Kehomomorfan grup - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:01:13Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.01
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Group_homomorphism_ver.2.svg\|thumb\|right\|280px\|Group homomorphism ver.2]]

			[[Gambar:Group homomorphism ver.2.svg\|right\|thumb\|250px\|Gambar kehomomorfan grup ('''h''') dari '''G''' (kiri) ke '''H''' (kanan). Oval yang lebih kecil di dalam '''H''' adalah gambar '''h'''. '' 'N' '' adalah inti dari '''h''' dan '''aN''' adalah [[coset]] dari '''N'''.]]

	Dalam [[matematika]], diberikan dua [[grup (matematika)\|grup]], (''G'', ∗) dan (''H'', ·), sebuah '''kehomomorfan grup''' dari ('' G '', ∗) ke ('' H '', ·) adalah [[fungsi (matematika)\|fungsi]] ''h'' : ''G'' → ''H'', '' u '' dan '' v '' dengan '' G '' dirumuskan		Dalam [[matematika]], diberikan dua [[grup (matematika)\|grup]], (''G'', ∗) dan (''H'', ·), sebuah '''kehomomorfan grup''' dari ('' G '', ∗) ke ('' H '', ·) adalah [[fungsi (matematika)\|fungsi]] ''h'' : ''G'' → ''H'', '' u '' dan '' v '' dengan '' G '' dirumuskan
	:<math> h(u*v) = h(u) \cdot h(v) </math>		:<math> h(u*v) = h(u) \cdot h(v) </math>
Baris 7:		Baris 11:
	:<math> h(e_G) = e_H</math>		:<math> h(e_G) = e_H</math>

	dan invers ke invers dalam arti		dan invers ke invers dalam arti
	:<math> h\left(u^{-1}\right) = h(u)^{-1}. \,</math>		:<math> h\left(u^{-1}\right) = h(u)^{-1}. \,</math>

Baris 31:		Baris 35:

	== Galeri dan kernel ==		== Galeri dan kernel ==

	Mendefinisikan '' [[kernel (aljabar)\|kernel]] dari h '' menjadi himpunan elemen pada '' G '' yang dipetakan ke identitas ke '' H ''		Mendefinisikan '' [[kernel (aljabar)\|kernel]] dari h '' menjadi himpunan elemen pada '' G '' yang dipetakan ke identitas ke '' H ''
	: <math> \operatorname{ker}(h) \equiv \left\{u \in G\colon h(u) = e_{H}\right\}.</math>		: <math> \operatorname{ker}(h) \equiv \left\{u \in G\colon h(u) = e_{H}\right\}.</math>
Baris 53:		Baris 56:
	\Leftrightarrow && h\left(g_1 \circ g_2^{-1}\right) &= e_H,\ \operatorname{ker}(h) = \{e_G\} \\		\Leftrightarrow && h\left(g_1 \circ g_2^{-1}\right) &= e_H,\ \operatorname{ker}(h) = \{e_G\} \\
	\Rightarrow && g_1 \circ g_2^{-1} &= e_G \\		\Rightarrow && g_1 \circ g_2^{-1} &= e_G \\
	\Leftrightarrow && g_1 &= g_2		\Leftrightarrow && g_1 &= g_2
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Baris 70:		Baris 73:
	Komutatif'' H '' diperlukan untuk membuktikan sekali lagi merupakan kehomomorfan kelompok.		Komutatif'' H '' diperlukan untuk membuktikan sekali lagi merupakan kehomomorfan kelompok.

	Penambahan kehomomorfan dengan komposisi kehomomorfan dalam pengertian berikut: maka '' f '' adalah , ''h'', ''k'' adalah elemen dari , dan '' g '' termasuk , maka		Penambahan kehomomorfan dengan komposisi kehomomorfan dalam pengertian berikut: maka '' f '' adalah , ''h'', ''k'' adalah elemen dari , dan '' g '' termasuk , maka
	:    dan    .		:    dan    .
	Karena komposisinya [[asosiatif]], ini menunjukkan bahwa himpunan End('' G '') dari semua keendomorfan dari grup abelian membentuk [[gelanggang (aljabar)\|gelanggang]], yang '' [[gelanggang keendomorfan]] '' dari '' G ''. Misalnya, cincin endomorfisma dari grup abelian yang terdiri dari [[Jumlah langsung grup\|jumlah langsung]] dari salinan '' m '' dari '''Z'''/''n'''''Z''' isomorfik terhadap gelanggang '' m ''-oleh-'' m '' [[matriks (matematika)\|matriks]] dengan entri dalam '''Z'''/''n'''''Z'''. Menunjukkan bahwa kategori semua grup abelian dengan kehomomorfan grup membentuk [[kategori preadditif]]; keberadaan jumlah langsung dan kernel menjadikan kategori ini contoh prototipe dari sebuah [[kategori abelian]].		Karena komposisinya [[asosiatif]], ini menunjukkan bahwa himpunan End('' G '') dari semua keendomorfan dari grup abelian membentuk [[gelanggang (aljabar)\|gelanggang]], yang '' [[gelanggang keendomorfan]] '' dari '' G ''. Misalnya, cincin endomorfisma dari grup abelian yang terdiri dari [[Jumlah langsung grup\|jumlah langsung]] dari salinan '' m '' dari '''Z'''/''n'''''Z''' isomorfik terhadap gelanggang '' m ''-oleh-'' m '' [[matriks (matematika)\|matriks]] dengan entri dalam '''Z'''/''n'''''Z'''. Menunjukkan bahwa kategori semua grup abelian dengan kehomomorfan grup membentuk [[kategori preadditif]]; keberadaan jumlah langsung dan kernel menjadikan kategori ini contoh prototipe dari sebuah [[kategori abelian]].

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	*[[Teorema dasar kehomomorfan]]		*[[Teorema dasar kehomomorfan]]
	*[[Gelanggang homomorfisme]]		*[[Gelanggang homomorfisme]]


	~~== Referensi ==~~
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kehomomorfan+grup&oldid=29299614 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29299614 (2026-05-31T22:55:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kehomomorfan+grup&oldid=29299614 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29299614 (2026~~-05-~~31T22:55:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29299614; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:24:08Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29299614; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], diberikan dua [[grup (matematika)|grup]], (''G'', ∗) dan (''H'', ·), sebuah '''kehomomorfan grup''' dari ('' G '', ∗) ke ('' H '', ·) adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] ''h'' : ''G'' → ''H'', '' u '' dan '' v '' dengan '' G '' dirumuskan
:<math> h(u*v) = h(u) \cdot h(v) </math>

dimana operasi grup di sisi kiri persamaan adalah '' G '' dan di sisi kanan '' H ''.

Dari sifat ini, bahwa '' h '' [[elemen identitas]] ''eG'' dari '' G '' ke elemen identitas ''eH'' dari '' H '',
:<math> h(e_G) = e_H</math>

dan invers ke invers dalam arti
:<math> h\left(u^{-1}\right) = h(u)^{-1}. \,</math>

Maka, dikatakan bahwa '' h '' "sesuai dengan struktur grup".

Notasi lama untuk [[homomorfisme|kehomomorfan]] ''h''(''x'') maka ''x''''h'' atau ''x''''h'', sebagai indeks atau subskrip umum. Dalam [[teori automata]], terkadang kehomomorfan ditulis dibagian kanan argumen tanpa tanda kurung, sehingga ''h''(''x'') menjadi '' x h ''.

Dalam bidang matematika di mana grup dengan struktur tambahan, ''kehomomorfan'' berarti peta struktur grup tetapi juga struktur ekstra. Misalnya, kehomomorfan [[grup topologi]] harus menggunakan kontinu.

== Intuisi ==
Tujuan dari definisi kehomomorfan grup adalah untuk menciptakan fungsi pada struktur aljabar. Definisi yang setara dari kehomomorfan grup adalah: Fungsi ''h'' : ''G'' → ''H'' adalah kehomomorfan grup

''a'' ∗ ''b'' = ''c'' dirumuskan ''h''(''a'') ⋅ ''h''(''b'') = ''h''(''c'').

Grup '' H '' dalam beberapa hal memiliki struktur aljabar dengan ''G'' dan kehomomorfan'' h ''.

== Jenis ==
;[[Monomorfisme]]: Kehomomorfan grup yaitu [[fungsi injeksi|injeksi]] (atau, satu-ke-satu); yaitu, perbedaan.
;[[Epimorfisme]]: Kehomomorfan grup yaitu [[fungsi surjektif|surjektif]] (atau, ke); yaitu mencapai setiap titik di kodomain.
;[[grup isomorfisme|Isomorfisme]]: Suatu kehomomorfan grup yaitu [[bijeksi|bijektif]]; yaitu, injeksi dan surjektif. Kebalikannya juga merupakan kehomomorfan grup. Dalam hal ini, grup '' G '' dan '' H '' disebut '' isomorfik ''; mereka hanya berbeda dalam notasi elemennya dan identik untuk semua tujuan praktis.
;[[Keendomorfan]]: Kehomomorfan, ''h'': ''G'' → ''G''; ranah dan kodomain adalah sama. Juga disebut keendomorfan dari '' G ''.
;[[Keautomorfan]]: Keendomorfan bersifat bijektiva, dan karenanya merupakan isomorfisme. Himpunan semua [[keautomorfan]] dari grup ''G'', dengan komposisi fungsional sebagai operasi, membentuk grup itu sendiri, ''grup keautomorfan '' dari'' G.'' Dilambangkan dengan Aut(''G''). Sebagai contoh, kelompok keautomorfan ('''Z''', +) hanya mengandung dua elemen, transformasi identitas dan perkalian dengan −1; itu isomorfik untuk '''Z'''/2'''Z'''.

== Galeri dan kernel ==

Mendefinisikan '' [[kernel (aljabar)|kernel]] dari h '' menjadi himpunan elemen pada '' G '' yang dipetakan ke identitas ke '' H ''
: <math> \operatorname{ker}(h) \equiv \left\{u \in G\colon h(u) = e_{H}\right\}.</math>

dan '' [[galeri (matematika)|galeri]] dari h '' dirumuskan
: <math> \operatorname{im}(h) \equiv h(G) \equiv \left\{h(u)\colon u \in G\right\}.</math>

Kernel dan Galeri kehomomorfan dapat diartikan sebagai mengukur dekat menjadi isomorfisme. [[teorema isomorfisme | teorema isomorfisme pertama]] menyatakan bahwa citra suatu kelompok kehomomorfan, ''h''(''G'') isomorfik ke grup hasil bagi ''G''/ker ''h''.

Kernel h adalah [[subgrup normal]] dari '' G '' dan galeri h adalah [[subgrup]] dari '' H '':
: <math>\begin{align}
h\left(g^{-1} \circ u \circ g\right) &= h(g)^{-1} \cdot h(u) \cdot h(g) \\
&= h(g)^{-1} \cdot e_H \cdot h(g) \\
&= h(g)^{-1} \cdot h(g) = e_H.
\end{align}</math>

Jika dan hanya jika }, kehomomorfan, '' h '', adalah [[#monomorfisme|'' grup monomorfisme '']]; yaitu, '' h '' adalah injektif (satu-ke-satu). Injeksi secara langsung memberikan bahwa ada elemen unik di kernel, dan elemen unik di kernel memberikan injeksi:
:<math>\begin{align}
&& h(g_1) &= h(g_2) \\
\Leftrightarrow && h(g_1) \cdot h(g_2)^{-1} &= e_H \\
\Leftrightarrow && h\left(g_1 \circ g_2^{-1}\right) &= e_H,\ \operatorname{ker}(h) = \{e_G\} \\
\Rightarrow && g_1 \circ g_2^{-1} &= e_G \\
\Leftrightarrow && g_1 &= g_2
\end{align}</math>

== Contoh ==
* Pertimbangkan [[grup siklik]] '''Z'''/3'''Z''' = {0, 1, 2} dan kelompok bilangan bulat '''Z''' dengan penambahan. Peta ''h'' : '''Z''' → '''Z'''/3'''Z''' dengan ''h''(''u'') = ''u'' [[modular aritmetika|mod]] 3 adalah kehomomorfan grup. Ini [[surjektif]] dan kernelnya terdiri dari semua bilangan bulat yang habis dibagi 3.

* [[Fungsi eksponensial|Peta eksponensial]] menghasilkan kehomomorfan grup dari grup [[bilangan riil]] '''R''' dengan penambahan ke grup bilangan real bukan-nol '''R'''* dengan perkalian. Kernel adalah {0} dan gambar terdiri dari bilangan riil positif.
* Peta eksponensial juga menghasilkan kehomomorfan grup dari grup [[bilangan kompleks]] '''C''' dengan tambahan grup bilangan kompleks bukan nol '''C'''* dengan perkalian. Peta bersifat surjektif dan memiliki kernel {2π''ki'' : ''k'' ∈ '''Z'''}, seperti yang bisa dilihat dari [[Rumus Euler]]. Field seperti '''R''' dan '''C''' yang memiliki kehomomorfan dari grup aditif ke grup perkaliannya disebut [[bidang eksponensial]].

== Kategori grup ==
Jika dan adalah kehomomorfan grup, maka . Hal ini menunjukkan bahwa kelas dari semua grup, bersama dengan kehomomorfan grup sebagai morfisme, membentuk suatu [[teori kategori|kategori]].

== Kehomomorfan grup abelian ==
Jika '' G '' dan '' H '' adalah [[grup abelian|abelian]] (yaitu, Komutatif) grup, maka himpunan dari semua kehomomorfan grup dari '' G '' hingga '' H '' adalah grup abelian itu sendiri: jumlah dari dua kehomomorfan didefinisikan oleh
:(''h'' + ''k'')(''u'') = ''h''(''u'') + ''k''(''u'')    pada '' u '' ke '' G ''.
Komutatif'' H '' diperlukan untuk membuktikan sekali lagi merupakan kehomomorfan kelompok.

Penambahan kehomomorfan dengan komposisi kehomomorfan dalam pengertian berikut: maka '' f '' adalah , ''h'', ''k'' adalah elemen dari , dan '' g '' termasuk , maka
:    dan    .
Karena komposisinya [[asosiatif]], ini menunjukkan bahwa himpunan End('' G '') dari semua keendomorfan dari grup abelian membentuk [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]], yang '' [[gelanggang keendomorfan]] '' dari '' G ''. Misalnya, cincin endomorfisma dari grup abelian yang terdiri dari [[Jumlah langsung grup|jumlah langsung]] dari salinan '' m '' dari '''Z'''/''n'''''Z''' isomorfik terhadap gelanggang '' m ''-oleh-'' m '' [[matriks (matematika)|matriks]] dengan entri dalam '''Z'''/''n'''''Z'''. Menunjukkan bahwa kategori semua grup abelian dengan kehomomorfan grup membentuk [[kategori preadditif]]; keberadaan jumlah langsung dan kernel menjadikan kategori ini contoh prototipe dari sebuah [[kategori abelian]].

== Lihat pula ==

*[[Teorema dasar kehomomorfan]]
*[[Gelanggang homomorfisme]]

== Referensi ==
*
*

== Pranala luar ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kehomomorfan+grup&oldid=29299614 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29299614 (2026-05-31T22:55:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.