Ketertutupan (matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:01:58Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28479547; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:29:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28479547; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam matematika, [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dikatakan '''tertutup''' pada suatu [[Operasi (matematika)|operasi]] adalah apabila operasi tersebut diberlakukan pada anggota himpunan tersebut hasilnya selalu merupakan anggota dari himpunan tersebut. Misalnya, [[bilangan bulat]] positif tertutup terhadap penambahan, tetapi tidak terhadap pengurangan: <math>1 - 2</math> bukan bilangan bulat positif meskipun <math>1</math> dan <math>2</math> adalah bilangan bulat positif. Contoh lain adalah himpunan yang hanya memuat bilangan nol, himpunan ini tertutup terhadap penambahan, pengurangan dan perkalian (karena <math>0+0=0</math>, <math>0-0=0</math>, dan <math>0\times{0}=0</math>).

Demikian pula, suatu himpunan dikatakan '''tertutup''' terhadap ''kumpulan'' operasi apabila himpunan itu tertutup terhadap setiap masing-masing operasi.

== Sifat dasar ==
Satu himpunan yang tertutup pada suatu operasi atau kumpulan operasi dikatakan memenuhi '''sifat ketertutupan'''. Sifat ketertutupan diperkenalkan sebagai [[aksioma]], yang kemudian biasanya disebut '''aksioma ketertutupan'''. Definisi teori himpunan modern biasanya mendefinisikan operasi sebagai peta antar himpunan, menambahkan ketertutupan ke struktur sebagai aksioma sebenarnya berlebihan; tetapi dalam praktiknya, operasi sering kali didefinisikan pada awalnya pada superhimpunan dari himpunan tersebut dan bukti ketertutupan diperlukan untuk menetapkan bahwa operasi tersebut diterapkan pada relasi dari himpunan tersebut hanya darab. Misalnya, himpunan bilangan bulat genap ketertutupan dengan penambahan, tetapi himpunan bilangan bulat ganjil tidak.

Ketika sebuah himpunan <math>S</math> bukan termasuk ketertutupan pada beberapa operasi, biasanya dapat menemukan himpunan terkecil <math>S</math> yang merupakan ketertutupan. Himpunan ketertutupan terkecil ini disebut '''ketertutupan''' dari <math>S</math> (dengan operasi relasi). Misalnya, ketertutupan terhadap pengurangan himpunan bilangan asli, dipandang sebagai bagian dari bilangan riil, adalah himpunan [[bilangan bulat]]. Contoh penting adalah [[ketertutupan topologi]]. Gagasan tentang ketertutupan digeneralisasikan oleh [[koneksi Galois]], dan selanjutnya oleh [[monad (teori kategori)|monad]].

Himpunan ''S'' menjadi bagian dari himpunan ketertutupan agar operasi ketertutupan tersebut dapat ditentukan. Dalam contoh sebelumnya, penting bahwa riil ketertutupan terhadap pengurangan; dalam domain pengurangan bilangan asli tidak selalu ditentukan.

Kedua penggunaan kata "ketertutupan" tidak perlu disamakan. Penggunaan sebelumnya mengacu pada sifat ketertutupan, dan yang terakhir mengacu pada himpunan ketertutupan terkecil salah satu yang mungkin bukan ketertutupan. Singkatnya, ketertutupan satu himpunan memenuhi sifat ketertutupan.

== Himpunan tertutup==
Himpunan ketertutupan terhadap operasi jika operasi anggota kumpulan saat dievaluasi pada anggota himpunan. Kadang-kadang persyaratan bahwa operasi dinilai dalam suatu himpunan dinyatakan secara eksplisit, yang dalam hal ini dikenal sebagai '''aksioma ketertutupan'''. Misalnya, seseorang dapat mendefinisikan [[grup (matematika)|grup]] sebagai himpunan dengan operator darab biner yang mematuhi beberapa aksioma, termasuk aksioma bahwa darab dari dua unsur grup adalah agai. Namun definisi modern dari sebuah operasi membuat aksioma ini menjadi berlebihan; sebuah [[operasi (matematika)|operasi]] ''ary''-<math>n</math> pada ''S'' hanyalah himpunan bagian dari <math>S^{n+1}</math>. Menurut definisinya, operator pada himpunan tidak dapat memiliki nilai di luar himpunan.

Namun demikian, properti closure dari operator pada suatu himpunan masih memiliki beberapa kegunaan. ketertutupan pada satu himpunan tidak selalu berarti ketertutupan pada semua himpunan bagian. Jadi [[subgrup]] dari grup adalah himpunan bagian di mana darab biner dan [[operasi uner]] dari [[elemen invers|balikan]] memenuhi aksioma ketertutupan.

Operasi jenis yang berbeda adalah menemukan [[titik batas]] dari himpunan bagian dari [[ruang topologis]]. Himpunan yang ditutup terhadap operasi ini biasanya disebut sebagai [[himpunan tertutup]] dalam konteks [[topologi]]. Tanpa kualifikasi lebih lanjut, frasa tersebut biasanya berarti tertutup dalam pengertian ini. [[Selang (matematika)#Termasuk atau tidak termasuk titik ujung|selang tertutup]] seperti <math>[1,2] = \{x\colon 1 \le x \le 2\}</math> ditutup dalam pengertian ini.

Himpunan bagian dari himpunan yang diurutkan sebagian adalah '''himpunan tertutup ke bawah''' (disebut sebagai [[himpunan atas|himpunan bawah]]) jika untuk setiap unsur dari himpunan tersebut, semua unsurnya juga di himpunan bagian. Ini berlaku misalnya untuk selang real <math>(-\infty,p)</math> dan <math>(-\infty,p]</math>, dan untuk [[bilangan ordinal]] <math>p</math> diwakili sebagai selang <math>[0,p)</math>. Setiap himpunan bilangan ordinal tertutup ke bawah dengan sendirinya merupakan bilangan ordinal. '''Himpunan tertutup ke atas''' (juga disebut himpunan atas) didefinisikan dengan cara yang sama.

== Contoh ==
* Dalam [[topologi]] dan cabang terkait, operasi yang relevan dengan batasan. [[Penutupan topologi|ketertutupan topologi]] dari himpunan adalah operator ketertutupan yang sesuai. [[Aksioma penutupan Kuratowski|Aksioma ketertutupan Kuratowski]] mencirikan operasi ini.
* Dalam [[aljabar linear]], [[rentang linear]] dari himpunan <math>X</math> vektor adalah '''ketertutupan''' dari himpunan; bagian terkecil dari [[ruang vektor]] yang menyertakan <math>X</math> dan ketertutupan dengan operasi [[kombinasi linear]]. Bagian ini adalah [[subruang linear|subruang]].
* Dalam teori [[matroid]], ketertutupan <math>X</math> merupakan superhimpunan terbesar dari <math>X</math> yang memiliki rank sama dengan ''X''.
* Dalam [[teori himpunan]], [[Himpunan transitif#Ketertutupan transitif|ketertutupan transitif]] dari [[himpunan (matematika)|himpunan]].
* Dalam [[teori himpunan]], [[ketertutupan transitif]] dari [[relasi biner]].
* Dalam [[aljabar abstrak|aljabar]], [[ketertutupan aljabar]] dari [[Medan (aljabar)|medan]].
* Dalam [[aljabar komutatif]], operasi ketertutupan untuk ideal, seperti [[ketertutupan integral]] dan [[ketertutupan ketat]].
* Dalam [[geometri]], [[selubung cembung]] dari himpunan titik <math>S</math> adalah [[himpunan cembung]] terkecil di mana <math>S</math> adalah [[himpunan bagian]].
* Dalam [[bahasa formal]], [[ketertutupan Kleene]] dari suatu bahasa dapat dijelaskan sebagai kumpulan untai yang dapat dibuat dengan menggabungkan nol untai atau lebih dari bahasa tersebut.
* Dalam [[teori grup]], [[ketertutupan sekawan]] atau ketertutupan normal dari himpunan unsur [[grup (matematika)|grup]] adalah subgrup normal terkecil yang berisi himpunan tersebut.
* Dalam [[analisis matematika]] dan dalam [[teori probabilitas]], ketertutupan kumpulan himpunan bagian <math>X</math> terhadap [[aljabar himpunan|operasi himpunan]] [[Himpunan tercacahkan|banyak tercacahkan]] disebut [[aljabar sigma]]

== Lihat pula ==
* [[Himpunan terbuka]]
* [[Himpunan buka-tertutup]]

== Referensi ==

*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketertutupan+%28matematika%29&oldid=28479547 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28479547 (2025-11-14T06:39:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.01
Baris 6:		Baris 6:
	Satu himpunan yang tertutup pada suatu operasi atau kumpulan operasi dikatakan memenuhi '''sifat ketertutupan'''. Sifat ketertutupan diperkenalkan sebagai [[aksioma]], yang kemudian biasanya disebut '''aksioma ketertutupan'''. Definisi teori himpunan modern biasanya mendefinisikan operasi sebagai peta antar himpunan, menambahkan ketertutupan ke struktur sebagai aksioma sebenarnya berlebihan; tetapi dalam praktiknya, operasi sering kali didefinisikan pada awalnya pada superhimpunan dari himpunan tersebut dan bukti ketertutupan diperlukan untuk menetapkan bahwa operasi tersebut diterapkan pada relasi dari himpunan tersebut hanya darab. Misalnya, himpunan bilangan bulat genap ketertutupan dengan penambahan, tetapi himpunan bilangan bulat ganjil tidak.		Satu himpunan yang tertutup pada suatu operasi atau kumpulan operasi dikatakan memenuhi '''sifat ketertutupan'''. Sifat ketertutupan diperkenalkan sebagai [[aksioma]], yang kemudian biasanya disebut '''aksioma ketertutupan'''. Definisi teori himpunan modern biasanya mendefinisikan operasi sebagai peta antar himpunan, menambahkan ketertutupan ke struktur sebagai aksioma sebenarnya berlebihan; tetapi dalam praktiknya, operasi sering kali didefinisikan pada awalnya pada superhimpunan dari himpunan tersebut dan bukti ketertutupan diperlukan untuk menetapkan bahwa operasi tersebut diterapkan pada relasi dari himpunan tersebut hanya darab. Misalnya, himpunan bilangan bulat genap ketertutupan dengan penambahan, tetapi himpunan bilangan bulat ganjil tidak.

	Ketika sebuah himpunan <math>S</math> bukan termasuk ketertutupan pada beberapa operasi, biasanya dapat menemukan himpunan terkecil <math>S</math> yang merupakan ketertutupan. Himpunan ketertutupan terkecil ini disebut '''ketertutupan''' dari <math>S</math> (dengan operasi relasi). Misalnya, ketertutupan terhadap pengurangan himpunan bilangan asli, dipandang sebagai bagian dari bilangan riil, adalah himpunan [[bilangan bulat]]. Contoh penting adalah [[ketertutupan topologi]]. Gagasan tentang ketertutupan digeneralisasikan oleh [[koneksi Galois]], dan selanjutnya oleh [[monad (teori kategori)\|monad]].		Ketika sebuah himpunan <math>S</math> bukan termasuk ketertutupan pada beberapa operasi, biasanya dapat menemukan himpunan terkecil <math>S</math> yang merupakan ketertutupan. Himpunan ketertutupan terkecil ini disebut '''ketertutupan''' dari <math>S</math> (dengan operasi relasi).<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/SetClosure.html Set Closure]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref> Misalnya, ketertutupan terhadap pengurangan himpunan bilangan asli, dipandang sebagai bagian dari bilangan riil, adalah himpunan [[bilangan bulat]]. Contoh penting adalah [[ketertutupan topologi]]. Gagasan tentang ketertutupan digeneralisasikan oleh [[koneksi Galois]], dan selanjutnya oleh [[monad (teori kategori)\|monad]].

	Himpunan ''S'' menjadi bagian dari himpunan ketertutupan agar operasi ketertutupan tersebut dapat ditentukan. Dalam contoh sebelumnya, penting bahwa riil ketertutupan terhadap pengurangan; dalam domain pengurangan bilangan asli tidak selalu ditentukan.		Himpunan ''S'' menjadi bagian dari himpunan ketertutupan agar operasi ketertutupan tersebut dapat ditentukan. Dalam contoh sebelumnya, penting bahwa riil ketertutupan terhadap pengurangan; dalam domain pengurangan bilangan asli tidak selalu ditentukan.
Baris 13:		Baris 13:

	== Himpunan tertutup==		== Himpunan tertutup==
	Himpunan ketertutupan terhadap operasi jika operasi anggota kumpulan saat dievaluasi pada anggota himpunan. Kadang-kadang persyaratan bahwa operasi dinilai dalam suatu himpunan dinyatakan secara eksplisit, yang dalam hal ini dikenal sebagai '''aksioma ketertutupan'''. Misalnya, seseorang dapat mendefinisikan [[grup (matematika)\|grup]] sebagai himpunan dengan operator darab biner yang mematuhi beberapa aksioma, termasuk aksioma bahwa darab dari dua unsur grup adalah agai. Namun definisi modern dari sebuah operasi membuat aksioma ini menjadi berlebihan; sebuah [[operasi (matematika)\|operasi]] ''ary''-<math>n</math> pada ''S'' hanyalah himpunan bagian dari <math>S^{n+1}</math>. Menurut definisinya, operator pada himpunan tidak dapat memiliki nilai di luar himpunan.		Himpunan ketertutupan terhadap operasi jika operasi anggota kumpulan saat dievaluasi pada anggota himpunan.<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/SetClosure.html Set Closure]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref> Kadang-kadang persyaratan bahwa operasi dinilai dalam suatu himpunan dinyatakan secara eksplisit, yang dalam hal ini dikenal sebagai '''aksioma ketertutupan'''. Misalnya, seseorang dapat mendefinisikan [[grup (matematika)\|grup]] sebagai himpunan dengan operator darab biner yang mematuhi beberapa aksioma, termasuk aksioma bahwa darab dari dua unsur grup adalah agai. Namun definisi modern dari sebuah operasi membuat aksioma ini menjadi berlebihan; sebuah [[operasi (matematika)\|operasi]] ''ary''-<math>n</math> pada ''S'' hanyalah himpunan bagian dari <math>S^{n+1}</math>. Menurut definisinya, operator pada himpunan tidak dapat memiliki nilai di luar himpunan.

	Namun demikian, properti closure dari operator pada suatu himpunan masih memiliki beberapa kegunaan. ketertutupan pada satu himpunan tidak selalu berarti ketertutupan pada semua himpunan bagian. Jadi [[subgrup]] dari grup adalah himpunan bagian di mana darab biner dan [[operasi uner]] dari [[elemen invers\|balikan]] memenuhi aksioma ketertutupan.		Namun demikian, properti closure dari operator pada suatu himpunan masih memiliki beberapa kegunaan. ketertutupan pada satu himpunan tidak selalu berarti ketertutupan pada semua himpunan bagian. Jadi [[subgrup]] dari grup adalah himpunan bagian di mana darab biner dan [[operasi uner]] dari [[elemen invers\|balikan]] memenuhi aksioma ketertutupan.
Baris 25:		Baris 25:
	* Dalam [[aljabar linear]], [[rentang linear]] dari himpunan <math>X</math> vektor adalah '''ketertutupan''' dari himpunan; bagian terkecil dari [[ruang vektor]] yang menyertakan <math>X</math> dan ketertutupan dengan operasi [[kombinasi linear]]. Bagian ini adalah [[subruang linear\|subruang]].		* Dalam [[aljabar linear]], [[rentang linear]] dari himpunan <math>X</math> vektor adalah '''ketertutupan''' dari himpunan; bagian terkecil dari [[ruang vektor]] yang menyertakan <math>X</math> dan ketertutupan dengan operasi [[kombinasi linear]]. Bagian ini adalah [[subruang linear\|subruang]].
	* Dalam teori [[matroid]], ketertutupan <math>X</math> merupakan superhimpunan terbesar dari <math>X</math> yang memiliki rank sama dengan ''X''.		* Dalam teori [[matroid]], ketertutupan <math>X</math> merupakan superhimpunan terbesar dari <math>X</math> yang memiliki rank sama dengan ''X''.
	* Dalam [[teori himpunan]], [[Himpunan transitif#Ketertutupan transitif\|ketertutupan transitif]] dari [[himpunan (matematika)\|himpunan]].		* Dalam [[teori himpunan]], [[Himpunan transitif#Ketertutupan transitif\|ketertutupan transitif]] dari [[himpunan (matematika)\|himpunan]].<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/TransitiveClosure.html Transitive Closure]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref>
	* Dalam [[teori himpunan]], [[ketertutupan transitif]] dari [[relasi biner]].		* Dalam [[teori himpunan]], [[ketertutupan transitif]] dari [[relasi biner]].<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/TransitiveClosure.html Transitive Closure]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref>
	* Dalam [[aljabar abstrak\|aljabar]], [[ketertutupan aljabar]] dari [[Medan (aljabar)\|medan]].		* Dalam [[aljabar abstrak\|aljabar]], [[ketertutupan aljabar]] dari [[Medan (aljabar)\|medan]].<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/AlgebraicClosure.html Algebraic Closure]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref>
	* Dalam [[aljabar komutatif]], operasi ketertutupan untuk ideal, seperti [[ketertutupan integral]] dan [[ketertutupan ketat]].		* Dalam [[aljabar komutatif]], operasi ketertutupan untuk ideal, seperti [[ketertutupan integral]] dan [[ketertutupan ketat]].
	* Dalam [[geometri]], [[selubung cembung]] dari himpunan titik <math>S</math> adalah [[himpunan cembung]] terkecil di mana <math>S</math> adalah [[himpunan bagian]].		* Dalam [[geometri]], [[selubung cembung]] dari himpunan titik <math>S</math> adalah [[himpunan cembung]] terkecil di mana <math>S</math> adalah [[himpunan bagian]].<ref>Dennis S. Bernstein. [https://books.google.com/books?id=pmNRPwOFHKoC&q=smallest+convex+set&pg=PA25 Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory]. Princeton University Press. 2005. hlm. 25. ISBN 978-0-691-11802-4.</ref>
	* Dalam [[bahasa formal]], [[ketertutupan Kleene]] dari suatu bahasa dapat dijelaskan sebagai kumpulan untai yang dapat dibuat dengan menggabungkan nol untai atau lebih dari bahasa tersebut.		* Dalam [[bahasa formal]], [[ketertutupan Kleene]] dari suatu bahasa dapat dijelaskan sebagai kumpulan untai yang dapat dibuat dengan menggabungkan nol untai atau lebih dari bahasa tersebut.
	* Dalam [[teori grup]], [[ketertutupan sekawan]] atau ketertutupan normal dari himpunan unsur [[grup (matematika)\|grup]] adalah subgrup normal terkecil yang berisi himpunan tersebut.		* Dalam [[teori grup]], [[ketertutupan sekawan]] atau ketertutupan normal dari himpunan unsur [[grup (matematika)\|grup]] adalah subgrup normal terkecil yang berisi himpunan tersebut.
Baris 39:		Baris 39:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketertutupan+%28matematika%29&oldid=28479547 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28479547 (2025-11-14T06:39:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketertutupan+%28matematika%29&oldid=28479547 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28479547 (2025-11-14T06:39:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->