]] sama dengan jarak antar elemen pada ruang metrik asalnya. Pada [[ruang Euklides]] dimensi 2 atau dimensi 3, dua bangun dikatakan [[kongruen]] jika terdapat hubungan isometri di antara keduanya; isometri tersebut dapat berupa translasi, rotasi, refleksi, atau komposisi dari ketiganya.

Isometri umum digunakan untuk mengonstruksi sebuah ruang yang terletak di dalam ruang lainnya. Sebagai contoh, [[Ruang metrik lengkap#Pelengkap|pelengkap]] dari ruang metrik <math>M</math> membutuhkan isometri dari <math>M</math> ke <math>M'</math>, sebuah [[himpunan hasil bagi]] dari ruang [[barisan Cauchy]] pada <math>M</math>. Ruang metrik asal <math>M</math> tersebut secara isometris [[Isomorfisme|isomorfik]] terhadap sebuah sub ruang dari [[ruang metrik lengkap]], dan umumnya dapat dikenali lewat sub ruang ini. Konstruksi-konstruksi lainnya menunjukkan bahwa setiap ruang metrik secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu [[ruang vektor bernorma]]; dan setiap ruang metrik lengkap secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu [[ruang Banach]].

Operator [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research|linear]] surjektif yang isometrik pada [[ruang Hilbert]] disebut dengan [[operator uniter]].

== Definisi ==
Anggap <math>X</math> dan <math>Y</math> adalah [[ruang metrik]] dengan metrik <math>d_X</math> dan <math>d_Y</math>. [[Fungsi (matematika)|Pemetaan]] <math>f: X\to Y
</math> dikatakan '''isometri''' atau '''mempertahankan jarak''' jika untuk setiap <math>a, b \in X</math> berlaku

: <math>d_Y\!\left(f(a),f(b)\right)=d_X(a,b).</math>

Sebuah isometri pasti injektif; karena jika tidak, ada dua titik <math>a, b \in X</math> berbeda yang dipetakan ke titik yang sama, sehingga melanggar [[aksioma]] metrik <math>d_X</math>. Pembuktian ini serupa dengan bukti bahwa [[embedding terurut]] antara himpunan terurut sebagian bersifat injektif. Tentu, setiap isometri antar ruang metrik adalah embedding topologis.

Sebuah '''isometri global''', '''isometri yang isomorfik''', atau '''pemetaan kekongruenan''', adalah isometri yang bijektif. Dan seperti bijeksi lainnya, isometri global memiliki [[fungsi invers]]. Invers dari isometri global juga merupakan isometri global.

Dua ruang metrik <math>X</math> dan <math>Y</math> dikatakan isometrik jika terdapat isometri yang bijektif dari <math>X</math> ke <math>Y</math>. Himpunan isometri bijektif (dan komposisinya) dari ruang metrik ke dirinya sendiri membentuk sebuah [[Grup (matematika)|grup]], yang disebut [[grup isometri]].

Terdapat istilah ''isometri lintasan'' yang lebih lemah daripada isometri. '''Isometri lintasan''' adalah pemetaan yang mempertahankan panjang kurva; pemetaan tersebut belum tentu mempertahankan jarak seperti isometri, dan tidak perlu bersifat bijektif (atau bahkan injektif). Istilah ini terkadang disebut juga dengan ''isometri'', sehingga diperlukan konteks tipe isometri yang sedang dirujuk. Sebagai contoh:

* Setiap refleksi, translasi, dan rotasi adalah isometri global pada [[ruang Euklides]].
* Pemetaan <math> x\mapsto |x|</math> di <math>{\mathbb R}</math> adalah isometri lintasan yang bukan isometri.

== Isometri antar ruang bernorma ==
Teorema berikut adalah hasil kerja dari Mazur dan Ulam.

: '''Definisi''': '''Titik tengah''' antara dua elemen dan di suatu ruang vektor adalah vektor .

=== Isometri linear ===
Untuk [[ruang vektor bernorma]] <math>V</math> and <math>W</math>, '''isometri linear''' adalah pemetaan linear <math>A : V \to W</math> yang mempertahankan norma:

: <math>\|Av\| = \|v\|</math>

untuk setiap <math> v \in V </math>. Isometri linear mempertahankan jarak dalam konteks tersebut, dan termasuk isometri global [[jika dan hanya jika]] juga bersifat surjektif. Pada [[ruang hasil kali dalam]], definisi di atas dapat disederhanakan menjadi

: <math> \langle Av, Av \rangle = \langle v, v \rangle </math>

untuk setiap <math> v \in V </math>, yang secara ekuivalen menyatakan bahwa <math> A^\dagger A = \operatorname{I}_V </math>. Hal ini juga mengimplikasikan isometri mempertahankan hasil kali dalam, karena

: <math> \langle A u, A v \rangle = \langle u, A^\dagger A v \rangle = \langle u, v \rangle. </math>

Isometri linear belum tentu termasuk [[operator uniter]], karena masih diperlukan sifat tambahan <math>V = W </math> dan <math> A A^\dagger = \operatorname{I}_V </math>.

Berdasarkan [[teorema Mazur–Ulam]], setiap isometri pada ruang vektor <math>\mathbb{R} </math> bernorma bersifat [[Transformasi affine|affine]]. Sebagai contoh, pemetaan isometri linear dari <math>\mathbb{C}^n </math>ke dirinya sendiri dapat dinyatakan sebagai [[matriks uniter]].

== Lipatan ==
Isometri pada sebuah [[Manifold|lipatan]] adalah pemetaan mulus dari lipatan tersebut ke dirinya sendiri, atau ke lipatan lain, yang mempertahankan konsep jarak antar titik. Definisi isometri memerlukan konsep metrik pada lipatan: lipatan dengan metrik definit positif adalah [[Manifold Riemannian|lipatan Rieman]], dan dengan metrik indefinit adalah [[Lipatan Riemannian semu|lipatan Riemann semu]]. Karena itu, isometri dibahas di [[geometri Riemann]].

== Generalisasi ==
Untuk [[Bilangan riil|bilangan real]] positif ε, sebuah '''ε-isometri''' atau '''hampir isometri''' (juga disebut dengan '''hampiran [[Felix Hausdorff|Hausdorff]]''') adalah pemetaan <math>f:X\to Y</math> antar ruang metrik dengan sifat:

* untuk setiap <math>x_a, x_b \in X</math> berlaku <math>|d_Y\!\left(f(x_a),f(x_b)\right) - d_X(x_a,x_b)| < \varepsilon</math>, dan
* untuk setiap <math>y \in Y</math> terdapat <math>x \in X</math> yang memenuhi <math>d_Y\!\left(y,f(x)\right) < \varepsilon</math>

Dalam bahasa lain, ε-isometri menoleransi perubahan jarak akibat pemetaan sebesar ε. Sebuah ε-isometri belum tentu bersifat [[Fungsi kontinu|kontinu]].

== Referensi ==

== Daftar pustaka ==

*
*
*
*
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Isometri&oldid=29527006 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29527006 (2026-08-05T02:07:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.