Keragaman topologi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:01:16Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.01
Baris 4:		Baris 4:

	== Definisi formal ==		== Definisi formal ==
	Sebuah [[ruang topologi]] ''X'' disebut '''Euklidean lokal''' jika terdapat sebuah bilangan cacah tak negatif ''n'' sedemikian sehingga setiap titik di ''X'' memiliki [[ketetanggaan]] yang [[Homeomorfisme\|homeomorfik]] dengan [[Ruang Euklides\|ruang Euklidean]] '''E'''<sup>''n''</sup> (atau ruang '''R'''<sup>''n''</sup>, atau [[himpunan terbuka]] [[Keterhubungan\|terhubung]] dari salah satu dari keduanya).		Sebuah [[ruang topologi]] ''X'' disebut '''Euklidean lokal''' jika terdapat sebuah bilangan cacah tak negatif ''n'' sedemikian sehingga setiap titik di ''X'' memiliki [[ketetanggaan]] yang [[Homeomorfisme\|homeomorfik]] dengan [[Ruang Euklides\|ruang Euklidean]] '''E'''<sup>''n''</sup> (atau ruang '''R'''<sup>''n''</sup>, atau [[himpunan terbuka]] [[Keterhubungan\|terhubung]] dari salah satu dari keduanya).<ref>The [//en.wikipedia.org/wiki/Topology_(structure) topology] of '''E''' ''n'' is identical to the [//en.wikipedia.org/wiki/Standard_topology standard topology] of '''R''' ''n'' , so these two spaces are not distinguished in topology. Also, any non-empty [//en.wikipedia.org/wiki/Open_subset open subset] of '''E''' ''n'' contains an Euclidean [//en.wikipedia.org/wiki/Open_ball open ball], which is homeomorphic to the entire space.</ref>

	Sebuah '''keragaman topologi''' adalah sebuah [[ruang Hausdorff]] yang secara lokal adalah Euklidean. Umumnya banyak penulis menambahkan persyaratan tambahan pada keragaman topologi. Lebih spesifiknya, banyak penulis menambahkan persyaratan [[parakompak]] atau [[terhitung kedua]].		Sebuah '''keragaman topologi''' adalah sebuah [[ruang Hausdorff]] yang secara lokal adalah Euklidean. Umumnya banyak penulis menambahkan persyaratan tambahan pada keragaman topologi. Lebih spesifiknya, banyak penulis menambahkan persyaratan [[parakompak]] atau [[terhitung kedua]].
Baris 11:		Baris 11:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	=== Keragaman-n ===		=== Keragaman-n ===

	* Ruang '''R'''<sup>''n''</sup> adalah prototipe keragaman''-n''.		* Ruang '''R'''<sup>''n''</sup> adalah prototipe keragaman''-n''.
	* Setiap [[Discrete space\|ruang diskrit]] adalah sebuah keragaman berdimensi-0.		* Setiap [[Discrete space\|ruang diskrit]] adalah sebuah keragaman berdimensi-0.
Baris 22:		Baris 20:

	=== Keragaman proyektif ===		=== Keragaman proyektif ===

	* [[Ruang proyektif]] atas bilangan [[Bilangan real\|riil]], [[Bilangan kompleks\|kompleks]], atau [[Kuaternion\|quaternion]] adalah keragaman-keragaman yang kompak.		* [[Ruang proyektif]] atas bilangan [[Bilangan real\|riil]], [[Bilangan kompleks\|kompleks]], atau [[Kuaternion\|quaternion]] adalah keragaman-keragaman yang kompak.
	** Ruang proyektif riil '''RP'''<sup>''n''</sup> adalah sebuah keragaman berdimensi-''n''.		** Ruang proyektif riil '''RP'''<sup>''n''</sup> adalah sebuah keragaman berdimensi-''n''.
Baris 30:		Baris 27:

	=== Keragaman-keragaman lain ===		=== Keragaman-keragaman lain ===

	* [[Ruang lensa]] adalah sebuah kelas keragaman yang merupakan [[Quotient space (topology)\|ruang bagi]] (''quotient space'') dari bola berdimensi ganjil.		* [[Ruang lensa]] adalah sebuah kelas keragaman yang merupakan [[Quotient space (topology)\|ruang bagi]] (''quotient space'') dari bola berdimensi ganjil.
	* [[Grup Lie]] adalah keragaman yang dilengkapi dengan sebuah struktur grup.		* [[Grup Lie]] adalah keragaman yang dilengkapi dengan sebuah struktur grup.
Baris 36:		Baris 32:

	=== Konstruksi ===		=== Konstruksi ===

	* Jika ''M'' adalah keragaman''-m'' dan ''N'' adalah keragaman-''n'', [[perkalian langsung]] ''M'' × ''N'' adalah keragaman-(''m''+''n'').		* Jika ''M'' adalah keragaman''-m'' dan ''N'' adalah keragaman-''n'', [[perkalian langsung]] ''M'' × ''N'' adalah keragaman-(''m''+''n'').
	* [[Gabungan lepas]] dari sebuah keluarga keragaman-''n'' adalah sebuah keragaman-''n'' (setiap potong harus memiliki dimensi yang sama).		* [[Gabungan lepas]] dari sebuah keluarga keragaman-''n'' adalah sebuah keragaman-''n'' (setiap potong harus memiliki dimensi yang sama).
Baris 46:		Baris 41:
	Keragaman mewarisi banyak sifat dari ruang Euklidean. Spesifiknya, mereka adalah [[kompak secara lokal]], [[terhubung secara lokal]], [[terhitung pertama]], [[dapat disusutkan secara lokal]], dan [[dapat dimetrisasi secara lokal]]. Karena merupakan sebuah ruang Hausdorff yang kompak secara lokal, keragaman merupakan [[ruang Tychonoff]].		Keragaman mewarisi banyak sifat dari ruang Euklidean. Spesifiknya, mereka adalah [[kompak secara lokal]], [[terhubung secara lokal]], [[terhitung pertama]], [[dapat disusutkan secara lokal]], dan [[dapat dimetrisasi secara lokal]]. Karena merupakan sebuah ruang Hausdorff yang kompak secara lokal, keragaman merupakan [[ruang Tychonoff]].

	Menambahkan persyaratan Hausdorff dapat membuat beberapa sifat adalah setara untuk sebuah keragaman. Misalnya,kita bisa menunjukkan untuk sebuah keragaman Hausdorff, gagasan [[kekompakan-σ]] dan [[terhitung kedua]] adalah setara. Keragaman Hausdorff adalah ruang Hausdorff yang kompak lokal, sehingga ia (sepenuhnya) [[Ruang reguler\|reguler]]. Misalkan ruang ''X'' adalah kompak-σ. Maka ia adalah [[Lindelöf]] dan karena Lindelöf + reguler mengimplikasikan sifat parakompak, ''X'' adalah dapat dimetrisasi (metrisable). Tapi untuk sebuah ruang yang metrisable, terhitung-kedua bertepatan dengan sifat Lindelöf, jadi ''X'' adalah terhitung kedua. Sebaliknya, jika X adalah keragaman terhitung-kedua Hausdorff, maka ia pasti kompak-σ.		Menambahkan persyaratan Hausdorff dapat membuat beberapa sifat adalah setara untuk sebuah keragaman. Misalnya,kita bisa menunjukkan untuk sebuah keragaman Hausdorff, gagasan [[kekompakan-σ]] dan [[terhitung kedua]] adalah setara. Keragaman Hausdorff adalah ruang Hausdorff yang kompak lokal, sehingga ia (sepenuhnya) [[Ruang reguler\|reguler]].<ref>Topospaces subwiki, [http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_compact_Hausdorff_implies_completely_regular Locally compact Hausdorff implies completely regular]</ref> Misalkan ruang ''X'' adalah kompak-σ. Maka ia adalah [[Lindelöf]] dan karena Lindelöf + reguler mengimplikasikan sifat parakompak, ''X'' adalah dapat dimetrisasi (metrisable). Tapi untuk sebuah ruang yang metrisable, terhitung-kedua bertepatan dengan sifat Lindelöf, jadi ''X'' adalah terhitung kedua. Sebaliknya, jika X adalah keragaman terhitung-kedua Hausdorff, maka ia pasti kompak-σ.<ref>Stack Exchange, [http://math.stackexchange.com/questions/57348/hausdorff-locally-compact-and-second-countable-is-sigma-compact Hausdorff locally compact and second countable is sigma-compact]</ref>

	Sebuah keragaman tidak perlu untuk terhubung, tapi setiap keragaman ''M'' adalah [[gabungan lepas]] dari beberapa keragaman terhubung. Keragaman-keragaman ini hanyalah [[komponen terhubung]] dari ''M'', yang di mana hanyalah merupakan [[himpunan terbuka]] karena keragaman adalah terhubung secara lokal. Karena ia terhubung secara lokal, sebuah keragaman merupakan terhubung lintas [[jika dan hanya jika]] ia terhubung secara topologi. Dari sini dapat diketahui bahwa komponen terhubung lintas adalah sama dengan komponen terhubung.		Sebuah keragaman tidak perlu untuk terhubung, tapi setiap keragaman ''M'' adalah [[gabungan lepas]] dari beberapa keragaman terhubung. Keragaman-keragaman ini hanyalah [[komponen terhubung]] dari ''M'', yang di mana hanyalah merupakan [[himpunan terbuka]] karena keragaman adalah terhubung secara lokal. Karena ia terhubung secara lokal, sebuah keragaman merupakan terhubung lintas [[jika dan hanya jika]] ia terhubung secara topologi. Dari sini dapat diketahui bahwa komponen terhubung lintas adalah sama dengan komponen terhubung.
Baris 70:		Baris 65:
	Sebuah keragaman berdimensi-1 sering disebut [[kurva]] sedangkan sebuah keragaman berdimensi-2 sering disebut sebagai [[permukaan]]. Keragaman dengan dimensi yang lebih tinggi biasanya cukup disebut dengan keragaman-''n''.		Sebuah keragaman berdimensi-1 sering disebut [[kurva]] sedangkan sebuah keragaman berdimensi-2 sering disebut sebagai [[permukaan]]. Keragaman dengan dimensi yang lebih tinggi biasanya cukup disebut dengan keragaman-''n''.

	== ~~Catatan kaki~~ ==		== Referensi ==
			<references />


	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keragaman+topologi&oldid=28427475 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28427475 (2025-11-12T10:34:21Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keragaman+topologi&oldid=28427475 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28427475 (2025-11-12T10:34:21Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28427475; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:24:11Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28427475; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[topologi]], sebuah cabang [[matematika]], sebuah '''keragaman topologi '''atau '''manifold topologi''' atau '''lipatan topologi''' adalah sebuah ruang topologi yang secara lokal mirip dengan ruang riil berdimensi ''n''. Keragaman topologi menyusun sebuah kelas penting dari ruang topologi dengan aplikasi di seluruh bidang matematika.

Sebuah ''keragaman'' dapat berarti keragaman topologi, atau lebih seringnya, sebuah keragaman topologi dengan struktur tambahan. Misalnya, [[keragaman diferensiabel]] adalah keragaman topologi yang dilengkapi dengan struktur diferensial. Setiap keragaman memiliki keragaman topologi yang mendasarinya, yang bisa didapatkan cukup dengan melupakan struktur tambahan padanya.

== Definisi formal ==
Sebuah [[ruang topologi]] ''X'' disebut '''Euklidean lokal''' jika terdapat sebuah bilangan cacah tak negatif ''n'' sedemikian sehingga setiap titik di ''X'' memiliki [[ketetanggaan]] yang [[Homeomorfisme|homeomorfik]] dengan [[Ruang Euklides|ruang Euklidean]] '''E'''''n'' (atau ruang '''R'''''n'', atau [[himpunan terbuka]] [[Keterhubungan|terhubung]] dari salah satu dari keduanya).

Sebuah '''keragaman topologi''' adalah sebuah [[ruang Hausdorff]] yang secara lokal adalah Euklidean. Umumnya banyak penulis menambahkan persyaratan tambahan pada keragaman topologi. Lebih spesifiknya, banyak penulis menambahkan persyaratan [[parakompak]] atau [[terhitung kedua]].

Selanjutnya, ''keragaman ''berarti sebuah keragaman topologi. Sebuah ''keragaman-n ''berarti sebuah keragaman topologi sedemikian sehingga setiap titik memiliki ketetanggaan yang homeomorfik dengan R^n.

== Contoh ==

=== Keragaman-n ===

* Ruang '''R'''''n'' adalah prototipe keragaman''-n''.
* Setiap [[Discrete space|ruang diskrit]] adalah sebuah keragaman berdimensi-0.
* [[Lingkaran]] adalah sebuah keragaman-1 yang kompak.
* [[Torus]] dan [[botol Klein]] adalah keragaman-2 yang kompak (atau [[permukaan]]).
* Setiap kulit bola berdimensi-n S^n adalah sebuah keragaman-''n'' yang kompak.
* The [[Torus|''n''-dimensi torus]] '''T'''''n'' (produk ''n'' lingkaran) adalah kompak ''n''-manifold.

=== Keragaman proyektif ===

* [[Ruang proyektif]] atas bilangan [[Bilangan real|riil]], [[Bilangan kompleks|kompleks]], atau [[Kuaternion|quaternion]] adalah keragaman-keragaman yang kompak.
** Ruang proyektif riil '''RP'''''n'' adalah sebuah keragaman berdimensi-''n''.
** Ruang proyektif kompleks '''CP'''''n'' adalah sebuah keragaman berdimensi-''2n''.
** Ruang proyektif quaternion '''HP'''''n'' adalah sebuah keragaman berdimensi-''4n''.
* Keragaman yang terkait dengan ruang proyektif misalnya [[Grassmanian]], [[keragaman bendera]], dan [[keragaman Stiefel]].

=== Keragaman-keragaman lain ===

* [[Ruang lensa]] adalah sebuah kelas keragaman yang merupakan [[Quotient space (topology)|ruang bagi]] (''quotient space'') dari bola berdimensi ganjil.
* [[Grup Lie]] adalah keragaman yang dilengkapi dengan sebuah struktur grup.
* Setiap himpunan terbuka dari sebuah keragaman-''n'' adalah sebuah keragaman-''n'' dengan [[topologi subruang]].

=== Konstruksi ===

* Jika ''M'' adalah keragaman''-m'' dan ''N'' adalah keragaman-''n'', [[perkalian langsung]] ''M'' × ''N'' adalah keragaman-(''m''+''n'').
* [[Gabungan lepas]] dari sebuah keluarga keragaman-''n'' adalah sebuah keragaman-''n'' (setiap potong harus memiliki dimensi yang sama).
* [[Penjumlahan terhubung]] (''connected sum'') dari dua keragaman-''n'' menghasilkan sebuah keragaman-''n'' juga.

== Sifat-sifat ==
Sifatnya yaitu Euklidean secara lokal terjaga oleh [[homeomorfisme lokal]]. Artinya, jika ''X'' adalah Euklidean lokal berdimensi ''n'' dan ''f'' : ''Y'' → ''X'' adalah homeomorfisme lokal, maka ''Y'' juga Euklidean lokal berdimensi-''n''. Lebih eksplisitnya, sifat Euklidean lokal merupakan [[sifat topologi]].

Keragaman mewarisi banyak sifat dari ruang Euklidean. Spesifiknya, mereka adalah [[kompak secara lokal]], [[terhubung secara lokal]], [[terhitung pertama]], [[dapat disusutkan secara lokal]], dan [[dapat dimetrisasi secara lokal]]. Karena merupakan sebuah ruang Hausdorff yang kompak secara lokal, keragaman merupakan [[ruang Tychonoff]].

Menambahkan persyaratan Hausdorff dapat membuat beberapa sifat adalah setara untuk sebuah keragaman. Misalnya,kita bisa menunjukkan untuk sebuah keragaman Hausdorff, gagasan [[kekompakan-σ]] dan [[terhitung kedua]] adalah setara. Keragaman Hausdorff adalah ruang Hausdorff yang kompak lokal, sehingga ia (sepenuhnya) [[Ruang reguler|reguler]]. Misalkan ruang ''X'' adalah kompak-σ. Maka ia adalah [[Lindelöf]] dan karena Lindelöf + reguler mengimplikasikan sifat parakompak, ''X'' adalah dapat dimetrisasi (metrisable). Tapi untuk sebuah ruang yang metrisable, terhitung-kedua bertepatan dengan sifat Lindelöf, jadi ''X'' adalah terhitung kedua. Sebaliknya, jika X adalah keragaman terhitung-kedua Hausdorff, maka ia pasti kompak-σ.

Sebuah keragaman tidak perlu untuk terhubung, tapi setiap keragaman ''M'' adalah [[gabungan lepas]] dari beberapa keragaman terhubung. Keragaman-keragaman ini hanyalah [[komponen terhubung]] dari ''M'', yang di mana hanyalah merupakan [[himpunan terbuka]] karena keragaman adalah terhubung secara lokal. Karena ia terhubung secara lokal, sebuah keragaman merupakan terhubung lintas [[jika dan hanya jika]] ia terhubung secara topologi. Dari sini dapat diketahui bahwa komponen terhubung lintas adalah sama dengan komponen terhubung.

=== Aksioma Hausdorff ===
Sifat Hausdorff bukanlah sesuatu yang lokal; jadi meskipun ruang Euklidean adalah Hausdorff, sebuah ruang yang secara lokal mirip Euklidean tidak harus Hausdorff. Meski demikian, setiap ruang yang secara lokal Euklidean adalah terhitung pertama (T1).

Sebuah contoh ruang yang secara lokal Euklidean tapi tak Hausdorff adalah [[garis dengan dua pangkal]]. Ruang ini dibentuk dengan mengganti pangkal dari garis riil dengan ''dua ''titik, dengan ketetanggaan terbuka yang mengandung seluruh bilangan tak nol dalam sebuah interval terbuka yang berpusat di nol. Ruang ini bukanlah Hausdorff karena dua pangkalnya tidak bisa dipisahkan.

=== Aksioma keterhitungan dan kekompakan ===
Sebuah keragaman dapat [[dimetrisasi]] (metrisabel)[[Dimetrisasi|<nowiki/>]] jika dan hanya jika ia merupakan [[parakompak]]. Karena metrisabilitas merupakan sifat yang penting bagi sebuah ruang topologi, adalah hal yang umum untuk menambahkan sifat parakompak dalam definisi keragaman. Bagaimanapun juga, keragaman yang tidak parakompak umumnya dianggap sebagai [[patologis]]. Sebuah contoh dari keragaman yang tak parakompak diberikan oleh [[garis panjang]]. Keragaman yang parakompak biasanya memiliki sifat topologi seperti [[ruang metrik]]. Lebih tepatnya, mereka adalah terhitung ke-6 (T6).

Keragaman juga sering kali diharuskan untuk [[Terhitung kedua|terhitung-kedua]]. Syarat ini diperlukan supaya keragaman dapat disisipkan dalam ruang Euklidean dimensi berhingga. Untuk sembarang keragaman, sifat terhitung-kedua, Lindelof, dan kompak-σ adalah setara.

Setiap keragaman terhitung-kedua merupakan parakompak, tetapi tidak sebaliknya. Meski demikian, kebalikannya hampir benar: sebuah keragaman parakompak merupakan terhitung kedua jika dan hanya jika ia memiliki jumlah [[komponen terhubung]] yang [[terhitung]]. Khususnya, sebuah keragaman terhubung adalah parakompak jika dan hanya jika ia merupakan terhitung-kedua. Setiap keragaman terhitung-kedua adalah [[dapat dipisahkan]] (separabel) dan [[parakompak]]. Lebih jauh lagi, jika sebuah keragaman adalah dapat dipisahkan dan parakompak maka ia juga terhitung-kedua.

Setiap keragaman yang kompak merupakan terhitung-kedua dan parakompak.

=== Dimensi ===
Melalui [[ketetapan domain]], sebuah keragaman-''n'' tidak bisa juga berupa keragaman-''m'' untuk ''n'' ≠ ''m''. The dimension of a non-empty ''n''-manifold is ''n''.
Being an ''n''-manifold is a topological property, meaning that any topological space homeomorphic to an ''n''-manifold is also an ''n''-manifold.

Sebuah keragaman berdimensi-1 sering disebut [[kurva]] sedangkan sebuah keragaman berdimensi-2 sering disebut sebagai [[permukaan]]. Keragaman dengan dimensi yang lebih tinggi biasanya cukup disebut dengan keragaman-''n''.

== Catatan kaki ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keragaman+topologi&oldid=28427475 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28427475 (2025-11-12T10:34:21Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.