Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:10:21Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28420775; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:48:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28420775; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], operator '''jumlah taktentu''' atau operator '''antiselisih''', dilambangkan sebagai <math>\sum_x</math> atau <math>\Delta^{-1}</math>, adalah [[operator linear]], yang kebalikan dari [[operator selisih]] (atau [[Operator selisih|selisih tentu]]) <math>\Delta</math>. Ini berhubungan dengan [[operasi selisih|operasi selisih maju]] sebagai [[integral tak tentu]] yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,

: <math>\Delta \sum_x f(x) = f(x)</math>.

Lebih eksplisit lagi, jika <math>\sum_x f(x) = F(x) </math>, kemudian

: <math>F(x+1) - F(x) = f(x)</math>

Jika <math>F(x)</math> adalah solusi untuk [[persamaan fungsional]] ini untuk fungsi <math>f(x)</math>, maka <math>F(x)+C(x)</math> untuk setiap fungsi periodik <math>C(x)</math> dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari [[Operasi perselisihan#Deret Newton|deret Newton]] adalah unik untuk ke konstanta aditif <math>C</math>. Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː

: <math>\Delta^{-1}=\frac{1}{e^D - 1}</math>

== Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit ==
Penjumlahan [[tak hingga]] digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː

: <math>\sum_{k=a}^b f(k)=\Delta^{-1}f(b+1)-\Delta^{-1}f(a)</math>

== Definisi ==

=== Rumus Penjumlahan Laplace ===

: <math>\sum _x f(x)=\int_0^x f(t) dt -\sum_{k=1}^\infty \frac{c_k\Delta^{k-1}f(x)}{k!} + C </math>

di mana <math>c_k=\int_0^1 \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-k+1)}dx</math> adalah bilangan Cauchy untuk jenis yang pertama atau disebut sebagai bilangan Bernoulli untuk Jenis Kedua.

=== Rumus Newton ===

: <math>\sum_x f(x)=\sum_{k=1}^\infty \binom{x}k \Delta^{k-1} [f]\left (0\right)+C=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Delta^{k-1}[f](0)}{k!}(x)_k+C</math>

di mana <math>(x)_k=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-k+1)}</math> adalah [[Faktorial kenaikan dan menurun|faktorial menurun]].

=== Rumus Faulhaber ===

: <math>\sum _x f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n-1)} (0)}{n!} B_n(x) + C \, ,</math>

persamaan pada ruas kanan adalah konvergen.

=== Rumus Mueller ===
Jika <math>\lim_{x\to{+\infty}}f(x)=0,</math> maka

: <math>\sum _x f(x)=\sum_{n=0}^\infty\left(f(n)-f(n+x)\right)+ C.</math>

=== Rumus Euler–Maclaurin ===

: <math>\sum _x f(x)= \int_0^x f(t) dt - \frac12 f(x)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(x) + C</math>

== Pilihan dengan suku konstanta ==
Sering kali, konstanta <math>C </math> pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.

Misalnya

: <math>F(x)=\sum _x f(x)+C</math>

Maka, konstanta <math>C</math> diperbaiki dengan kondisi

: <math>\int_0^1 F(x) dx=0 </math>

atau

: <math>\int_1^2 F(x) dx=0 </math>

Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː

: <math>\sum_{x \ge 1}^{\Re}f(x)=-f(0)-F(0)</math>

atau dengan 1

: <math>\sum_{x \ge 1}^{\Re}f(x)=-F(1)</math>.

== Penjumlahan menurut bagian ==
Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː

: <math>\sum_x f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum_x (g(x)+\Delta g(x)) \Delta f(x) </math>

: <math>\sum_x f(x)\Delta g(x)+\sum_x g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum_x \Delta f(x)\Delta g(x) </math>

Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:

: <math>\sum_{i=a}^b f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum_{i=a}^b g(i+1)\Delta f(i)</math>

== Kaidah periode ==
Jika <math>T </math> adalah periode fungsi <math>f(x) </math>, maka

: <math>\sum _x f(Tx)=x f(Tx) + C</math>

Jika <math>T</math> adalah fungsi antiperiode <math>f(x) </math>, yaitu <math>f(x+T)=-f(x)</math>, maka

: <math>\sum _x f(Tx)=-\frac12 f(Tx) + C</math>

== Penggunaan alternatif ==
Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan di mana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.

: <math>\sum_{k=1}^n f(k).</math>

Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup <math>F(k)</math> untuk penjumlahan adalah solusi untuk

: <math>F(x+1) - F(x) = f(x+1) </math>

disebut sebagai persamanan ''teleskop''. Kebalikan dari [[operasi selisih|operator selisih mundur]] <math>\nabla</math>. Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada [[kalkulus]] diskrit yang dideskripsi sebelumnya.

== Daftar jumlah tak tentu ==
Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.

=== Antiselisih pada Fungsi rasional ===

: <math>\sum _x a = ax + C </math>

: <math>\sum _x x = \frac{x^2}{2}-\frac{x}{2} + C</math>

: <math>\sum _x x^a = \frac{B_{a+1}(x)}{a+1} + C,\,a\notin \mathbb{Z}^-</math>
: di mana <math>B_a(x)=-a\zeta(-a+1,x)</math>, yang digeneralisasikan ke orde [[polinomial Bernoulli]] yang sebenarnya.

: <math>\sum _x x^a = \frac{(-1)^{a-1}\psi^{(-a-1)}(x)}{\Gamma(-a)}+ C,\,a\in\mathbb{Z}^-</math>
: di mana <math>\psi^{(n)}(x)</math> adalah [[fungsi poligamma]] .

: <math>\sum _x \frac1x = \psi(x) + C </math>
: di mana <math>\psi(x)</math> adalah [[Fungsi Digamma|fungsi digamma]].

: <math>\sum _x B_a(x)=(x-1)B_a(x)-\frac{a}{a+1} B_{a+1}(x)+C</math>

=== Antiselisih pada Fungsi eksponensial ===

: <math>\sum _x a^x = \frac{a^x}{a-1} + C </math>

Terutama,

: <math>\sum _x 2^x = 2^x + C </math>

=== Antiselisih pada fungsi logaritma ===

: <math>\sum _x \log_b x = \log_b \Gamma (x) + C </math>

: <math>\sum _x \log_b ax = \log_b (a^{x-1}\Gamma (x)) + C </math>

=== Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik ===

: <math>\sum _x \sinh ax = \frac{1}{2} \operatorname{csch} \left(\frac{a}{2}\right) \cosh \left(\frac{a}{2} - a x\right) + C </math>

: <math>\sum _x \cosh ax = \frac{1}{2} \operatorname{csch} \left(\frac{a}{2}\right) \sinh \left(ax-\frac{a}{2}\right) + C </math>

: <math>\sum _x \tanh ax = \frac1a \psi _{e^a}\left(x-\frac{i \pi }{2 a}\right)+\frac1a \psi _{e^a}\left(x+\frac{i \pi }{2 a}\right)-x + C</math>

: di mana <math>\psi_q(x)</math> adalah fungsi [[Q-analog|q-digamma]] .

=== Antiselisih pada fungsi trigonometri ===

: <math>\sum _x \sin ax = -\frac{1}{2} \csc \left(\frac{a}{2}\right) \cos \left(\frac{a}{2}- ax \right) + C \,,\,\,a\ne 2n \pi </math>

: <math>\sum _x \cos ax = \frac{1}{2} \csc \left(\frac{a}{2}\right) \sin \left(ax - \frac{a}{2}\right) + C \,,\,\,a\ne 2n \pi</math>

: <math>\sum _x \sin^2 ax = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \csc (a) \sin (a-2ax) + C \, \,,\,\,a\ne n\pi</math>

: <math>\sum _x \cos^2 ax = \frac{x}{2}-\frac{1}{4} \csc (a) \sin (a-2 a x) + C \,\,,\,\,a\ne n\pi</math>

: <math>\sum_x \tan ax = i x-\frac1a \psi _{e^{2 i a}}\left(x-\frac{\pi }{2 a}\right) + C \,,\,\,a\ne \frac{n\pi}2</math>

: di mana <math>\psi_q(x)</math> adalah fungsi q-digamma .

: <math>\sum_x \tan x=ix-\psi _{e^{2 i}}\left(x+\frac{\pi }{2}\right) + C = -\sum _{k=1}^{\infty } \left(\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+1-z\right)+\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+z\right)-\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+1\right)-\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}\right)\right) + C</math>

: <math>\sum_x \cot ax =-i x-\frac{i \psi _{e^{2 i a}}(x)}{a} + C \,,\,\,a\ne \frac{n\pi}2</math>

=== Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik ===

: <math>\sum_x \operatorname{artanh}\, a x =\frac{1}{2} \ln \left(\frac{\Gamma \left(x+\frac{1}{a}\right)}{\Gamma \left(x-\frac{1}{a}\right)}\right) + C</math>

=== Antiselisih pada fungsi invers trigonometri ===

: <math>\sum_x \arctan a x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{\Gamma (x+\frac ia)}{ \Gamma (x-\frac ia)}\right)+C</math>

=== Antiselisih pada fungsi khusus ===

: <math>\sum _x \psi(x)=(x-1) \psi(x)-x+C </math>

: <math>\sum _x \Gamma(x)=(-1)^{x+1}\Gamma(x)\frac{\Gamma(1-x,-1)}e+C</math>

: di mana <math>\Gamma(s,x)</math> adalah [[fungsi gamma tidak kompleks]].

: <math>\sum _x (x)_a = \frac{(x)_{a+1}}{a+1}+C</math>

: di mana <math>(x)_a</math> adalah [[Faktorial kenaikan dan menurun|faktorial menurun]] .

: <math>\sum _x \operatorname{sexp}_a (x) = \ln_a \frac{(\operatorname{sexp}_a (x))'}{(\ln a)^x} + C </math>
: (lihat [[Fungsi super-eksponensial|fungsi eksponensial super]])

== Lihat pula ==

* [[Produk tidak terbatas|Produk tak tentu]]
* [[Kalkulus skala waktu]]
* [[Daftar turunan dan integral dalam bate alternatif|Daftar turunan dan integral dalam kalkuli alternatif]]

== Referensi ==

== Bacaan lebih lanjut ==

* "Persamaan Perbedaan: Pengantar dengan Aplikasi", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001,
* [https://web.archive.org/web/20110617053801/http://www.math.tu-berlin.de/~mueller/HowToAdd.pdf Markus Müller.] [https://web.archive.org/web/20110617053801/http://www.math.tu-berlin.de/~mueller/HowToAdd.pdf Bagaimana Menambahkan Jumlah Syarat Non-Integer, dan Bagaimana Membuat Penjumlahan Tak Terbatas yang Tidak Biasa]
* [[arxiv:math/0502109|Markus Mueller, Dierk Schleicher.]] [[arxiv:math/0502109|Jumlah Pecahan dan Identitas Mirip Euler]]
* [[doi:10.1134/S0361768808020060|SP Polyakov.]] [[doi:10.1134/S0361768808020060|Penjumlahan tak terbatas dari fungsi rasional dengan minimisasi tambahan dari bagian yang dapat diringkas.]] [[doi:10.1134/S0361768808020060|Programmirovanie, 2008, Jil. 34, No. 2.]]
* "Persamaan dan Simulasi Beda-Hingga", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Jumlah+taktentu&oldid=28420775 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28420775 (2025-11-12T06:22:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Jumlah taktentu - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28420775; atribusi sumber disertakan.