Jarak Euklides - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:01:46Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.01
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Euclidean_distance_3d_2_cropped.png\|thumb\|right\|280px\|Euclidean distance 3d 2 cropped]]

	Dalam [[matematika]], '''jarak Euklides''' atau '''metrik Euklides''' adalah [[jarak]] [[Garis (geometri)\|garis lurus]] "biasa" antara dua titik dalam [[ruang Euklides]]. Dengan jarak ini, ruang Euklides menjadi [[ruang metrik]]. [[Norma (matematika)\|Norma]] yang terkait disebut '''norma Euklides'''. Literatur lampau menyebutnya dengan '''metrik Pythagoras'''. [[Generalisasi\|Bentuk umum]] dari norma Euklides adalah norma L<sup>2</sup> atau jarak L<sup>2</sup>.		Dalam [[matematika]], '''jarak Euklides''' atau '''metrik Euklides''' adalah [[jarak]] [[Garis (geometri)\|garis lurus]] "biasa" antara dua titik dalam [[ruang Euklides]]. Dengan jarak ini, ruang Euklides menjadi [[ruang metrik]]. [[Norma (matematika)\|Norma]] yang terkait disebut '''norma Euklides'''. Literatur lampau menyebutnya dengan '''metrik Pythagoras'''. [[Generalisasi\|Bentuk umum]] dari norma Euklides adalah norma L<sup>2</sup> atau jarak L<sup>2</sup>.

	== Definisi ==		== Definisi ==
	Jarak Euklides antara titik '''p''' dan '''q''' adalah jarak [[ruas garis]] yang menghubungkan mereka (disimbolkan <math>\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}</math>).		Jarak Euklides antara titik '''p''' dan '''q''' adalah jarak [[ruas garis]] yang menghubungkan mereka (disimbolkan <math>\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}</math><ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/ Compendium of Mathematical Symbols]. ''Math Vault''. 1 Maret 2020.</ref>).

	Dalam [[Sistem koordinat Kartesius\|koordinat Kartesius]], jika '''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>,..., ''p''<sub>''n''</sub>) dan '''q''' = (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>,..., ''q''<sub>''n''</sub>) adalah dua titik dalam [[ruang Euklides]] berdimensi ''n'', jarak Euklides (d) dari '''p''' ke '''q''' (atau sebaliknya) dihitung dengan [[Teorema Pythagoras\|rumus Pythagoras]] seperti berikut.		Dalam [[Sistem koordinat Kartesius\|koordinat Kartesius]], jika '''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>,..., ''p''<sub>''n''</sub>) dan '''q''' = (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>,..., ''q''<sub>''n''</sub>) adalah dua titik dalam [[ruang Euklides]] berdimensi ''n'', jarak Euklides (d) dari '''p''' ke '''q''' (atau sebaliknya) dihitung dengan [[Teorema Pythagoras\|rumus Pythagoras]] seperti berikut.<ref>Howard Anton. ''Elementary Linear Algebra''. John Wiley & Sons. 1994. hlm. 170–171. ISBN 978-0-471-58742-2.</ref><ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/Distance.html Distance]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref>

			Letak titik pada ruang Euklides berdimensi ''n'' adalah [[vektor Euklides]], maka '''p''' dan '''q''' dapat digambarkan sebagai vektor Euklides yang berpangkal di [[Titik nol\|titik acuan]] dan berujung di letak mereka ('''p''' dan '''q'''). Norma Euklides (alias panjang Euklides) atau magnitudo suatu vektor adalah panjang vektor tersebut:<ref>Howard Anton. ''Elementary Linear Algebra''. John Wiley & Sons. 1994. hlm. 170–171. ISBN 978-0-471-58742-2.</ref>
	Letak titik pada ruang Euklides berdimensi ''n'' adalah [[vektor Euklides]], maka '''p''' dan '''q''' dapat digambarkan sebagai vektor Euklides yang berpangkal di [[Titik nol\|titik acuan]] dan berujung di letak mereka ('''p''' dan '''q'''). Norma Euklides (alias panjang Euklides) atau magnitudo suatu vektor adalah panjang vektor tersebut:

	: <math> \left\\| \mathbf{p} \right\\| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + \cdots + p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}}</math>		: <math> \left\\| \mathbf{p} \right\\| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + \cdots + p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}}</math>
Baris 20:		Baris 21:

	Jarak Euklides antara '''p''' dan '''q''' hanyalah panjang Euklides dari vektor perpindahannya:		Jarak Euklides antara '''p''' dan '''q''' hanyalah panjang Euklides dari vektor perpindahannya:


	yang ekuivalen dengan persamaan (1) dan persamaan berikut:		yang ekuivalen dengan persamaan (1) dan persamaan berikut:
Baris 32:		Baris 32:

	=== Dua dimensi ===		=== Dua dimensi ===
	Pada [[Bidang (geometri)\|bidang Euklides]], misalkan '''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>) dan '''q''' = (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>), maka jarak antara keduanya adalah		Pada [[Bidang (geometri)\|bidang Euklides]], misalkan '''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>) dan '''q''' = (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>), maka jarak antara keduanya adalah<ref>[https://www.mathsisfun.com/algebra/distance-2-points.html Distance Between 2 Points]. ''www.mathsisfun.com''.</ref>

	: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2}.</math>		: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2}.</math>
Baris 39:		Baris 39:

	=== Tiga dimensi ===		=== Tiga dimensi ===
	Dalam ruang Euklides tiga dimensi, jarak keduanya adalah		Dalam ruang Euklides tiga dimensi, jarak keduanya adalah<ref>[https://www.mathsisfun.com/algebra/distance-2-points.html Distance Between 2 Points]. ''www.mathsisfun.com''.</ref>

	: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2}.</math>		: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2}.</math>

	=== ''n'' dimensi ===		=== ''n'' dimensi ===
	Secara umum, untuk ruang berdimensi ''n'', jarak keduanya adalah		Secara umum, untuk ruang berdimensi ''n'', jarak keduanya adalah<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/Distance.html Distance]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref>

	: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2 + \cdots + (p_i - q_i)^2 + \cdots + (p_n - q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n {(p_i - q_i)^2}}.</math>		: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2 + \cdots + (p_i - q_i)^2 + \cdots + (p_n - q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n {(p_i - q_i)^2}}.</math>
Baris 62:		Baris 62:

	=== Contoh penerapan ===		=== Contoh penerapan ===
	Dalam [[ilmu komputer]], terutama [[grafika komputer]], [[simulasi]], dan [[pengembangan permainan video]], penggunaan jarak Euklides biasa dan fungsi norma (pada kasus tertentu) kadang-kadang dianggap kurang optimal karena membutuhkan [[Akar kuadrat\|operasi akar kuadrat]]. [[Algoritma\|Algoritme]] yang menggunakan perbandingan jarak dapat menggunakan kuadrat jarak Euklides alih-alih jarak Euklides. Misalkan berlaku <math>d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) > d(\mathbf{c}, \mathbf{d})</math>, maka <math>d^2(\mathbf{a}, \mathbf{b}) > d^2(\mathbf{c}, \mathbf{d})</math> juga berlaku dan dapat dipakai.		Dalam [[ilmu komputer]], terutama [[grafika komputer]], [[simulasi]], dan [[pengembangan permainan video]], penggunaan jarak Euklides biasa dan fungsi norma (pada kasus tertentu) kadang-kadang dianggap kurang optimal karena membutuhkan [[Akar kuadrat\|operasi akar kuadrat]]. [[Algoritma\|Algoritme]] yang menggunakan perbandingan jarak dapat menggunakan kuadrat jarak Euklides alih-alih jarak Euklides. Misalkan berlaku <math>d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) > d(\mathbf{c}, \mathbf{d})</math>, maka <math>d^2(\mathbf{a}, \mathbf{b}) > d^2(\mathbf{c}, \mathbf{d})</math> juga berlaku dan dapat dipakai.<ref>[https://gamedev.stackexchange.com/questions/23709/are-there-any-disadvantages-of-using-distance-squared-checks-rather-than-distanc mathematics - Are there any disadvantages of using Distance Squared checks rather than Distance?]. ''Game Development Stack Exchange''.</ref><ref>[https://gamedev.net/forums/topic/681211-fast-square-root-for-distance-calculations/5305059/ Fast Square Root For Distance Calculations?]. ''GameDev.net''.</ref>

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
Baris 69:		Baris 69:
	* [[Jarak Manhattan]]		* [[Jarak Manhattan]]
	* [[Jarak Minkowski]]		* [[Jarak Minkowski]]

	~~== Referensi ==~~


	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
	*		*
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Jarak+Euklides&oldid=29299184 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29299184 (2026-05-31T20:41:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Jarak+Euklides&oldid=29299184 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29299184 (2026~~-05-~~31T20:41:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29299184; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:28:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29299184; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''jarak Euklides''' atau '''metrik Euklides''' adalah [[jarak]] [[Garis (geometri)|garis lurus]] "biasa" antara dua titik dalam [[ruang Euklides]]. Dengan jarak ini, ruang Euklides menjadi [[ruang metrik]]. [[Norma (matematika)|Norma]] yang terkait disebut '''norma Euklides'''. Literatur lampau menyebutnya dengan '''metrik Pythagoras'''. [[Generalisasi|Bentuk umum]] dari norma Euklides adalah norma L2 atau jarak L2.

== Definisi ==
Jarak Euklides antara titik '''p''' dan '''q''' adalah jarak [[ruas garis]] yang menghubungkan mereka (disimbolkan <math>\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}</math>).

Dalam [[Sistem koordinat Kartesius|koordinat Kartesius]], jika '''p''' = (''p''1, ''p''2,..., ''p''''n'') dan '''q''' = (''q''1, ''q''2,..., ''q''''n'') adalah dua titik dalam [[ruang Euklides]] berdimensi ''n'', jarak Euklides (d) dari '''p''' ke '''q''' (atau sebaliknya) dihitung dengan [[Teorema Pythagoras|rumus Pythagoras]] seperti berikut.

Letak titik pada ruang Euklides berdimensi ''n'' adalah [[vektor Euklides]], maka '''p''' dan '''q''' dapat digambarkan sebagai vektor Euklides yang berpangkal di [[Titik nol|titik acuan]] dan berujung di letak mereka ('''p''' dan '''q'''). Norma Euklides (alias panjang Euklides) atau magnitudo suatu vektor adalah panjang vektor tersebut:

: <math> \left\| \mathbf{p} \right\| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + \cdots + p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}}</math>

dengan <math>\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}</math> adalah [[Produk skalar|operasi produk skalar]] antara '''p''' dan '''p'''.

Hubungan antara titik '''p''' dan '''q''' bisa juga memiliki arah (misalnya, dari '''p''' ke '''q'''). Hubungan tersebut dapat digambarkan sebagai vektor berikut.

: <math>\mathbf{q} - \mathbf{p} = (q_1 - p_1, q_2 - p_2, \cdots, q_n - p_n)</math>

Dalam ruang berdimensi dua atau tiga, hal tersebut biasa digambarkan dengan sebuah panah dari '''p''' ke '''q'''. Dalam ruang apa pun, ia dapat bermakna sebagai letak '''p''' terhadap '''q'''. Panah itu bisa disebut vektor [[perpindahan]].

Jarak Euklides antara '''p''' dan '''q''' hanyalah panjang Euklides dari vektor perpindahannya:

yang ekuivalen dengan persamaan (1) dan persamaan berikut:

: <math> \left\| \mathbf{q} - \mathbf{p} \right\| = \sqrt{ \left\| \mathbf{p} \right\|^2 + \left\| \mathbf{q} \right\| ^2 - 2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}.</math>

=== Satu dimensi ===
Jarak antara dua titik pada garis bilangan adalah selisih dari koordinatnya. Misalkan ''p'' dan ''q'' adalah titik pada garis bilangan, maka jarak antara keduanya adalah

: <math>\sqrt{(q - p)^2} = |q - p|.</math>

=== Dua dimensi ===
Pada [[Bidang (geometri)|bidang Euklides]], misalkan '''p''' = (''p''1, ''p''2) dan '''q''' = (''q''1, ''q''2), maka jarak antara keduanya adalah

: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2}.</math>

Rumus tersebut ekuivalen dengan [[Teorema Pythagoras|rumus Pythagoras]].

=== Tiga dimensi ===
Dalam ruang Euklides tiga dimensi, jarak keduanya adalah

: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2}.</math>

=== ''n'' dimensi ===
Secara umum, untuk ruang berdimensi ''n'', jarak keduanya adalah

: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2 + \cdots + (p_i - q_i)^2 + \cdots + (p_n - q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n {(p_i - q_i)^2}}.</math>

== Kuadrat jarak Euklides ==
Nilai kuadrat dari jarak Euklides juga menjadi perhatian. Berikut persamaannya:

: <math>d^2(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2 + \cdots + (p_i - q_i)^2 + \cdots + (p_n - q_n)^2.</math>

Kuadrat jarak Euklides tidak termasuk [[Metrik (matematika)|metrik]] karena tidak memenuhi [[pertidaksamaan segitiga]]. [[Teorema Pythagoras]] lebih sederhana dalam bentuk kuadrat (karena tidak memerlukan tanda akar). Misalkan <math>\mathbf{pq} \perp \mathbf{qr}</math>, maka

: <math>d^2(\mathbf{p}, \mathbf{r}) = d^2(\mathbf{p}, \mathbf{q}) + d^2(\mathbf{q}, \mathbf{r})</math>

atau

: <math>\overline{\mathbf{p}\mathbf{r}}^2 = \overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}^2 + \overline{\mathbf{q}\mathbf{r}}^2.</math>

=== Contoh penerapan ===
Dalam [[ilmu komputer]], terutama [[grafika komputer]], [[simulasi]], dan [[pengembangan permainan video]], penggunaan jarak Euklides biasa dan fungsi norma (pada kasus tertentu) kadang-kadang dianggap kurang optimal karena membutuhkan [[Akar kuadrat|operasi akar kuadrat]]. [[Algoritma|Algoritme]] yang menggunakan perbandingan jarak dapat menggunakan kuadrat jarak Euklides alih-alih jarak Euklides. Misalkan berlaku <math>d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) > d(\mathbf{c}, \mathbf{d})</math>, maka <math>d^2(\mathbf{a}, \mathbf{b}) > d^2(\mathbf{c}, \mathbf{d})</math> juga berlaku dan dapat dipakai.

== Lihat pula ==
* [[Jarak Chebyshev]]
* [[Jarak Mahalanobis]]
* [[Jarak Manhattan]]
* [[Jarak Minkowski]]

== Referensi ==

== Bacaan lebih lanjut ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Jarak+Euklides&oldid=29299184 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29299184 (2026-05-31T20:41:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.