Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:58:38Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22244783; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:22:21Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22244783; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Kaidah pendiferensialan''' (atau '''aturan pendiferensialan'''; ) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung [[derivatif]] suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]] dalam [[kalkulus]]. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat [[Tabel turunan]].

== Kaidah dasar pendiferensialan ==

Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi [[bilangan real|bilangan real ('''R''')]] yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika [[:en:well defined|didefinisikan dengan baik]]— termasuk [[bilangan kompleks|bilangan kompleks ('''C''')]].

=== Pendiferensialan adalah linier ===

Untuk fungsi-fungsi ''f'' dan ''g'' dan bilangan real ''a'' dan ''b'' apapun, turunan fungsi terhadap ''x'' dapat ditulis

:<math> h'(x) = a f'(x) + b g'(x).\, </math>
Dalam [[notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math> \frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.</math>

Kasus-kasus khusus meliputi:
* ''[[:en:Constant factor rule in differentiation|Kaidah faktor konstan]]''
:<math>(af)' = af' \,</math>
* ''[[:en:Sum rule in differentiation|Kaidah penjumlahan]]''
:<math>(f + g)' = f' + g'\,</math>
* ''Kaidah pengurangan''
:<math>(f - g)' = f' - g'.\,</math>

=== Kaidah hasil kali ===

Untuk fungsi-fungsi ''f'' dan ''g'', turunan fungsi ''h''(''x'') = ''f''(''x'') ''g''(''x'') terhadap ''x'' dapat ditulis
:<math> h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).\, </math>
Dalam [[notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math>\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.</math>

=== Kaidah rantai ===

Turunan dari fungsi ''h''(''x'') = ''f''(''g''(''x'')) terhadap ''x'' dapat ditulis
:<math> h'(x) = f'(g(x)) g'(x).\, </math>
Dalam [[:en:Leibniz's notation|notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math>\frac{dh}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \frac{dg(x)}{dx}.\,</math>
Namun, dengan melonggarkan penafsiran ''h'' sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai
:<math>\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg} \frac{dg}{dx}.\,</math>

=== Kaidah fungsi inversi ===

Jika fungsi ''f'' mempunyai suatu [[fungsi invers]] ''g'', yaitu dan , maka
:<math>g' = \frac{1}{f'\circ g}.</math>

Dalam [[notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math> \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.</math>

== Hukum pangkat, polinomial, hasil bagi, dan timbal-balik ==
=== Kaidah pangkat polinomial atau elementer ===

Jika <math>f(x) = x^n</math>, untuk [[bilangan bulat]] ''n'' apapun maka
:<math>f'(x) = nx^{n-1}.\,</math>

Kasus-kasus khusus meliputi:
* ''Kaidah konstanta'': jika ''f'' adalah fungsi konstanta ''f''(''x'') = ''c'', untuk bilangan ''c'' apapun, maka untuk semua ''x'', ''f′''(''x'') = 0.
* jika ''f''(''x'') = ''x'', maka ''f′''(''x'') = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:
*: ''Turunan suatu fungsi ''affine'' adalah suatu konstanta'': jika ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'', maka ''f′''(''x'') = ''a''.

Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.

=== Kaidah timbal-balik ===

Turunan dari ''h''(''x'') = 1/''f''(''x'') untuk fungsi ''f'' (yang "tidak menghilang"; ''nonvanishing'') manapun adalah:

:<math> h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}.\ </math>

Dalam [[notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math> \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.\,</math>

Kaidah timbal balik (''reciprocal rule'') dapat diturunkan dari kaidah rantai (''chain rule'') dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; ''power rule'').

=== Kaidah hasil bagi ===

Jika ''f'' dan ''g'' adalah fungsi, maka:
:<math>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad</math> di mana ''g'' bukan nol.

Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus ''f''(''x'') = 1.

=== Kaidah pemangkatan yang dirampat ===

Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (''functional power rule''): untuk fungsi-fungsi ''f'' dan ''g'' apappun,
:<math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad</math>
di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.

Kasus-kasus khusus:
* Jika ''f''(''x'') = ''x''<sup>''a''</sup>, ''f′''(''x'') = ''ax''<sup>''a'' − 1</sup> bilamana ''a'' adalah suatu bilangan real dan ''x'' adalah positif.
* Kaidah timbal balik (''reciprocal rule'') dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana ''g''(''x'') = −1.

== Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik ==

:<math> \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {c^{ax} \ln c \cdot a },\qquad c > 0</math>
perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua ''c'', tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

:<math> \frac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x</math>

:<math> \frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c}, \qquad c > 0, c \ne 1</math>
persamaan di atas adalah benar untuk semua ''c'', tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

:<math> \frac{d}{dx}\left( \ln x\right) = {1 \over x},\qquad x > 0</math>

:<math> \frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x}</math>

:<math> \frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).</math>

=== Turunan logaritmik ===

[[Turunan logaritmik]] adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):
:<math> (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad</math> wherever ''f'' is positive.

== Turunan fungsi trigonometri ==

Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen, <math>\arctan(y,x)</math>. Nilainya terletak dalam rentang <math>[-\pi,\pi]</math> dan mencerminkan kuadran dari titik <math>(x,y)</math>. Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu <math>x > 0</math>) maka <math>\arctan(y, x>0) = \arctan(y/x)</math>. Turunan parsialnya adalah

== Turunan fungsi hiperbolik ==

== Turunan fungsi-fungsi khusus ==

== Turunan integral ==

Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap ''x'' dalam fungsi

:<math>F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,</math>

di mana fungsi-fungsi <math>f(x,t)\,</math> dan <math>\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\,</math> keduanya kontinu dalam <math>t\,</math> dan <math>x\,</math> dalam wilayah tertentu bidang <math>(t,x)\,</math>, termasuk <math>a(x)\leq t\leq b(x),</math> <math>x_0\leq x\leq x_1\,</math>, dan fungsi-fungsi <math>a(x)\,</math> dan <math>b(x)\,</math> keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk <math>x_0\leq x\leq x_1\,</math>. Maka untuk <math>\,x_0\leq x\leq x_1\,\,</math>:

:<math> F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\,.</math>

Rumus ini merupakan bentuk umum dari [[:en:Leibniz integral rule|kaidah integral Leibniz]] dan dapat diturunkan menggunakan
[[:en:fundamental theorem of calculus|Teorema fundamental kalkulus]].

== Turunan ke-''n'' ==
Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-''n'' suatu fungsi, di mana ''n'' adalah sebuah [[bilangan bulat]] positif. Di antaranya:

=== Rumus Faà di Bruno ===

Jika ''f'' dan ''g'' dapat diturunkan ''n'' kali, maka

:<math> \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}}^{} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}</math>

di mana <math> r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m</math> dan himpunan <math> \{k_m\}</math> terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine <math> \sum_{m=1}^{n} m k_m = n</math>.

=== Kaidah Leibniz umum ===

Jika ''f'' dan ''g'' dapat diturunkan ''n'' kali, maka

:<math> \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)</math>

== Lihat pula ==
* [[Turunan fungsi]]
* [[Fungsi Hiperbolik]]
* [[Fungsi invers]]
* [[Fungsi trigonometri]]
* [[Kalkulus matriks]]

== Referensi ==

== Sumber dan pustaka tambahan ==
Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:
* ''Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)'', S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
* ''The Cambridge Handbook of Physics Formulas'', G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
* ''Mathematical methods for physics and engineering'', K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
* ''NIST Handbook of Mathematical Functions'', F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

== Pranala luar ==

* [http://www.planetcalc.com/675/ Derivative calculator with formula simplification]
* [http://mathmajor.org/calculus-and-analysis/table-of-derivatives/ A Table of Derivatives]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaidah+pendiferensialan&oldid=22244783 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22244783 (2022-12-04T11:34:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Kaidah pendiferensialan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22244783; atribusi sumber disertakan.