Kernel (aljabar) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:04:56Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.04
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[aljabar]], '''kernel''' dari [[homomorfisme]] (fungsi yang mempertahankan [[struktur aljabar\|struktur]]) umumnya [[gambar invers]] dari 0 (kecuali untuk [[grup (matematika)\|grup]] yang operasinya dilambangkan dengan multi, dimana kernel adalah kebalikan dari gambar 1). Kasus khusus yang penting adalah [[kernel (aljabar linear)\|kernel dari peta linear]]. [[Kernel (matriks)\|kernel dari matriks]], juga disebut ''ruang nol'', adalah kernel dari peta linear yang ditentukan oleh matriks.		Dalam [[aljabar]], '''kernel''' dari [[homomorfisme]] (fungsi yang mempertahankan [[struktur aljabar\|struktur]]) umumnya [[gambar invers]] dari 0 (kecuali untuk [[grup (matematika)\|grup]] yang operasinya dilambangkan dengan multi, dimana kernel adalah kebalikan dari gambar 1). Kasus khusus yang penting adalah [[kernel (aljabar linear)\|kernel dari peta linear]]. [[Kernel (matriks)\|kernel dari matriks]], juga disebut ''ruang nol'', adalah kernel dari peta linear yang ditentukan oleh matriks.

	Kernel homomorfisme direduksi menjadi 0 (atau 1) [[jika dan hanya jika]] homomorfisme tersebut adalah [[fungsi injeksi\|injeksi]], Artinya jika gambar invers dari setiap elemen terdiri dari satu elemen. Ini berarti bahwa kernel dapat dilihat sebagai ukuran sejauh mana homomorfisme gagal untuk diinjeksi.		Kernel homomorfisme direduksi menjadi 0 (atau 1) [[jika dan hanya jika]] homomorfisme tersebut adalah [[fungsi injeksi\|injeksi]], Artinya jika gambar invers dari setiap elemen terdiri dari satu elemen. Ini berarti bahwa kernel dapat dilihat sebagai ukuran sejauh mana homomorfisme gagal untuk diinjeksi.<ref>See and .</ref>

	Untuk beberapa jenis struktur, seperti [[grup abelian]] dan [[ruang vektor]], kemungkinan kernel adalah substruktur dari jenis yang sama. Ini tidak selalu terjadi, dan terkadang, kemungkinan kernel telah menerima nama khusus, seperti [[subgrup normal]] untuk kelompok dan [[ideal dua sisi]] untuk [[cincin (matematika)\|cincin]].		Untuk beberapa jenis struktur, seperti [[grup abelian]] dan [[ruang vektor]], kemungkinan kernel adalah substruktur dari jenis yang sama. Ini tidak selalu terjadi, dan terkadang, kemungkinan kernel telah menerima nama khusus, seperti [[subgrup normal]] untuk kelompok dan [[ideal dua sisi]] untuk [[cincin (matematika)\|cincin]].
Baris 12:		Baris 12:

	== Linear maps ==		== Linear maps ==


	Misalkan ''V'' dan ''W'' menjadi [[ruang vektor]] di atas [[Bidang (matematika)\|bidang]] (atau lebih umum, [[modul (matematika)\|modul]] di atas [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] dan biarkan ''T'' menjadi [[peta liear]] dari ''V'' ke ''W''. Jika '''0'''<sub>''W''</sub> adalah [[vektor nol]] dari '' W '', maka kernel '' T '' adalah [[preimage]] dari [[ruang nol\|nol subruang]] {'''0'''<sub>''W''</sub>}; that adalah, [[himpunan bagian]] dari '' V '' yang terdiri dari semua elemen '' V '' yang dipetakan oleh '' T '' ke elemen '''0'''<sub>''W''</sub>. Kernel biasanya dilambangkan sebagai , atau variasinya:		Misalkan ''V'' dan ''W'' menjadi [[ruang vektor]] di atas [[Bidang (matematika)\|bidang]] (atau lebih umum, [[modul (matematika)\|modul]] di atas [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] dan biarkan ''T'' menjadi [[peta liear]] dari ''V'' ke ''W''. Jika '''0'''<sub>''W''</sub> adalah [[vektor nol]] dari '' W '', maka kernel '' T '' adalah [[preimage]] dari [[ruang nol\|nol subruang]] {'''0'''<sub>''W''</sub>}; that adalah, [[himpunan bagian]] dari '' V '' yang terdiri dari semua elemen '' V '' yang dipetakan oleh '' T '' ke elemen '''0'''<sub>''W''</sub>. Kernel biasanya dilambangkan sebagai , atau variasinya:

Baris 51:		Baris 49:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Kernel (aljabar linear)]]		* [[Kernel (aljabar linear)]]
	* [[Himpunan nol]]		* [[Himpunan nol]]

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />
	*

	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kernel+%28aljabar%29&oldid=29223873 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29223873 (2026-05-13T12:09:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kernel+%28aljabar%29&oldid=29223873 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29223873 (2026-05-13T12:09:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29223873; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:37:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29223873; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar]], '''kernel''' dari [[homomorfisme]] (fungsi yang mempertahankan [[struktur aljabar|struktur]]) umumnya [[gambar invers]] dari 0 (kecuali untuk [[grup (matematika)|grup]] yang operasinya dilambangkan dengan multi, dimana kernel adalah kebalikan dari gambar 1). Kasus khusus yang penting adalah [[kernel (aljabar linear)|kernel dari peta linear]]. [[Kernel (matriks)|kernel dari matriks]], juga disebut ''ruang nol'', adalah kernel dari peta linear yang ditentukan oleh matriks.

Kernel homomorfisme direduksi menjadi 0 (atau 1) [[jika dan hanya jika]] homomorfisme tersebut adalah [[fungsi injeksi|injeksi]], Artinya jika gambar invers dari setiap elemen terdiri dari satu elemen. Ini berarti bahwa kernel dapat dilihat sebagai ukuran sejauh mana homomorfisme gagal untuk diinjeksi.

Untuk beberapa jenis struktur, seperti [[grup abelian]] dan [[ruang vektor]], kemungkinan kernel adalah substruktur dari jenis yang sama. Ini tidak selalu terjadi, dan terkadang, kemungkinan kernel telah menerima nama khusus, seperti [[subgrup normal]] untuk kelompok dan [[ideal dua sisi]] untuk [[cincin (matematika)|cincin]].

Kernel memungkinkan untuk menentukan [[objek hasil bagi]] (juga disebut [[hasil bagi (aljabar universal)|aljabar hasil bagi]] di [[aljabar universal]], dan [[kokernel]] di [[teori kategori]]). Untuk banyak jenis struktur aljabar, [[teorema fundamental homomorfisme]] (atau [[teorema isomorfisme pertama]]) menyatakan bahwa [[galeri (matematika)|galeri]] dari homomorfisme adalah [[isomorfisme|isomorfik]] terhadap hasil bagi oleh kernel.

Konsep kernel telah diperluas ke struktur sedemikian rupa sehingga gambar kebalikan dari satu elemen tidak cukup untuk memutuskan apakah homomorfisme adalah injeksi. Dalam kasus ini, kernel adalah [[hubungan kesesuaian]].

Artikel ini adalah survei untuk beberapa jenis kernel penting dalam struktur aljabar.

== Linear maps ==

Misalkan ''V'' dan ''W'' menjadi [[ruang vektor]] di atas [[Bidang (matematika)|bidang]] (atau lebih umum, [[modul (matematika)|modul]] di atas [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] dan biarkan ''T'' menjadi [[peta liear]] dari ''V'' ke ''W''. Jika '''0'''''W'' adalah [[vektor nol]] dari '' W '', maka kernel '' T '' adalah [[preimage]] dari [[ruang nol|nol subruang]] {'''0'''''W''}; that adalah, [[himpunan bagian]] dari '' V '' yang terdiri dari semua elemen '' V '' yang dipetakan oleh '' T '' ke elemen '''0'''''W''. Kernel biasanya dilambangkan sebagai , atau variasinya:

:<math> \operatorname{ker} T = \{\mathbf{v} \in V : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{W}\}\text{.} </math>

Karena peta linier mempertahankan vektor nol, vektor nol '''0'''''V'' dari '' V '' harus menjadi milik kernel. Transformasi '' T '' bersifat injeksi jika dan hanya jika kernelnya direduksi menjadi subruang nol.

Kernel ker '' T '' selalu merupakan [[subruang linier]] dari '' V ''. Jadi, masuk akal untuk membicarakan tentang [[ruang hasil bagi (aljabar linear)|ruang hasil bagi]] ''V''/(ker ''T''). [[Teorema isomorfisme]] pertama untuk ruang vektor menyatakan bahwa ruang hasil bagi ini adalah [[isomorfisme alami|isomorfis alami]] ke [[citra (fungsi)|citra]] dari '' T '' (yang merupakan subruang dari '' W ''). Akibatnya, [[dimensi (aljabar linear)|dimensi]] dari '' V '' sama dengan dimensi kernel ditambah dimensi bayangan.

Jika '' V '' dan '' W '' adalah [[ruang vektor berdimensi-hingga|dimensi-hingga]] dan [[basis (aljabar linear)|basis]] telah dipilih, maka '' T '' dapat dijelaskan oleh [[matriks (matematika)|matriks]] ''M'', dan kernel dapat dihitung dengan menyelesaikan [[sistem persamaan linear]] homogen . Dalam hal ini, kernel '' T '' dapat diidentifikasi ke [[kernel (matriks)|kernel matriks]] '' M '', juga disebut "spasi nol" dari '' M ''. Dimensi ruang kosong, disebut nulitas '' M '', diberikan oleh jumlah kolom '' M '' dikurangi [[rank (teori matriks)|rank]] dari '' M '', sebagai konsekuensi dari [[teori peringkat-nullity]].

Memecahkan [[persamaan diferensial homogen]] sering kali sama dengan menghitung kernel [[operator diferensial]] tertentu.
Misalnya, untuk mencari semua dua kali - [[fungsi terdiferensiasi]] s '' f '' dari [[garis nyata]] ke dirinya sendiri sehingga

:<math>xf''(x) + 3f'(x) = f(x),</math>

biarkan '' V '' menjadi ruang dari semua fungsi yang dapat dibedakan dua kali, biarkan '' W '' menjadi ruang dari semua fungsi, dan tentukan operator linier '' T '' dari '' V '' menjadi '' W '' oleh

:<math>(Tf)(x) = xf''(x) + 3f'(x) - f(x)</math>

untuk '' f '' di '' V '' dan '' x '' sembarang [[bilangan real]].
Maka semua solusi persamaan diferensial ada di ker '' T ''.

Seseorang dapat mendefinisikan kernel untuk homomorfisme antara modul melalui [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] dengan cara yang analog. Ini termasuk kernel untuk homomorfisme antara [[grup abelian]] sebagai kasus khusus. Contoh ini menangkap esensi kernel secara umum [[kategori abelian]]; lihat [[Kernel (teori kategori)]].

== Aljabar dengan struktur nonaljabar ==
Kadang-kadang aljabar dilengkapi dengan struktur nonaljabar di samping [[operasi aljabar]] mereka.
Misalnya, seseorang dapat mempertimbangkan [[grup topologi]] atau [[ruang vektor topologis]], dengan dilengkapi dengan [[topologi (struktur)|topologi]].
Dalam hal ini, kita mengharapkan homomorfisme '' f '' untuk mempertahankan struktur tambahan ini; dalam contoh topologi, kita ingin '' f '' menjadi [[peta kontinu]].
Prosesnya mungkin mengalami hambatan dengan aljabar hasil bagi, yang mungkin tidak berperilaku baik.
Dalam contoh topologi, kita dapat menghindari masalah dengan mensyaratkan bahwa struktur aljabar topologi menjadi [[Ruang Hausdorff|Hausdorff]] (seperti yang biasanya dilakukan); maka kernel (bagaimanapun itu dibangun) akan menjadi [[set tertutup]] dan [[ruang hasil bagi (topologi)|ruang hasil bagi]] akan berfungsi dengan baik (dan juga Hausdorff).

== Kernel dalam teori kategori ==
Pengertian '' kernel '' dalam [[teori kategori]] adalah generalisasi dari kernel abelian aljabar; lihat [[Kernel (teori kategori)]].
Generalisasi kategorikal dari kernel sebagai hubungan kesesuaian adalah '' [[pasangan kernel]] ''.
(Ada juga pengertian [[kernel perbedaan]], atau biner [[equalizer (matematika)|equalizer]].)

== Lihat pula ==

* [[Kernel (aljabar linear)]]
* [[Himpunan nol]]

== Catatan ==

== Referensi ==

*

*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kernel+%28aljabar%29&oldid=29223873 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29223873 (2026-05-13T12:09:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.