Kesetaraan Morita - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:04:50Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.04
Baris 8:		Baris 8:

	== Kriteria kesetaraan ==		== Kriteria kesetaraan ==
	Persamaan dapat dikarakterisasi sebagai berikut: if ''F'':''R-Mod'' <math>\to</math> ''S-Mod'' and ''G'':''S-Mod''<math>\to</math> ''R-Mod'' adalah aditif (kovarian) [[functors]], maka '' F '' dan '' G '' adalah padanan jika dan hanya jika ada keseimbangan (''S'',''R'')-[[bimodule]] ''P'' seperti <sub>S</sub>''P'' dan ''P''<sub>R</sub> adalah [[modul yang dihasilkan secara terbatas\|dihasilkan secara terbatas]] [[modul proyektif\|proyektif]] [[generator (teori kategori)\|generator]] dan ada [[transformasi alami\|isomorfisme alami]] dari fungtornya <math> \operatorname{F}(-) \cong P \otimes_R - </math>, dan dari para funktor <math>\operatorname{G}(-) \cong \operatorname{Hom}(_{S}P,-).</math> Generator proyektif yang dihasilkan secara tak terbatas juga kadang-kadang disebut '''progenerator''' untuk kategori modulnya.		Persamaan dapat dikarakterisasi sebagai berikut: if ''F'':''R-Mod'' <math>\to</math> ''S-Mod'' and ''G'':''S-Mod''<math>\to</math> ''R-Mod'' adalah aditif (kovarian) [[functors]], maka '' F '' dan '' G '' adalah padanan jika dan hanya jika ada keseimbangan (''S'',''R'')-[[bimodule]] ''P'' seperti <sub>S</sub>''P'' dan ''P''<sub>R</sub> adalah [[modul yang dihasilkan secara terbatas\|dihasilkan secara terbatas]] [[modul proyektif\|proyektif]] [[generator (teori kategori)\|generator]] dan ada [[transformasi alami\|isomorfisme alami]] dari fungtornya <math> \operatorname{F}(-) \cong P \otimes_R - </math>, dan dari para funktor <math>\operatorname{G}(-) \cong \operatorname{Hom}(_{S}P,-).</math> Generator proyektif yang dihasilkan secara tak terbatas juga kadang-kadang disebut '''progenerator''' untuk kategori modulnya.<ref>DeMeyer & Ingraham (1971) p.6</ref>

	Untuk setiap [[tepat functor\|kanan-tepat]] functor '' F '' dari kategori kiri - '' R '' modul ke kategori kiri - '' S '' modul yang bolak-balik dengan [[jumlah langsung]], Teorema [[aljabar homologis]] menunjukkan bahwa ada '' (S, R) '' - bimodule '' E '' sehingga funktor <math>\operatorname{F}(-)</math> secara alami isomorfik ke funktor <math>E \otimes_R -</math>. Karena kesetaraan dengan kebutuhan tepat dan bolak-balik dengan jumlah langsung, ini menyiratkan bahwa '' R '' dan '' S '' adalah Morita setara jika dan hanya jika ada bimodule ''<sub>R</sub>M<sub>S</sub>'' dan ''<sub>S</sub>N<sub>R</sub>'' sehingga <math>M \otimes_{S} N \cong R</math> sebagai ''(R,R)'' bimodul dan <math>N \otimes_{R} M \cong S</math> sebagai '' (S, S) '' bimodules. Selain itu, '' N '' dan '' M '' terkait melalui isomorfisma bimodule '' (S, R) '': <math>N \cong \operatorname{Hom}(M_S,S_S)</math>.		Untuk setiap [[tepat functor\|kanan-tepat]] functor '' F '' dari kategori kiri - '' R '' modul ke kategori kiri - '' S '' modul yang bolak-balik dengan [[jumlah langsung]], Teorema [[aljabar homologis]] menunjukkan bahwa ada '' (S, R) '' - bimodule '' E '' sehingga funktor <math>\operatorname{F}(-)</math> secara alami isomorfik ke funktor <math>E \otimes_R -</math>. Karena kesetaraan dengan kebutuhan tepat dan bolak-balik dengan jumlah langsung, ini menyiratkan bahwa '' R '' dan '' S '' adalah Morita setara jika dan hanya jika ada bimodule ''<sub>R</sub>M<sub>S</sub>'' dan ''<sub>S</sub>N<sub>R</sub>'' sehingga <math>M \otimes_{S} N \cong R</math> sebagai ''(R,R)'' bimodul dan <math>N \otimes_{R} M \cong S</math> sebagai '' (S, S) '' bimodules. Selain itu, '' N '' dan '' M '' terkait melalui isomorfisma bimodule '' (S, R) '': <math>N \cong \operatorname{Hom}(M_S,S_S)</math>.

	Lebih konkret, dua cincin '' R '' dan '' S '' adalah Morita setara jika dan hanya jika <math>S\cong \operatorname{End}(P_R)</math> untuk modul [[progenerator]] ''P<sub>R</sub>'',		Lebih konkret, dua cincin '' R '' dan '' S '' adalah Morita setara jika dan hanya jika <math>S\cong \operatorname{End}(P_R)</math> untuk modul [[progenerator]] ''P<sub>R</sub>'',<ref>DeMeyer & Ingraham (1971) p.16</ref>
	:<math>S\cong e\mathbb{M}_{n}(R)e</math>		:<math>S\cong e\mathbb{M}_{n}(R)e</math>
	(isomorfisma cincin) untuk beberapa bilangan bulat positif '' n '' dan [[Idempoten (teori gelanggang)#Jenis idempotensi gelanggang\|idempotensi penuh]] '' e '' di cincin matriks M<sub>n</sub>(''R'').		(isomorfisma cincin) untuk beberapa bilangan bulat positif '' n '' dan [[Idempoten (teori gelanggang)#Jenis idempotensi gelanggang\|idempotensi penuh]] '' e '' di cincin matriks M<sub>n</sub>(''R'').

Baris 22:		Baris 22:
	== Signifikansi dalam teori-K ==		== Signifikansi dalam teori-K ==
	Jika dua Gelanggang setara dengan Morita, Ada persamaan induksi dari masing-masing kategori modul proyektif karena kesetaraan Morita akan mempertahankan urutan yang tepat (dan karenanya modul proyektif). Karena [[teori-K aljabar]] sebuah cincin ditentukan (dalam [[konstruksi-Q\|Pendekatan Quillen]]) dalam hal [[grup homotopi]] dari (kira-kira) [[ruang klasifikasi]] dari [[saraf (teori kategori)\|saraf]] dari kategori (kecil) modul proyektif yang dihasilkan secara halus di atas gelanggang, Cincin ekuivalen Morita harus memiliki gugus-K isomorfik.		Jika dua Gelanggang setara dengan Morita, Ada persamaan induksi dari masing-masing kategori modul proyektif karena kesetaraan Morita akan mempertahankan urutan yang tepat (dan karenanya modul proyektif). Karena [[teori-K aljabar]] sebuah cincin ditentukan (dalam [[konstruksi-Q\|Pendekatan Quillen]]) dalam hal [[grup homotopi]] dari (kira-kira) [[ruang klasifikasi]] dari [[saraf (teori kategori)\|saraf]] dari kategori (kecil) modul proyektif yang dihasilkan secara halus di atas gelanggang, Cincin ekuivalen Morita harus memiliki gugus-K isomorfik.

	~~== Referensi ==~~

	*
	*
	*
	*
	*

	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kesetaraan+Morita&oldid=22335060 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22335060 (2022-12-16T04:52:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kesetaraan+Morita&oldid=22335060 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22335060 (2022-12-16T04:52:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22335060; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:37:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22335060; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar abstrak]], '''Kesetaraan Morita''' adalah hubungan yang didefinisikan antara [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang mempertahankan banyak sifat teori gelanggang. Nama rumus ini dinamai oleh matematikawan asal Jepang [[Kiiti Morita]] yang mendefinisikan kesetaraan dan gagasan serupa tentang dualitas pada tahun 1958.

== Motivasi ==
[[Gelanggang (matematika)|Gelanggang]] biasanya dipelajari dalam istilah [[modul (matematika)|modul]], as modul dapat dilihat sebagai [[teori representasi|representasi]] gelanggang. Setiap gelanggang '' R '' memiliki '' R '' alami struktur modul pada dirinya sendiri di mana tindakan modul didefinisikan sebagai perkalian di dalam gelanggang, jadi pendekatan melalui modul lebih umum dan memberikan informasi yang berguna. Because of this, one often studies a ring by studying the [[category (mathematics)|category]] of modules over that ring. Kesetaraan Morita membawa sudut pandang ini ke kesimpulan alami dengan mendefinisikan cincin menjadi setara Morita jika kategori modul mereka adalah [[Kesetaraan kategori|setara]]. Gagasan ini hanya menarik ketika berhadapan dengan [[gelanggang nonkomutatif]], karena dapat ditunjukkan bahwa dua [[cincin komutatif]] adalah ekuivalen Morita jika dan hanya jika keduanya [[Glosarium teori gelanggang#Homomorfisme dan ideal|isomorfik]].

== Definisi ==
Dua gelanggang '' R '' dan '' S '' (asosiatif, dengan 1) dikatakan ('''Morita''') '''setara''' jika ada persamaan kategori (kiri) modul di atas '' R '', '' R-Mod '', dan kategori modul (kiri) di atas '' S '', '' S-Mod ''. Dapat ditunjukkan bahwa kategori modul kiri '' R-Mod '' dan '' S-Mod '' adalah setara jika dan hanya jika kategori modul kanan '' Mod-R '' dan '' Mod-S '' adalah setara. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa setiap functor dari '' R-Mod '' hingga '' S-Mod '' yang menghasilkan kesetaraan secara otomatis [[Additive functor|additive]].

== Kriteria kesetaraan ==
Persamaan dapat dikarakterisasi sebagai berikut: if ''F'':''R-Mod'' <math>\to</math> ''S-Mod'' and ''G'':''S-Mod''<math>\to</math> ''R-Mod'' adalah aditif (kovarian) [[functors]], maka '' F '' dan '' G '' adalah padanan jika dan hanya jika ada keseimbangan (''S'',''R'')-[[bimodule]] ''P'' seperti S''P'' dan ''P''R adalah [[modul yang dihasilkan secara terbatas|dihasilkan secara terbatas]] [[modul proyektif|proyektif]] [[generator (teori kategori)|generator]] dan ada [[transformasi alami|isomorfisme alami]] dari fungtornya <math> \operatorname{F}(-) \cong P \otimes_R - </math>, dan dari para funktor <math>\operatorname{G}(-) \cong \operatorname{Hom}(_{S}P,-).</math> Generator proyektif yang dihasilkan secara tak terbatas juga kadang-kadang disebut '''progenerator''' untuk kategori modulnya.

Untuk setiap [[tepat functor|kanan-tepat]] functor '' F '' dari kategori kiri - '' R '' modul ke kategori kiri - '' S '' modul yang bolak-balik dengan [[jumlah langsung]], Teorema [[aljabar homologis]] menunjukkan bahwa ada '' (S, R) '' - bimodule '' E '' sehingga funktor <math>\operatorname{F}(-)</math> secara alami isomorfik ke funktor <math>E \otimes_R -</math>. Karena kesetaraan dengan kebutuhan tepat dan bolak-balik dengan jumlah langsung, ini menyiratkan bahwa '' R '' dan '' S '' adalah Morita setara jika dan hanya jika ada bimodule ''RMS'' dan ''SNR'' sehingga <math>M \otimes_{S} N \cong R</math> sebagai ''(R,R)'' bimodul dan <math>N \otimes_{R} M \cong S</math> sebagai '' (S, S) '' bimodules. Selain itu, '' N '' dan '' M '' terkait melalui isomorfisma bimodule '' (S, R) '': <math>N \cong \operatorname{Hom}(M_S,S_S)</math>.

Lebih konkret, dua cincin '' R '' dan '' S '' adalah Morita setara jika dan hanya jika <math>S\cong \operatorname{End}(P_R)</math> untuk modul [[progenerator]] ''PR'',
:<math>S\cong e\mathbb{M}_{n}(R)e</math>
(isomorfisma cincin) untuk beberapa bilangan bulat positif '' n '' dan [[Idempoten (teori gelanggang)#Jenis idempotensi gelanggang|idempotensi penuh]] '' e '' di cincin matriks Mn(''R'').

Diketahui bahwa jika '' R '' adalah Morita setara dengan '' S '', maka cincin C ('' R '') isomorfik ke gelanggang C ('' S ''), ''R''/''J''(''R'') adalah Morita setara dengan ''S''/''J''(''S''), di mana '' J '' (-) menunjukkan [[radikal Jacobson]].

Sementara cincin isomorfik setara Morita, cincin setara Morita bisa nonisomorfik. Contoh mudahnya adalah bahwa [[gelanggang pembagian]] '' D '' adalah Morita yang setara dengan semua gelanggang matriksnya ''M''''n''(''D''), tetapi tidak bisa menjadi isomorfik bila '' n ''> 1. Dalam kasus khusus cincin komutatif, cincin ekivalen Morita sebenarnya isomorfik. Ini segera mengikuti dari komentar di atas, karena jika '' R '' adalah Morita setara dengan '' S '', <math>R=\operatorname{C}(R)\cong \operatorname{C}(S)=S</math>.

== Signifikansi dalam teori-K ==
Jika dua Gelanggang setara dengan Morita, Ada persamaan induksi dari masing-masing kategori modul proyektif karena kesetaraan Morita akan mempertahankan urutan yang tepat (dan karenanya modul proyektif). Karena [[teori-K aljabar]] sebuah cincin ditentukan (dalam [[konstruksi-Q|Pendekatan Quillen]]) dalam hal [[grup homotopi]] dari (kira-kira) [[ruang klasifikasi]] dari [[saraf (teori kategori)|saraf]] dari kategori (kecil) modul proyektif yang dihasilkan secara halus di atas gelanggang, Cincin ekuivalen Morita harus memiliki gugus-K isomorfik.

== Referensi ==

*
*
*
*
*

== Bacaan lebih lanjut ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kesetaraan+Morita&oldid=22335060 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22335060 (2022-12-16T04:52:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.