Kaidah pencacahan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:03:38Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.03
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], khususnya di cabang matematika [[kombinatorik]], '''kaidah pencacahan''' merupakan aturan untuk menghitung banyaknya susunan objek-objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya. Kaidah pencacahan biasanya meliputi aturan dasar menghitung (seperti [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)\|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)\|aturan perkalian]]), [[prinsip inklusi-eksklusi]], [[pembuktian bijektif]], [[Pencacahan ganda (teori pembuktian)\|perhitungan ganda]], [[prinsip rumah burung]], [[fungsi pembangkit]], dan [[Relasi pengulangan\|relasi rekurensi]].		Dalam [[matematika]], khususnya di cabang matematika [[kombinatorik]], '''kaidah pencacahan''' merupakan aturan untuk menghitung banyaknya susunan objek-objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya.<ref>Asmar Achmad, [http://repositori.kemdikbud.go.id/21938/1/XII_Matematika-Umum_KD-3.3_Final.pdf ''Modul Matematika Kelas XII KD'' ''3.3''], hlm. 6</ref> Kaidah pencacahan biasanya meliputi aturan dasar menghitung (seperti [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)\|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)\|aturan perkalian]]), [[prinsip inklusi-eksklusi]], [[pembuktian bijektif]], [[Pencacahan ganda (teori pembuktian)\|perhitungan ganda]], [[prinsip rumah burung]], [[fungsi pembangkit]], dan [[Relasi pengulangan\|relasi rekurensi]].

	== Aturan dasar menghitung ==		== Aturan dasar menghitung ==
	Aturan dasar menghitung meliputi kajian dasar dalam cabang matematika (yaitu [[kombinatorika]]), di antaranya [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)\|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)\|aturan perkalian]].		Aturan dasar menghitung meliputi kajian dasar dalam cabang matematika (yaitu [[kombinatorika]]), di antaranya [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)\|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)\|aturan perkalian]].<ref>Made Astawan. [https://ilmuhitung.com/aturan-dasar-menghitung/ Aturan Dasar Menghitung]. ''Ilmu Hitung''. 2016-07-22.</ref>

	=== Aturan penjumlahan ===		=== Aturan penjumlahan ===
Baris 9:		Baris 9:
	Lebih formalnya, bila <math>S_1,\dots,S_n</math> himpunan lepas berpasangan, maka aturan penjumlahan dapat dirumuskan sebagai		Lebih formalnya, bila <math>S_1,\dots,S_n</math> himpunan lepas berpasangan, maka aturan penjumlahan dapat dirumuskan sebagai

	: <math>\|S_{1}\|+\|S_{2}\|+\cdots+\|S_{n}\| = \|S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n}\| </math>		: <math>\|S_{1}\|+\|S_{2}\|+\cdots+\|S_{n}\| = \|S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n}\| </math><ref>K. T. Leung. [https://books.google.com/books?id=QqgaZ799QGAC&q=%22rule+of+sum%22 Fundamental Concepts of Mathematics]. Hong Kong University Press. 1988-04-01. ISBN 978-962-209-181-8.</ref><ref>R. C. Penner. [https://books.google.com/books?id=t5r79vZ9ogoC&dq=%22rule+of+sum%22+AND+%22mathematics%22&pg=PA342 Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures]. World Scientific. 1999. ISBN 978-981-02-4088-2.</ref>

	atau disingkat sebagai		atau disingkat sebagai
Baris 18:		Baris 18:

	: <math>1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5</math>.		: <math>1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5</math>.


	=== Aturan perkalian ===		=== Aturan perkalian ===
	'''Aturan perkalian''' (atau '''aturan dasar mengalikan''') adalah aturan yang menyatakan bahwa bila ada <math>n(A)</math> cara untuk <math>A</math> dan <math>n(B)</math> cara untuk <math>B</math>, maka banyaknya cara untuk <math>A</math> dan <math>B</math> adalah <math>n(A) \cdot n(B)</math>. Sebagai permisalan, pada gambar di samping, diketahui <math>A</math> memiliki tiga [[Elemen (matematika)\|elemen]], yakni <math>\{1,2,3\}</math>. Hal yang serupa untuk <math>B</math> yang memiliki tiga elemen, yakni <math>\{1,2,3\}</math>. Maka, banyaknya cara untuk mengkombinasikan <math>\{A,B\}</math> dan <math>\{1,2,3\}</math> adalah <math>3 \times 2 = 6</math> cara.		'''Aturan perkalian''' (atau '''aturan dasar mengalikan''') adalah aturan yang menyatakan bahwa bila ada <math>n(A)</math> cara untuk <math>A</math> dan <math>n(B)</math> cara untuk <math>B</math>, maka banyaknya cara untuk <math>A</math> dan <math>B</math> adalah <math>n(A) \cdot n(B)</math>. Sebagai permisalan, pada gambar di samping, diketahui <math>A</math> memiliki tiga [[Elemen (matematika)\|elemen]], yakni <math>\{1,2,3\}</math>. Hal yang serupa untuk <math>B</math> yang memiliki tiga elemen, yakni <math>\{1,2,3\}</math>. Maka, banyaknya cara untuk mengkombinasikan <math>\{A,B\}</math> dan <math>\{1,2,3\}</math> adalah <math>3 \times 2 = 6</math> cara.

	Aturan perkalian dalam [[teori himpunan]] dapat dianggap sebagai [[Produk Kartesius\|hasilkali Kartesius]] (dilambangkan <math>\times</math>), yakni		Aturan perkalian dalam [[teori himpunan]] dapat dianggap sebagai [[Produk Kartesius\|hasilkali Kartesius]]<ref>Johnston, William, and Alex McAllister. ''[http://213.230.96.51:8090/files/ebooks/Matematika/Johnston%20W.,%20McAllister%20A.%20A%20transition%20to%20advanced%20mathematics..%20a%20survey%20course%20(OUP,%202009)(ISBN%200195310764)(766s)%20M%20.pdf A transition to advanced mathematics]''. Oxford Univ. Press, 2009. Section 5.1, hlm. 365</ref> (dilambangkan <math>\times</math>), yakni

	: <math>\|S_1\| \cdot \|S_2\| \cdots \|S_n\| = \|S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n\|</math>.		: <math>\|S_1\| \cdot \|S_2\| \cdots \|S_n\| = \|S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n\|</math>.

	== Prinsip inklusi-eksklusi ==		== Prinsip inklusi-eksklusi ==
			[[Prinsip inklusi-eksklusi]] merupakan perluasan [[diagram Venn]] yang melibatkan himpunan-himpunan. Prinsip ini kemudian diaplikasi secara variatif.<ref>[https://mathcyber1997.com/prinsip-inklusi-eksklusi/ Materi, Soal, dan Pembahasan - Prinsip Inklusi-Eksklusi - Mathcyber1997].</ref> Untuk diberikan suatu himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>, prinsip inklusi-eksklusi dirumuskan sebagai

	[[Prinsip inklusi-eksklusi]] merupakan perluasan [[diagram Venn]] yang melibatkan himpunan-himpunan. Prinsip ini kemudian diaplikasi secara variatif. Untuk diberikan suatu himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>, prinsip inklusi-eksklusi dirumuskan sebagai

	: <math>\left\|A \cup B\right\| = \left\|A\right\| + \left\|B\right\| - \left\|A \cap B\right\|</math>.		: <math>\left\|A \cup B\right\| = \left\|A\right\| + \left\|B\right\| - \left\|A \cap B\right\|</math>.

	== Pembuktian bijektif ==		== Pembuktian bijektif ==


	[[Pembuktian bijektif]] ialah teorema yang mendefinisikan jika [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] <math>f</math> yang memetakan himpunan <math>A</math> ke himpunan <math>B</math> adalah [[bijektif]], maka diperoleh bahwa <math>\|A\| = \|B\|</math>.		[[Pembuktian bijektif]] ialah teorema yang mendefinisikan jika [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] <math>f</math> yang memetakan himpunan <math>A</math> ke himpunan <math>B</math> adalah [[bijektif]], maka diperoleh bahwa <math>\|A\| = \|B\|</math>.

	== Perhitungan ganda ==		== Perhitungan ganda ==
	[[Perhitungan ganda (teknik pembuktian)\|Perhitungan ganda]] merupakan teknik pembuktian kombinatorial. Teknik pembuktian ini digunakan untuk membuktikan persamaan dua ekspresi dengan menunjukkan bahwa kedua ekspresi adalah dua cara menghitung [[kardinalitas]] sebuah himpunan yang sama.		[[Perhitungan ganda (teknik pembuktian)\|Perhitungan ganda]] merupakan teknik pembuktian kombinatorial. Teknik pembuktian ini digunakan untuk membuktikan persamaan dua ekspresi dengan menunjukkan bahwa kedua ekspresi adalah dua cara menghitung [[kardinalitas]] sebuah himpunan yang sama.<ref>Mamat Rahmat, ''[https://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Makalah2013/MakalahIF2120-2013-014.pdf Metode Double Counting untuk Pembuktian Identitas Matematika]''</ref>

	== Prinsip rumah burung ==		== Prinsip rumah burung ==
Baris 46:		Baris 41:

	== Fungsi pembangkit ==		== Fungsi pembangkit ==
	[[Fungsi pembangkit]] merupakan suatu fungsi yang berbentuk [[deret kuasa]]. Dengan menjadikan suku-suku barisan menjadi koefisien dari variabel <math>x</math> di dalam bentuk formal deret kuasa, fungsi ini dapat merepresentasikan [[barisan]] secara efektif. Fungsi pembangkit pada barisan <math>a_0,a_1,a_2,\dots</math> dapat dirumuskan sebagai		[[Fungsi pembangkit]] merupakan suatu fungsi yang berbentuk [[deret kuasa]]. Dengan menjadikan suku-suku barisan menjadi koefisien dari variabel <math>x</math> di dalam bentuk formal deret kuasa, fungsi ini dapat merepresentasikan [[barisan]] secara efektif.<ref>Mohammad Mahfuzh Shiddiq. [https://www.haimatematika.com/2019/11/fungsi-pembangkit-teknik-menghitung.html Fungsi Pembangkit - Teknik Menghitung]. ''haimatematika''.</ref> Fungsi pembangkit pada barisan <math>a_0,a_1,a_2,\dots</math> dapat dirumuskan sebagai

	: <math>G(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n</math>.		: <math>G(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n</math>.

	== Relasi rekurensi ==		== Relasi rekurensi ==
			Relasi rekurensi adalah suatu persamaan yang bergantung pada suku-suku sebelumnya. Lebih umumnya, relasi rekurensi pada suku <math>a_n</math> (di mana <math>n</math> bilangan bulat positif) bergantung pada suku-suku sebelumnya, yakni <math>a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1</math>.<ref>[http://emodul-matematika.fmipa.unej.ac.id/ModulKombinatorika/Relasi%20Rekurensi.html Relasi Rekurensi]. ''emodul-matematika.fmipa.unej.ac.id''.</ref>

			== Referensi ==
	Relasi rekurensi adalah suatu persamaan yang bergantung pada suku-suku sebelumnya. Lebih umumnya, relasi rekurensi pada suku <math>a_n</math> (di mana <math>n</math> bilangan bulat positif) bergantung pada suku-suku sebelumnya, yakni <math>a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1</math>.		<references />

	~~== Rujukan ==~~

	~~=== Catatan kaki ===~~


	=== Referensi ===

	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah+pencacahan&oldid=28449388 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28449388 (2025-11-13T06:43:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah+pencacahan&oldid=28449388 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28449388 (2025-11-13T06:43:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28449388; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:33:22Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28449388; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], khususnya di cabang matematika [[kombinatorik]], '''kaidah pencacahan''' merupakan aturan untuk menghitung banyaknya susunan objek-objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya. Kaidah pencacahan biasanya meliputi aturan dasar menghitung (seperti [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)|aturan perkalian]]), [[prinsip inklusi-eksklusi]], [[pembuktian bijektif]], [[Pencacahan ganda (teori pembuktian)|perhitungan ganda]], [[prinsip rumah burung]], [[fungsi pembangkit]], dan [[Relasi pengulangan|relasi rekurensi]].

== Aturan dasar menghitung ==
Aturan dasar menghitung meliputi kajian dasar dalam cabang matematika (yaitu [[kombinatorika]]), di antaranya [[Aturan penjumlahan (kombinatorika)|aturan penjumlahan]] dan [[Aturan perkalian (kombinatorika)|aturan perkalian]].

=== Aturan penjumlahan ===
'''Aturan penjumlahan''' (atau '''aturan dasar menambah''') adalah aturan yang menyatakan bahwa bila ada himpunan <math>A</math> dan <math>B</math> dengan [[Anggota (matematika)|anggota]] himpunan adalah <math>a</math> dan <math>b</math> dan bila kedua himpunan adalah saling lepas, maka banyaknya cara mengambil satu anggota tersebut adalah dengan cara menjumlahkan anggota pada kedua himpunan, yakni <math>a + b</math>.

Lebih formalnya, bila <math>S_1,\dots,S_n</math> himpunan lepas berpasangan, maka aturan penjumlahan dapat dirumuskan sebagai

: <math>|S_{1}|+|S_{2}|+\cdots+|S_{n}| = |S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n}| </math>

atau disingkat sebagai

: <math>\sum_{i=1}^n |S_i| = \left|\bigcup_{i=1}^n S_i \right|</math>.

Untuk memahami lebih lanjut, perhatikan contoh berikut: diberikan kelima bangun datar yang berbeda, yakni persegi, lingkaran, segitiga, [[persegi panjang]], dan trapesium. Maka, banyaknya cara mengambil salah satu dari kelima bangun datar tersebut adalah

: <math>1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5</math>.

=== Aturan perkalian ===
'''Aturan perkalian''' (atau '''aturan dasar mengalikan''') adalah aturan yang menyatakan bahwa bila ada <math>n(A)</math> cara untuk <math>A</math> dan <math>n(B)</math> cara untuk <math>B</math>, maka banyaknya cara untuk <math>A</math> dan <math>B</math> adalah <math>n(A) \cdot n(B)</math>. Sebagai permisalan, pada gambar di samping, diketahui <math>A</math> memiliki tiga [[Elemen (matematika)|elemen]], yakni <math>\{1,2,3\}</math>. Hal yang serupa untuk <math>B</math> yang memiliki tiga elemen, yakni <math>\{1,2,3\}</math>. Maka, banyaknya cara untuk mengkombinasikan <math>\{A,B\}</math> dan <math>\{1,2,3\}</math> adalah <math>3 \times 2 = 6</math> cara.

Aturan perkalian dalam [[teori himpunan]] dapat dianggap sebagai [[Produk Kartesius|hasilkali Kartesius]] (dilambangkan <math>\times</math>), yakni

: <math>|S_1| \cdot |S_2| \cdots |S_n| = |S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n|</math>.

== Prinsip inklusi-eksklusi ==

[[Prinsip inklusi-eksklusi]] merupakan perluasan [[diagram Venn]] yang melibatkan himpunan-himpunan. Prinsip ini kemudian diaplikasi secara variatif. Untuk diberikan suatu himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>, prinsip inklusi-eksklusi dirumuskan sebagai

: <math>\left|A \cup B\right| = \left|A\right| + \left|B\right| - \left|A \cap B\right|</math>.

== Pembuktian bijektif ==

[[Pembuktian bijektif]] ialah teorema yang mendefinisikan jika [[Fungsi (matematika)|fungsi]] <math>f</math> yang memetakan himpunan <math>A</math> ke himpunan <math>B</math> adalah [[bijektif]], maka diperoleh bahwa <math>|A| = |B|</math>.

== Perhitungan ganda ==
[[Perhitungan ganda (teknik pembuktian)|Perhitungan ganda]] merupakan teknik pembuktian kombinatorial. Teknik pembuktian ini digunakan untuk membuktikan persamaan dua ekspresi dengan menunjukkan bahwa kedua ekspresi adalah dua cara menghitung [[kardinalitas]] sebuah himpunan yang sama.

== Prinsip rumah burung ==
[[Prinsip rumah burung]] atau [[prinsip sarang merpati]] atau [[prinsip sangkar merpati]] menyatakan bahwa untuk dua [[bilangan asli]] <math>m</math> dan <math>n</math>, <math>n>m</math>, jika <math>n</math> burung ditaruh di dalam <math>m</math> rumah atau kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi lebih dari satu burung.

== Fungsi pembangkit ==
[[Fungsi pembangkit]] merupakan suatu fungsi yang berbentuk [[deret kuasa]]. Dengan menjadikan suku-suku barisan menjadi koefisien dari variabel <math>x</math> di dalam bentuk formal deret kuasa, fungsi ini dapat merepresentasikan [[barisan]] secara efektif. Fungsi pembangkit pada barisan <math>a_0,a_1,a_2,\dots</math> dapat dirumuskan sebagai

: <math>G(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n</math>.

== Relasi rekurensi ==

Relasi rekurensi adalah suatu persamaan yang bergantung pada suku-suku sebelumnya. Lebih umumnya, relasi rekurensi pada suku <math>a_n</math> (di mana <math>n</math> bilangan bulat positif) bergantung pada suku-suku sebelumnya, yakni <math>a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1</math>.

== Rujukan ==

=== Catatan kaki ===

=== Referensi ===

*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah+pencacahan&oldid=28449388 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28449388 (2025-11-13T06:43:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.