Kaidah darab - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:59:33Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.59
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Produktregel.PNG\|thumb\|right\|280px\|Ilustrasi geometri bukti aturan perkalian]]

	Dalam [[kalkulus]], '''kaidah darab''' (), atau sering disebut '''hukum Leibniz''' (lihat [[turunan]]), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) [[fungsi]] yang terdiferensialkan.		Dalam [[kalkulus]], '''kaidah darab''' (), atau sering disebut '''hukum Leibniz''' (lihat [[turunan]]), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) [[fungsi]] yang terdiferensialkan.

Baris 10:		Baris 12:

	== Penemuan oleh Leibniz ==		== Penemuan oleh Leibniz ==
	Kaidah ini ditemukan oleh [[Gottfried Leibniz]] yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan [[diferensial]]. Argumen Leibniz mengatakan: jika ''u''(''x'') dan ''v''(''x'') adalah dua fungsi ''x'' yang terdiferensialkan, maka diferensial dari ''uv'' adalah		Kaidah ini ditemukan oleh [[Gottfried Leibniz]] yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan [[diferensial]].<ref>Michelle Cirillo. [http://www.nctm.org/publications/article.aspx?id=19302 Humanizing Calculus]. ''The Mathematics Teacher''. August 2007. Vol. 101 (1). hlm. 23–27. doi:10.5951/MT.101.1.0023.</ref> Argumen Leibniz mengatakan: jika ''u''(''x'') dan ''v''(''x'') adalah dua fungsi ''x'' yang terdiferensialkan, maka diferensial dari ''uv'' adalah

	: <math>		: <math>
Baris 32:		Baris 34:

	== Pembuktian kaidah darab ==		== Pembuktian kaidah darab ==

	Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat [[limit]] dan definisi turunan sebagai limit dari [[hasil bagi beda]] [[Isaac Newton\|Newton]].		Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat [[limit]] dan definisi turunan sebagai limit dari [[hasil bagi beda]] [[Isaac Newton\|Newton]].

Baris 105:		Baris 106:

	== Pembuktian alternatif: menggunakan kaidah rantai ==		== Pembuktian alternatif: menggunakan kaidah rantai ==

	Kaidah darab dapat dianggap sebagai kasus khusus dari kaidah rantai untuk beberapa variable.		Kaidah darab dapat dianggap sebagai kasus khusus dari kaidah rantai untuk beberapa variable.

Baris 112:		Baris 112:
	== Perumuman ==		== Perumuman ==
	=== Hasil kali dari lebih dari dua faktor ===		=== Hasil kali dari lebih dari dua faktor ===

	Kaidah darab dapat diperumum ke hasil kali yang memiliki lebih dari dua faktor. Misalkan untuk tiga faktor:		Kaidah darab dapat diperumum ke hasil kali yang memiliki lebih dari dua faktor. Misalkan untuk tiga faktor:

Baris 124:		Baris 123:

	=== Turunan lebih tinggi ===		=== Turunan lebih tinggi ===

	Kaidah ini juga dapat dirampatkan menjadi [[kaidah Leibniz]] untuk turunan lebih tinggi dari hasil kali dua faktor: jika ''y'' = ''uv'' dan ''y''<sup>(''n'')</sup> menandakan turunan ke-''n'' dari ''y'', maka		Kaidah ini juga dapat dirampatkan menjadi [[kaidah Leibniz]] untuk turunan lebih tinggi dari hasil kali dua faktor: jika ''y'' = ''uv'' dan ''y''<sup>(''n'')</sup> menandakan turunan ke-''n'' dari ''y'', maka

Baris 132:		Baris 130:

	=== Turunan parsial lebih tinggi ===		=== Turunan parsial lebih tinggi ===

	Untuk [[turunan parsial]] lebih tinggi:		Untuk [[turunan parsial]] lebih tinggi:

	:<math>{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)		:<math>{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)
	= \sum_S {\partial^ u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-\|S\|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}</math>		= \sum_S {\partial^{\|S\|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-\|S\|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}</math>

	dengan indeks ''S'' adalah deret 2<sup>''n''</sup> dari subhimpunan dari {1, ..., ''n''}. Misalkan ''n'' = 3:		dengan indeks ''S'' adalah deret 2<sup>''n''</sup> dari subhimpunan dari {1, ..., ''n''}. Misalkan ''n'' = 3:
Baris 148:		Baris 145:

	=== Kaidah darab pada ruang Banach ===		=== Kaidah darab pada ruang Banach ===

	Jika ''X'', ''Y'', dan ''Z'' adalah [[ruang Banach]] (yang meliputi [[ruang Euclide]]) dan ''B'': ''X'' × ''Y'' → ''Z'' adalah [[operator bilinear]] [[kontinu]]. Maka ''B'' terdiferensialkan dan turunannya pada titik (''x'',''y'') di ''X'' × ''Y'' adalah [[peta linear]] ''D''<sub>(''x'',''y'')</sub>''B'': ''X'' × ''Y'' → ''Z''		Jika ''X'', ''Y'', dan ''Z'' adalah [[ruang Banach]] (yang meliputi [[ruang Euclide]]) dan ''B'': ''X'' × ''Y'' → ''Z'' adalah [[operator bilinear]] [[kontinu]]. Maka ''B'' terdiferensialkan dan turunannya pada titik (''x'',''y'') di ''X'' × ''Y'' adalah [[peta linear]] ''D''<sub>(''x'',''y'')</sub>''B'': ''X'' × ''Y'' → ''Z''
	:<math> (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y.</math>		:<math> (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y.</math>

	=== Turunan dalam aljabar abstrak ===		=== Turunan dalam aljabar abstrak ===

	Dalam [[aljabar abstrak]], kaidah darab digunakan untuk men''defnisi''kan apa yang disebut sebagai [[turunan (aljabar abstrak)\|turunan]] dan tidak sebaliknya.		Dalam [[aljabar abstrak]], kaidah darab digunakan untuk men''defnisi''kan apa yang disebut sebagai [[turunan (aljabar abstrak)\|turunan]] dan tidak sebaliknya.

	=== Untuk fungsi vektor ===		=== Untuk fungsi vektor ===

	Dalam fungsi vektor, kaidah darab akan berubah sedikit dikarenakan sifat [[antikomutatif]] pada hasil kali vektor. Sehingga:		Dalam fungsi vektor, kaidah darab akan berubah sedikit dikarenakan sifat [[antikomutatif]] pada hasil kali vektor. Sehingga:
	:<math>(fg)'=f'g+fg' \,</math>		:<math>(fg)'=f'g+fg' \,</math>
Baris 172:		Baris 166:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah+darab&oldid=27844353 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27844353 (2025-09-18T09:53:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah+darab&oldid=27844353 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27844353 (2025~~-09-~~18T09:53:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27844353; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:24:17Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27844353; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[kalkulus]], '''kaidah darab''' (), atau sering disebut '''hukum Leibniz''' (lihat [[turunan]]), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) [[fungsi]] yang terdiferensialkan.

Kaidah ini dapat dituliskan sebagai:

:<math>(fg)'=f'g+fg' \,</math>

atau dalam [[notasi Leibniz]]:

:<math>{d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.</math>

== Penemuan oleh Leibniz ==
Kaidah ini ditemukan oleh [[Gottfried Leibniz]] yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan [[diferensial]]. Argumen Leibniz mengatakan: jika ''u''(''x'') dan ''v''(''x'') adalah dua fungsi ''x'' yang terdiferensialkan, maka diferensial dari ''uv'' adalah

: <math>
\begin{align}
d(uv) & {} = (u + du)(v + dv) - uv \\
& {} = u\,dv + v\,du + du\,dv.
\end{align}
</math>

Oleh karena (''du'')(''dv'') adalah "dapat diabaikan" (i.e. paling tidak [[kuadratis]] pada ''du'' dan ''dv''), Leibniz berkesimpula bahwa

:<math>d(uv) = v\,du + u\,dv \,</math>

dan ini merupakan bentuk diferensial dari kaidah darab. Jika kita membaginya dengan ''dx'', kita mendapatkan

:<math>\frac{d}{dx} (uv) = v \left( \frac{du}{dx} \right) + u \left( \frac{dv}{dx} \right)</math>

yang dapat ditulis dengan "notasi prima" sebagai

:<math>(uv)' = v u' + u v'. \,</math>

== Pembuktian kaidah darab ==

Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat [[limit]] dan definisi turunan sebagai limit dari [[hasil bagi beda]] [[Isaac Newton|Newton]].

Misalkan

:<math> h(x) = f(x)g(x),\,</math>

dan ''f'' and ''g'' masing-masing terdiferensialkan pada bilangan tetap ''x''. Maka

:<math>h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)</math>

Perbedaannya:

:<math> f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2) </math>

adalah luas daerah persegi panjang besar dikurangi luas daerah persegi panjang kecil seperti yang digambarkan

Kita ketahui bahwa daerah berbentuk-L di atas dapat dibagi lagi menjadi dua persegi panjang, maka jumlah daerah tersebut dapat ditulis:

:<math> f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3) </math>

(Ilustrasi di atas tidak akan berlaku pada beberapa kasus khusus karena ''f''(''w'') tidak seperlunya lebih besar dari ''f''(''x'') dan ''g''(''w'') tidak seperlunya lebih besar dari ''g''(''x''). Walaupun begitu, persamaan (2) dan (3) dapat dievaluasi dengan mudah menggunakan aljabar.)

Oleh karena itu, persamaan (1) adalah sama dengan

:<math>\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)</math>

Jika semua limit pada (5) ada, maka persamaan (4) sama dengan

:<math> \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).
\qquad\qquad(5) </math>

Sekarang

:<math>\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,</math>

karena ''f''(''x'') tetaplah konstan ketika ''w'' → ''x'';

:<math> \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) </math>

karena ''g'' terdiferensialkan pada ''x'';

:<math> \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x) </math>

karena ''f'' terdiferensialkan pada ''x'';

:<math> \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\, </math>

karena ''g'' kontinu pada ''x'' (Teorema lainnya mengatakan fungsi yang terdiferensialkan haruslah kontinu)

Kita dapat berkesimpulan bahwa persamaan (5) sama dengan

:<math> f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,</math>

== Pembuktian alternatif: menggunakan logaritma ==
Misalkan ''f'' = ''uv'' dan ''u'' dan ''v'' adalah positif. Maka

:<math>\ln f = \ln u + \ln v.\,</math>

Diferensialkan dua sisi:

:<math>{1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v</math>

kalikan sisi kiri dengan ''f'' dan sisi kanan dengan ''uv'',

:<math>{d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.</math>

Pembuktian ini dapat dilihat di [http://planetmath.org/encyclopedia/LogarithmicProofOfProductRule.html] . Perlu diperhatikan bahwa karena ''u'', ''v'' haruslah kontinu, asumsi positif tidak akan menghilangkan kerampatan (generality).

Pembuktian ini bergantung pada [[kaidah rantai]] dan sifat-sifat fungsi [[logaritma natural]].

== Pembuktian alternatif: menggunakan kaidah rantai ==

Kaidah darab dapat dianggap sebagai kasus khusus dari kaidah rantai untuk beberapa variable.

: <math> {d (ab) \over dx} = \frac{\partial(ab)}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial (ab)}{\partial b}\frac{db}{dx} = b \frac{da}{dx} + a \frac{db}{dx}.</math>

== Perumuman ==
=== Hasil kali dari lebih dari dua faktor ===

Kaidah darab dapat diperumum ke hasil kali yang memiliki lebih dari dua faktor. Misalkan untuk tiga faktor:

:<math>\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}.</math>

Untuk sekumpulan fungsi <math>f_1, \dots, f_k</math>:

:<math>\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x)
= \left(\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}\right)
\prod_{i=1}^k f_i(x).</math>

=== Turunan lebih tinggi ===

Kaidah ini juga dapat dirampatkan menjadi [[kaidah Leibniz]] untuk turunan lebih tinggi dari hasil kali dua faktor: jika ''y'' = ''uv'' dan ''y''(''n'') menandakan turunan ke-''n'' dari ''y'', maka

:<math>y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} u^{(n-k)}(x)\; v^{(k)}(x).</math>

Lihat pula [[koefisien binomial]] dan [[teorema binomial]] yang mirip dengan perampatan ini.

=== Turunan parsial lebih tinggi ===

Untuk [[turunan parsial]] lebih tinggi:

:<math>{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)
= \sum_S {\partial^ u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}</math>

dengan indeks ''S'' adalah deret 2''n'' dari subhimpunan dari {1, ..., ''n''}. Misalkan ''n'' = 3:

:<math>\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\
&{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\ \\
&{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3}
+ {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2}
+ {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1}
+ {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}</math>

=== Kaidah darab pada ruang Banach ===

Jika ''X'', ''Y'', dan ''Z'' adalah [[ruang Banach]] (yang meliputi [[ruang Euclide]]) dan ''B'': ''X'' × ''Y'' → ''Z'' adalah [[operator bilinear]] [[kontinu]]. Maka ''B'' terdiferensialkan dan turunannya pada titik (''x'',''y'') di ''X'' × ''Y'' adalah [[peta linear]] ''D''(''x'',''y'')''B'': ''X'' × ''Y'' → ''Z''
:<math> (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y.</math>

=== Turunan dalam aljabar abstrak ===

Dalam [[aljabar abstrak]], kaidah darab digunakan untuk men''defnisi''kan apa yang disebut sebagai [[turunan (aljabar abstrak)|turunan]] dan tidak sebaliknya.

=== Untuk fungsi vektor ===

Dalam fungsi vektor, kaidah darab akan berubah sedikit dikarenakan sifat [[antikomutatif]] pada hasil kali vektor. Sehingga:
:<math>(fg)'=f'g+fg' \,</math>
dan bukannya
:<math>(fg)'=f'g+g'f \,</math>, walaupun ini adalah benar pada perkalian skalar.

== Lihat pula ==
* [[Kaidah hasil bagi]]
* [[Kaidah timbal balik]]
* [[Kaidah rantai]]
* [[Integrasi parsial]]
* [[Diferensial]]
* [[Turunan (aljabar abstrak)]]

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah+darab&oldid=27844353 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27844353 (2025-09-18T09:53:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.