Kebebasan aljabar - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:06:14Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.06
Baris 12:		Baris 12:
	== Kebebasan aljabar dari suatu konstanta yang diketahui ==		== Kebebasan aljabar dari suatu konstanta yang diketahui ==
	Meskipun kedua-dua <math>\pi</math> dan [[E (konstanta matematika)\|''e'']] diketahui sebagai transenden,		Meskipun kedua-dua <math>\pi</math> dan [[E (konstanta matematika)\|''e'']] diketahui sebagai transenden,
	tidaklah diketahui apakah himpunan kedua-dua mereka ini bebas linear pada <math>\mathbb{Q}</math>. Faktanya, bahkan tidak diketahui jika <math>\pi+e</math> tak-rasional.		tidaklah diketahui apakah himpunan kedua-dua mereka ini bebas linear pada <math>\mathbb{Q}</math>.<ref>Patrick Morandi. [https://books.google.com/books?id=jQ7c8Xqpqk0C Field and Galois Theory]. Springer. 1996. hlm. 174. ISBN 978-0-387-94753-2.</ref> Faktanya, bahkan tidak diketahui jika <math>\pi+e</math> tak-rasional.<ref>Ben Green. ''The Princeton Companion to Mathematics''. Princeton University Press. 2008. hlm. 222.</ref>
	[[Yuri Valentinovich Nesterenko\|Nesterenko]] membuktikan pada tahun 1996 bahwa:		[[Yuri Valentinovich Nesterenko\|Nesterenko]] membuktikan pada tahun 1996 bahwa:
	* bilangan-bilangan π, ''e''<sup>π</sup>, dan [[fungsi gamma\|Γ]](1/4) dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.		* bilangan-bilangan π, ''e''<sup>π</sup>, dan [[fungsi gamma\|Γ]](1/4) dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.<ref>Yu. I. Manin. ''Introduction to Modern Number Theory''. 2007. Vol. 49. hlm. 61. ISBN 978-3-540-20364-3.</ref>
	* bilangan-bilangan π, ''e''<sup>π√3</sup>, dan Γ(1/3) dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.		* bilangan-bilangan π, ''e''<sup>π√3</sup>, dan Γ(1/3) dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.
	* untuk semua [[bilangan bulat]] positif ''n'', bilangan-bilangan π, ''e''<sup>π√n</sup> dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.		* untuk semua [[bilangan bulat]] positif ''n'', bilangan-bilangan π, ''e''<sup>π√n</sup> dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.<ref>Nesterenko, Yuri V. ''Modular Functions and Transcendence Problems''. ''Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique''. 1996. Vol. 322 (10). hlm. 909–914.</ref>

	== Teorema Lindemann–Weierstrass ==		== Teorema Lindemann–Weierstrass ==
Baris 24:		Baris 24:
	Diberikan suatu [[perluasan medan]] ''L''/''K yang tidak aljabar'', [[lemma Zorn]] dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa akan selalu ada himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal dari ''L'' pada ''K''. Lebih jauhnya, semua himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal akan memiliki [[kardinalitas]] yang sama, dikenal sebagai [[derajat ketransendenan]] suatu perluasan.		Diberikan suatu [[perluasan medan]] ''L''/''K yang tidak aljabar'', [[lemma Zorn]] dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa akan selalu ada himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal dari ''L'' pada ''K''. Lebih jauhnya, semua himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal akan memiliki [[kardinalitas]] yang sama, dikenal sebagai [[derajat ketransendenan]] suatu perluasan.

	Untuk setiap himpunan ''S'' dari unsur-unsur ''L'', semua himpunan-bagian bebas aljabar dari ''S'' memenuhi aksioma-aksioma yang mendefinisi himpunan-himpunan [[matroid]] yang bebas. Di dalam matroid ini, rentang (''rank'') suatu himpunan unsur-unsur adalah derajat ketransendenannya, dan lempeng (''flat'') yang dibangkitkan oleh suatu himpunan ''T'' dari unsur-unsur adalah irisan ''L'' dengan medan ''K''[''T'']. Suatu matroid yang dapat dibangkitkan dengan cara ini dikatakan '''matroid aljabar'''. Tidak ada karakterisasi bagus yang telah diketahui untuk matroid aljabar, tetapi matroid-matroid tertentu diketahui sebagai bukan aljabar; yang terkecil adalah [[matroid Vámos]].		Untuk setiap himpunan ''S'' dari unsur-unsur ''L'', semua himpunan-bagian bebas aljabar dari ''S'' memenuhi aksioma-aksioma yang mendefinisi himpunan-himpunan [[matroid]] yang bebas. Di dalam matroid ini, rentang (''rank'') suatu himpunan unsur-unsur adalah derajat ketransendenannya, dan lempeng (''flat'') yang dibangkitkan oleh suatu himpunan ''T'' dari unsur-unsur adalah irisan ''L'' dengan medan ''K''[''T'']. Suatu matroid yang dapat dibangkitkan dengan cara ini dikatakan '''matroid aljabar'''. Tidak ada karakterisasi bagus yang telah diketahui untuk matroid aljabar, tetapi matroid-matroid tertentu diketahui sebagai bukan aljabar; yang terkecil adalah [[matroid Vámos]].<ref>A. W. Ingleton. ''Non-algebraic matroids exist''. ''Bulletin of the London Mathematical Society''. 1975. Vol. 7. hlm. 144–146. doi:10.1112/blms/7.2.144..</ref>

	~~Ada banyak matroid berhingga yang dapat [[representasi matroid\|direpresentasi]] oleh [[matriks (matematika)\|matriks]] pada medan~~ ''K'', di mana unsur-unsur matroid yang berkorespondensi dengan kolom-kolom matriks, dan sehimpunan unsur-unsur dikatakan saling bebas jika himpunan kolom-kolom yang berkorespondensi dikatakan [[bebas linear]]. ~~Setiap matroid dengan representasi linear sedemikian dapat juga direpresentasi sebagai suatu matroid aljabar, dengan memilih suatu~~ ''~~indeterminate~~'' untuk tiap-tiap baris matriks, dan dengan menggunakan koefisien-koefisien matriks di dalam tiap-tiap kolom untuk menandai tiap-tiap unsur matroid suatu [[kombinasi linear]] dari transenden-transenden ini. ~~Kebalikannya adalah salah~~: ~~tidak semua matroid aljabar memiliki representasi linear~~.

	~~== Referensi ==~~

			Ada banyak matroid berhingga yang dapat [[representasi matroid\|direpresentasi]] oleh [[matriks (matematika)\|matriks]] pada medan ''K'', di mana unsur-unsur matroid yang berkorespondensi dengan kolom-kolom matriks, dan sehimpunan unsur-unsur dikatakan saling bebas jika himpunan kolom-kolom yang berkorespondensi dikatakan [[bebas linear]]. Setiap matroid dengan representasi linear sedemikian dapat juga direpresentasi sebagai suatu matroid aljabar, dengan memilih suatu ''indeterminate'' untuk tiap-tiap baris matriks, dan dengan menggunakan koefisien-koefisien matriks di dalam tiap-tiap kolom untuk menandai tiap-tiap unsur matroid suatu [[kombinasi linear]] dari transenden-transenden ini. Kebalikannya adalah salah: tidak semua matroid aljabar memiliki representasi linear.<ref>K. D. Joshi. [https://books.google.com/books?id=lxIgGGJXacoC&pg=PA909&lpg=PA909 Applied Discrete Structures]. New Age International. 1997. hlm. 909. ISBN 9788122408263..</ref>

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kebebasan+aljabar&oldid=28029077 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28029077 (2025-10-16T17:54:27Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kebebasan+aljabar&oldid=28029077 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28029077 (2025-10-16T17:54:27Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28029077; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:40:13Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28029077; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Di dalam [[aljabar abstrak]], suatu [[himpunan bagian]] ''S'' dari suatu [[Medan (matematika)|medan]] ''L'' dikatakan '''bebas aljabar''' pada suatu [[Medan (matematika)|medan bagian]] ''K'' jika unsur-unsur ''S'' tidak memenuhi sembarang persamaan [[polinom]] tak-[[trivial]] yang berkoefisien di lingkup ''K''.

Secara khusus, suatu himpunan berunsur satu {''α''} dikatakan bebas aljabar pada ''K'' [[jika dan hanya jika]] α transenden pada ''K''. Secara umum, suatu unsur dari suatu himpunan bebas aljabar ''S'' pada ''K'' dikatakan transenden (berdasarkan syarat perlu) pada ''K'', dan pada semua [[perluasan medan]] pada ''K'' yang dibangkitkan oleh unsur-unsur ''S'' lainnya.

== Contoh ==
Dua [[bilangan real]] <math>\sqrt{\pi}</math> dan <math>2\pi+1</math> masing-masing dikatakan sebagai [[bilangan transenden]]: mereka bukan akar dari sembarang polinom tak-trivial yang koefisien-koefisiennya merupakan [[bilangan rasional]]. Dengan demikian, tiap-tiap dua ''singleton'' (himpunan unsur) <math>\{\sqrt{\pi}\}</math> dan <math>\{2\pi+1\}</math> dikatakan bebas aljabar pada medan bilangan rasional <math>\mathbb{Q}</math>.

Meskipun demikian, himpunan <math>\{ \sqrt{\pi}, 2\pi+1 \}</math> ''tidaklah'' bebas aljabar pada bilangan rasional, karena polinom tak-trivial
:<math>P(x,y)=2x^2-y+1</math>
bernilai nol manakala <math>x=\sqrt{\pi}</math> dan <math>y=2\pi+1</math>.

== Kebebasan aljabar dari suatu konstanta yang diketahui ==
Meskipun kedua-dua <math>\pi</math> dan [[E (konstanta matematika)|''e'']] diketahui sebagai transenden,
tidaklah diketahui apakah himpunan kedua-dua mereka ini bebas linear pada <math>\mathbb{Q}</math>. Faktanya, bahkan tidak diketahui jika <math>\pi+e</math> tak-rasional.
[[Yuri Valentinovich Nesterenko|Nesterenko]] membuktikan pada tahun 1996 bahwa:
* bilangan-bilangan π, ''e''π, dan [[fungsi gamma|Γ]](1/4) dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.
* bilangan-bilangan π, ''e''π√3, dan Γ(1/3) dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.
* untuk semua [[bilangan bulat]] positif ''n'', bilangan-bilangan π, ''e''π√n dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.

== Teorema Lindemann–Weierstrass ==
[[Teorema Lindemann–Weierstrass]] sering kali dapat digunakan untuk membuktikan bahwa beberapa himpunan dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''. Teorema ini menyatakan bahwa ketika α1,...,α''n'' merupakan [[bilangan aljabar]] yang [[bebas linear]] pada '''Q''', maka ''e''α1,...,''e''α''n'' dikatakan bebas aljabar pada '''Q'''.

== Matroid aljabar ==
Diberikan suatu [[perluasan medan]] ''L''/''K yang tidak aljabar'', [[lemma Zorn]] dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa akan selalu ada himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal dari ''L'' pada ''K''. Lebih jauhnya, semua himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal akan memiliki [[kardinalitas]] yang sama, dikenal sebagai [[derajat ketransendenan]] suatu perluasan.

Untuk setiap himpunan ''S'' dari unsur-unsur ''L'', semua himpunan-bagian bebas aljabar dari ''S'' memenuhi aksioma-aksioma yang mendefinisi himpunan-himpunan [[matroid]] yang bebas. Di dalam matroid ini, rentang (''rank'') suatu himpunan unsur-unsur adalah derajat ketransendenannya, dan lempeng (''flat'') yang dibangkitkan oleh suatu himpunan ''T'' dari unsur-unsur adalah irisan ''L'' dengan medan ''K''[''T'']. Suatu matroid yang dapat dibangkitkan dengan cara ini dikatakan '''matroid aljabar'''. Tidak ada karakterisasi bagus yang telah diketahui untuk matroid aljabar, tetapi matroid-matroid tertentu diketahui sebagai bukan aljabar; yang terkecil adalah [[matroid Vámos]].

Ada banyak matroid berhingga yang dapat [[representasi matroid|direpresentasi]] oleh [[matriks (matematika)|matriks]] pada medan ''K'', di mana unsur-unsur matroid yang berkorespondensi dengan kolom-kolom matriks, dan sehimpunan unsur-unsur dikatakan saling bebas jika himpunan kolom-kolom yang berkorespondensi dikatakan [[bebas linear]]. Setiap matroid dengan representasi linear sedemikian dapat juga direpresentasi sebagai suatu matroid aljabar, dengan memilih suatu ''indeterminate'' untuk tiap-tiap baris matriks, dan dengan menggunakan koefisien-koefisien matriks di dalam tiap-tiap kolom untuk menandai tiap-tiap unsur matroid suatu [[kombinasi linear]] dari transenden-transenden ini. Kebalikannya adalah salah: tidak semua matroid aljabar memiliki representasi linear.

== Referensi ==

== Pranala luar ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kebebasan+aljabar&oldid=28029077 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28029077 (2025-10-16T17:54:27Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.