Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:06:13Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.06
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Cyclic_group.svg\|thumb\|right\|280px\|Cyclic group]]

	'''Kelas grup''' adalah teoretis himpunan [[Grup (matematika)\|grup]] yang menggunakan sifat jika ''G'' dalam koleksi maka grup isomorfik ke ''G'' juga dalam koleksi. Konsep dari grup yang menggunakan sifat khusus tertentu (misalnya keterbatasan atau komutatifitas). Karena [[teori himpunan]] tidak menggunakan "grup himpunan", maka dengan konsep yang lebih umum dari ''[[Kelas (teori himpunan)\|kelas]]''.		'''Kelas grup''' adalah teoretis himpunan [[Grup (matematika)\|grup]] yang menggunakan sifat jika ''G'' dalam koleksi maka grup isomorfik ke ''G'' juga dalam koleksi. Konsep dari grup yang menggunakan sifat khusus tertentu (misalnya keterbatasan atau komutatifitas). Karena [[teori himpunan]] tidak menggunakan "grup himpunan", maka dengan konsep yang lebih umum dari ''[[Kelas (teori himpunan)\|kelas]]''.

Baris 50:		Baris 52:
	* [[Pembentukan (teori grup)\|Pembentukan]]		* [[Pembentukan (teori grup)\|Pembentukan]]

	== ~~Referensi~~ ==		== Sumber dan atribusi ==

	*
	*


			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kelas+grup&oldid=28378526 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28378526 (2025-11-08T00:39:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kelas+grup&oldid=28378526 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28378526 (2025~~-11-~~08T00:39:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28378526; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:35:23Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28378526; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Kelas grup''' adalah teoretis himpunan [[Grup (matematika)|grup]] yang menggunakan sifat jika ''G'' dalam koleksi maka grup isomorfik ke ''G'' juga dalam koleksi. Konsep dari grup yang menggunakan sifat khusus tertentu (misalnya keterbatasan atau komutatifitas). Karena [[teori himpunan]] tidak menggunakan "grup himpunan", maka dengan konsep yang lebih umum dari ''[[Kelas (teori himpunan)|kelas]]''.

== Definisi ==
'''Kelas grup''' <math>\mathfrak{X}~</math> adalah kumpulan grup sehingga jika <math>G\in\mathfrak{X}~</math> dan <math>G\cong H~</math> maka <math>H\in\mathfrak{X}~</math>. Grup di kelas <math>\mathfrak{X}~</math> disebut sebagai '''grup'''-<math>\mathfrak{X}</math>.

Untuk himpunan grup <math>\mathfrak{I}~</math>, dilambangkan dengan <math>(\mathfrak{I})</math> kelas terkecil dari grup <math>\mathfrak{I}</math>. Khususnya untuk grup <math> G </math>, <math> (G) </math> menunjukkan kelas isomorfismenya.

== Contoh ==
Contoh paling umum dari kelas grup adalah:
* <math>\emptyset</math>: kelas grup kosong
* <math>\mathfrak{C}</math>: kelas [[grup siklik]].
* <math>\mathfrak{A}~</math>: kelas [[grup Abelian]].
* <math>\mathfrak{U}~</math>: kelas terbatas [[grup solvabel]]
* <math>\mathfrak{N}~</math>: kelas dari [[grup nilpoten]]
* <math>\mathfrak{S}~</math>: kelas dari hingga [[grup divisibel]]
* <math>\mathfrak{I}~</math>: kelas terbatas [[grup sederhana]]
* <math>\mathfrak{E}~</math>: kelas [[grup hingga]]
* <math> \mathfrak{G}~</math>: kelas berkas dari grup

== Produk kelas grup ==
Dua kelas grup <math>\mathfrak{X}~</math> dan <math>\mathfrak{Y}~</math> didefinisikan sebagai '''produk kelas'''

<math>\mathfrak{X}\mathfrak{Y}~=(G|G \text{ sebagai subgrup normal } N\in\mathfrak{X} \text{ dengan } G/N\in\mathfrak{Y})</math>

Konstruksi ini memungkinkan untuk secara rekursif mendefinisikan '''pangkat kelas''' dengan

<math>\mathfrak{X}^0=(1)</math> dan <math>\mathfrak{X}^n=\mathfrak{X}^{n-1}\mathfrak{X}</math>

Harus dicatat bahwa [[operasi biner]] pada kelas kelas grup bukan [[asosiatif]] atau [[komutatif]]. Misalnya, pertimbangkan [[grup alternatif]] dari derajat 4 (dan urutan 12); grup ini milik kelas <math>(\mathfrak{C}\mathfrak{C})\mathfrak{C}</math> karena memiliki sebagai subgrup <math>V_4</math> dengan <math>\mathfrak{C}\mathfrak{C}</math> dan selanjutnya <math>A_4/V_4\cong C_3</math> adalah <math>\mathfrak{C}</math>. Namun <math> A_4 </math> tidak memiliki subgrup siklik normal non-trivial, jadi <math>A_4\not\in\mathfrak{C}(\mathfrak{C}\mathfrak{C})</math>. Maka <math>\mathfrak{C}(\mathfrak{C}\mathfrak{C})\not=(\mathfrak{C}\mathfrak{C})\mathfrak{C}</math>.

Namun dari definisi untuk tiga kelas grup <math>\mathfrak{X}</math>, <math>\mathfrak{Y}</math>, dan <math>\mathfrak{Z}</math>,

<math>\mathfrak{X}(\mathfrak{Y}\mathfrak{Z})\subseteq(\mathfrak{X}\mathfrak{Y})\mathfrak{Z}</math>

== Peta kelas dan operasi penutupan ==
'''Peta kelas''' '''c''' adalah peta kelas grup <math>\mathfrak{X}</math> ke kelas grup <math>c\mathfrak{X}</math>. Peta kelas dikatakan sebagai operasi penutupan jika sifat berikutnya:
# '''c''' adalah ekspansif: <math>\mathfrak{X}\subseteq c\mathfrak{X}</math>
# '''c''' adalah [[idempoten]]: <math>c\mathfrak{X}=c(c\mathfrak{X})</math>
# '''c''' adalah monotonik: jika <math>\mathfrak{X}\subseteq\mathfrak{Y}</math> maka <math>c\mathfrak{X}\subseteq c\mathfrak{Y}</math>

Beberapa contoh operasi penutupan yang paling umum adalah:

* <math>S\mathfrak{X}=(G|G\leq H, \ H\in\mathfrak{X})</math>
* <math>Q\mathfrak{X}=(G|\text{maka }H\in\mathfrak{X} \text{ dan epimorfisme dari }H \text{ ke }G)</math>
* <math>N_0\mathfrak{X}=(G| \text{ maka }K_i\ (i=1,\cdots,r)\text{ subnormal di }G\text{ dengan }K_i\in\mathfrak{X}\text{ dan }G=\langle K_1,\cdots,K_r\rangle)</math>
* <math>R_0\mathfrak{X}=(G| \text{ maka }N_i\ (i=1,\cdots,r)\text{ normal di }G\text{ dengan }G/N_i\in\mathfrak{X}\text{ dan }\bigcap\limits_{i=1}^rNi=1)</math>
* <math>S_n\mathfrak{X}=(G|G\text{ adalah subnormal di }H\text{ untuk beberapa }H\in\mathfrak{X})</math>

== Lihat pula ==
* [[Pembentukan (teori grup)|Pembentukan]]

== Referensi ==

*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kelas+grup&oldid=28378526 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28378526 (2025-11-08T00:39:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Kelas grup - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28378526; atribusi sumber disertakan.