Kalkulus matriks - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:13:00Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.13
Baris 2:		Baris 2:

	== Notasi ==		== Notasi ==

	Misalkan ''M''(''n'',''m'') melambangkan ruang matriks [[bilangan riil\|riil]] ''n'' x ''m'' dengan ''n'' baris dan ''m'' kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai '''F''', '''X''', '''Y''', dan seterusnya. Sebuah unsur ''M''(''n'',1), yaitu [[vektor kolom]], dilambangkan dengan huruf kecil tebal '''x''', dengan '''x'''<sup>T</sup> melambangkan vektor baris transposnya. Unsur ''M''(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan ''a'', ''b'', ''f'', ''t'', dan seterusnya.		Misalkan ''M''(''n'',''m'') melambangkan ruang matriks [[bilangan riil\|riil]] ''n'' x ''m'' dengan ''n'' baris dan ''m'' kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai '''F''', '''X''', '''Y''', dan seterusnya. Sebuah unsur ''M''(''n'',1), yaitu [[vektor kolom]], dilambangkan dengan huruf kecil tebal '''x''', dengan '''x'''<sup>T</sup> melambangkan vektor baris transposnya. Unsur ''M''(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan ''a'', ''b'', ''f'', ''t'', dan seterusnya.

	== Kalkulus vektor ==		== Kalkulus vektor ==


	Karena ruang ''M''(''n'',1) diidentifikasikan dengan [[ruang Euklides]] '''R'''<sup>''n''</sup> dan ''M''(1,1) diidentifikasikan dengan '''R''', notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam [[kalkulus vektor]].		Karena ruang ''M''(''n'',1) diidentifikasikan dengan [[ruang Euklides]] '''R'''<sup>''n''</sup> dan ''M''(1,1) diidentifikasikan dengan '''R''', notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam [[kalkulus vektor]].

	<ul>		<ul>
	<li>[[Vektor singgung]] terhadap kurva '''x''': '''R''' → '''R'''<sup>''n''</sup> adalah		<li>[[Vektor singgung]] terhadap kurva '''x''': '''R''' → '''R'''<sup>''n''</sup> adalah
	:<math>\frac{\partial \mathbf{x}} {\partial t} =		:<math>\frac{\partial \mathbf{x}} {\partial t} =
	\begin{bmatrix}		\begin{bmatrix}
	\frac{\partial x_1}{\partial t} \\		\frac{\partial x_1}{\partial t} \\
Baris 22:		Baris 19:

	<li>[[Gradien]] fungsi skalar ''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''		<li>[[Gradien]] fungsi skalar ''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''
	:<math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} =		:<math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} =
	\begin{bmatrix}		\begin{bmatrix}
	\frac{\partial f}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \\		\frac{\partial f}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \\
Baris 33:		Baris 30:
	<li>[[Diferensial]] fungsi '''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> dideskripsikan oleh [[matriks Jacobi]]		<li>[[Diferensial]] fungsi '''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> dideskripsikan oleh [[matriks Jacobi]]
	:<math>		:<math>
	\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} =		\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} =
	\begin{bmatrix}		\begin{bmatrix}
	\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}\\		\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}\\
Baris 46:		Baris 43:

	== Kalkulus matriks ==		== Kalkulus matriks ==

	Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.		Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.

Baris 96:		Baris 92:

	== Persamaan identitas ==		== Persamaan identitas ==

	Perkalian matriks tidak [[komutatif]], karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.		Perkalian matriks tidak [[komutatif]], karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.

Baris 111:		Baris 106:
	</li>		</li>
	</ul>		</ul>


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
Baris 117:		Baris 111:
	* [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/calculus.html Matrix calculus] Matrix Reference Manual, Imperial College London.		* [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/calculus.html Matrix calculus] Matrix Reference Manual, Imperial College London.
	* [http://matrixcookbook.com The Matrix Cookbook], dengan bab ''turunan''. Menggunakan definsi Hessian.		* [http://matrixcookbook.com The Matrix Cookbook], dengan bab ''turunan''. Menggunakan definsi Hessian.



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus+matriks&oldid=29150598 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29150598 (2026-04-21T17:31:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus+matriks&oldid=29150598 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29150598 (2026-04-21T17:31:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29150598; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:55:12Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29150598; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]] '''kalkulus matriks''' adalah notasi khusus untuk menghitung [[kalkulus multivariabel]] (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang [[matriks]]. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan '''turunan matriks'''. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem [[persamaan diferensial]], dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam [[statistika]] dan [[rekayasa]], sedangkan [[notasi indeks tensor]] lebih disukai dalam [[fisika]].

== Notasi ==

Misalkan ''M''(''n'',''m'') melambangkan ruang matriks [[bilangan riil|riil]] ''n'' x ''m'' dengan ''n'' baris dan ''m'' kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai '''F''', '''X''', '''Y''', dan seterusnya. Sebuah unsur ''M''(''n'',1), yaitu [[vektor kolom]], dilambangkan dengan huruf kecil tebal '''x''', dengan '''x'''T melambangkan vektor baris transposnya. Unsur ''M''(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan ''a'', ''b'', ''f'', ''t'', dan seterusnya.

== Kalkulus vektor ==

Karena ruang ''M''(''n'',1) diidentifikasikan dengan [[ruang Euklides]] '''R'''''n'' dan ''M''(1,1) diidentifikasikan dengan '''R''', notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam [[kalkulus vektor]].

<ul>
<li>[[Vektor singgung]] terhadap kurva '''x''': '''R''' → '''R'''''n'' adalah
:<math>\frac{\partial \mathbf{x}} {\partial t} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x_1}{\partial t} \\
\vdots \\
\frac{\partial x_n}{\partial t} \\
\end{bmatrix}.
</math>
</li>

<li>[[Gradien]] fungsi skalar ''f'': '''R'''''n'' → '''R'''
:<math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \\
\end{bmatrix}.
</math>
[[Turunan berarah]] ''f'' ke arah '''v''' adalah
:<math>\nabla_\mathbf{v} f = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\mathbf{v}.</math>
</li>

<li>[[Diferensial]] fungsi '''f''': '''R'''''m'' → '''R'''''n'' dideskripsikan oleh [[matriks Jacobi]]
:<math>
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_m}\\
\end{bmatrix}.
</math>
Diferensial sepanjang '''f''' dari vektor '''v''' dalam '''R'''''m'' adalah
:<math>d\,\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{v}.</math>
</li>
</ul>

== Kalkulus matriks ==

Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.

<ul>
<li>Vektor singgung kurva '''F''': '''R''' → ''M''(''n'',''m'')
:<math>
\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_{1,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{1,m}}{\partial t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial F_{n,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{n,m}}{\partial t}\\
\end{bmatrix}.
</math>
</li>

<li>Gradien fungsi skalar ''f'': ''M''(''n'',''m'') → '''R'''
:<math>
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,m}}\\
\end{bmatrix}.
</math>

Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap ''X'' terbalik dibandingkan dengan urutan indeks '''X'''. Turunan berarah ''f'' ke arah matriks '''Y''' diberikan oleh

:<math>\nabla_\mathbf{Y} f = \operatorname{tr} \left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{Y}\right),</math>
dengan ''tr'' melambangkan ''[[trace]]'' dari matriks.
</li>

<li>Diferensial atau turunan matriks dari fungsi <math>F: M(n,m) \Rightarrow M(p,q)</math> adalah unsur dari <math>M(p,q) \otimes M(m,n)</math>, sebuah [[tensor]] peringkat empat (pembalikan ''m'' dan ''n'' di sini menandakan [[ruang dual]] dari ''M''(''n'',''m'')). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks ''m''×''n'' yang masing-masing entrinya adalah matriks ''p''×''q''.

:<math>\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,m}}\\
\end{bmatrix},
</math>

Catat pula bahwa tiap ∂'''F'''/∂''X''''i'',''j'' adalah matriks ''p''×''q'' yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: ''m'' baris dan ''n'' kolom. Diferensial sepanjang '''F''' dari sebuah matriks '''Y''' berukuran ''n''×''m'' dalam ''M''(''n'',''m'') adalah

:<math>d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right).</math>

Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus.
</li>
</ul>

== Persamaan identitas ==

Perkalian matriks tidak [[komutatif]], karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.

<ul>
<li> '''[[Kaidah rantai]]:''' Bila '''Z''' adalah fungsi dari '''Y''', yang pada gilirannya adalah fungsi dari '''X'''
:<math>
\frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{Y}} \frac{\partial \mathbf{Y}} {\partial \mathbf{X}}</math>
</li>

<li>'''[[Kaidah darab]]:'''
:<math>
\frac{\partial (\mathbf{Y}^T\mathbf{Z})}{\partial \mathbf{X}} = (\mathbf{Z}^T)\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}} + (\mathbf{Y}^T)\frac{\partial\mathbf{Z}}{\partial \mathbf{X}}
</math>
</li>
</ul>

== Pranala luar ==
* [http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf Matrix calculus] Apendiks dari buku ''Introduction to Finite Element Methods'' di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks.
* [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/calculus.html Matrix calculus] Matrix Reference Manual, Imperial College London.
* [http://matrixcookbook.com The Matrix Cookbook], dengan bab ''turunan''. Menggunakan definsi Hessian.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus+matriks&oldid=29150598 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29150598 (2026-04-21T17:31:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.