Kofibrasi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:59:35Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.59
Baris 8:		Baris 8:

	== Definisi ==		== Definisi ==

	=== Teori homotopi ===		=== Teori homotopi ===
	Peta <math>i\colon A \to X</math> ruang topologi disebut '''kofibrasi'''<sup>hal 51</sup> jika untuk peta <math>f:A \to S</math> sedemikian rupa sehingga ekstensi ke <math>X</math>, maka peta <math>f':X \to S</math> adalah <math>f'\circ i = f</math>, dengan memperluas homotopi peta <math>H:A\times I \to S</math> ke homotopi peta <math>H': X\times I \to S</math>, dimana<blockquote><math>\begin{align}		Peta <math>i\colon A \to X</math> ruang topologi disebut '''kofibrasi'''<ref>May, J. Peter. [https://www.worldcat.org/oclc/41266205 A concise course in algebraic topology]. University of Chicago Press. 1999. ISBN 0-226-51182-0.</ref><sup>hal 51</sup> jika untuk peta <math>f:A \to S</math> sedemikian rupa sehingga ekstensi ke <math>X</math>, maka peta <math>f':X \to S</math> adalah <math>f'\circ i = f</math>, dengan memperluas homotopi peta <math>H:A\times I \to S</math> ke homotopi peta <math>H': X\times I \to S</math>, dimana<blockquote><math>\begin{align}
	H(a,0) &= f(a) \\		H(a,0) &= f(a) \\
	H'(x,0) &= f'(x)		H'(x,0) &= f'(x)
Baris 20:		Baris 19:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	=== Dalam topologi ===		=== Dalam topologi ===
	Kofibrasi adalah kelas peta yang canggung dari perspektif komputasi karena lebih mudah dilihat sebagai alat teknis formal yang memungkinkan seseorang untuk "melakukan" konstruksi teori homotopi dengan ruang topologi. Maka		Kofibrasi adalah kelas peta yang canggung dari perspektif komputasi karena lebih mudah dilihat sebagai alat teknis formal yang memungkinkan seseorang untuk "melakukan" konstruksi teori homotopi dengan ruang topologi. Maka
Baris 42:		Baris 40:

	=== Dalam kompleks rantai ===		=== Dalam kompleks rantai ===
	Jika <math>C_+(\mathcal{A})</math> menjadi kategori kompleks rantai yang <math>0</math> dalam derajat <math>q << 0</math>, kemudian ada struktur kategori model <sup>hal 1.2</sup> di mana ekuivalen lemahnya adalah [[Isomorfisme semu]], jadi peta kompleks rantai yang [[isomorfisme]] setelah mengambil kohomologi, fibrasi yaitu epimorfisme, dan kofibrasi diberikan oleh peta<blockquote><math>i:C_\bullet \to D_\bullet</math></blockquote>bersifat injektif dan kompleks kokernel <math>\text{Koker}(i)_\bullet</math> adalah kompleks [[objek proyektif]] di <math>\mathcal{A}</math> . Selain itu, '''objek kofibrant''' adalah kompleks objeknya adalah objek proyektif <math>\mathcal{A}</math>.		Jika <math>C_+(\mathcal{A})</math> menjadi kategori kompleks rantai yang <math>0</math> dalam derajat <math>q << 0</math>, kemudian ada struktur kategori model <ref>Quillen, Daniel G. [https://www.worldcat.org/oclc/294862881 Homotopical algebra]. Springer-Verlag. 1967. ISBN 978-3-540-03914-3.</ref><sup>hal 1.2</sup> di mana ekuivalen lemahnya adalah [[Isomorfisme semu]], jadi peta kompleks rantai yang [[isomorfisme]] setelah mengambil kohomologi, fibrasi yaitu epimorfisme, dan kofibrasi diberikan oleh peta<blockquote><math>i:C_\bullet \to D_\bullet</math></blockquote>bersifat injektif dan kompleks kokernel <math>\text{Koker}(i)_\bullet</math> adalah kompleks [[objek proyektif]] di <math>\mathcal{A}</math> . Selain itu, '''objek kofibrant''' adalah kompleks objeknya adalah objek proyektif <math>\mathcal{A}</math>.

	=== Himpunan semi-sederhana ===		=== Himpunan semi-sederhana ===
	Untuk kategori <math>ss\textbf{Himpunan}</math> dari himpunan semi-sederhana <sup>hal 1.3</sup> (tidak menggunakan peta degenerasi naik dalam derajat), terdapat struktur kategori model dengan fibrasi yang diberikan oleh fibrasi, peta injeksi kofibrasi, dan ekuivalen lemah diberikan realisasi geometris.		Untuk kategori <math>ss\textbf{Himpunan}</math> dari himpunan semi-sederhana <ref>Quillen, Daniel G. [https://www.worldcat.org/oclc/294862881 Homotopical algebra]. Springer-Verlag. 1967. ISBN 978-3-540-03914-3.</ref><sup>hal 1.3</sup> (tidak menggunakan peta degenerasi naik dalam derajat), terdapat struktur kategori model dengan fibrasi yang diberikan oleh fibrasi, peta injeksi kofibrasi, dan ekuivalen lemah diberikan realisasi geometris.

	== Sifat ==		== Sifat ==

	* Untuk [[ruang Hausdorff]], setiap kofibrasi adalah inklusi tertutup (injektif dengan gambar tertutup); hasilnya juga menggeneralisasi [[Ruang Hausdorff yang lemah\|ruang Hausdorff lemah]].		* Untuk [[ruang Hausdorff]], setiap kofibrasi adalah inklusi tertutup (injektif dengan gambar tertutup); hasilnya juga menggeneralisasi [[Ruang Hausdorff yang lemah\|ruang Hausdorff lemah]].
	* [[Pushout (teori kategori)\|Pushout]] dari suatu kofibrasi adalah kofibrasi. Artinya, jika <math>g\colon A\to B</math> adalah peta (kontinu) apa pun (antara ruang yang dibuat secara kompak), dan <math>i\colon A\to X</math> adalah kofibrasi, lalu peta yang diinduksi <math>B\to B\cup_g X</math> adalah kofibrasi.		* [[Pushout (teori kategori)\|Pushout]] dari suatu kofibrasi adalah kofibrasi. Artinya, jika <math>g\colon A\to B</math> adalah peta (kontinu) apa pun (antara ruang yang dibuat secara kompak), dan <math>i\colon A\to X</math> adalah kofibrasi, lalu peta yang diinduksi <math>B\to B\cup_g X</math> adalah kofibrasi.
Baris 63:		Baris 60:

	== Konstruksi dengan kofibrasi ==		== Konstruksi dengan kofibrasi ==

	=== Pengganti Kofibrant ===		=== Pengganti Kofibrant ===
	Perhatikan bahwa dalam kategori model <math>\mathcal{M}</math> jika <math>i:* \to X</math> bukan kofibrasi, maka silinder pemetaan <math>Mi</math> membentuk '''pengganti kofibrant''' . Faktanya, jika kita bekerja hanya dalam kategori ruang topologi, penggantian kofibran untuk peta apa pun dari titik ke ruang membentuk pengganti kofibran.		Perhatikan bahwa dalam kategori model <math>\mathcal{M}</math> jika <math>i:* \to X</math> bukan kofibrasi, maka silinder pemetaan <math>Mi</math> membentuk '''pengganti kofibrant''' . Faktanya, jika kita bekerja hanya dalam kategori ruang topologi, penggantian kofibran untuk peta apa pun dari titik ke ruang membentuk pengganti kofibran.

	=== Kofiber ===		=== Kofiber ===
	Untuk kofibrasi <math>A \to X</math> mendefinisikan '''kofiber''' ruang hasil bagi diinduksi <math>X/A</math>. Secara umum, untuk <math>f:X \to Y</math>, '''cofiber''' <sup>hal 59</sup> didefinisikan sebagai ruang hasil bagi<blockquote><math>C_f = M_f/(A\times \{0\})</math></blockquote>yang merupakan kerucut pemetaan <math>f</math> . Secara homotopis, serat karbon bertindak sebagai coklat homotopi peta <math>f:X \to Y</math> . Faktanya, untuk ruang topologi runcing, kolom [[Homotopy colimit\|homotopi]] dari<blockquote><math>\underset{\to}{\text{hocolim}}\left(\begin{matrix}		Untuk kofibrasi <math>A \to X</math> mendefinisikan '''kofiber''' ruang hasil bagi diinduksi <math>X/A</math>. Secara umum, untuk <math>f:X \to Y</math>, '''cofiber''' <ref>May, J. Peter. [https://www.worldcat.org/oclc/41266205 A concise course in algebraic topology]. University of Chicago Press. 1999. ISBN 0-226-51182-0.</ref><sup>hal 59</sup> didefinisikan sebagai ruang hasil bagi<blockquote><math>C_f = M_f/(A\times \{0\})</math></blockquote>yang merupakan kerucut pemetaan <math>f</math> . Secara homotopis, serat karbon bertindak sebagai coklat homotopi peta <math>f:X \to Y</math> . Faktanya, untuk ruang topologi runcing, kolom [[Homotopy colimit\|homotopi]] dari<blockquote><math>\underset{\to}{\text{hocolim}}\left(\begin{matrix}
	X & \xrightarrow{f} & Y \\		X & \xrightarrow{f} & Y \\
	\downarrow & & \\		\downarrow & & \\
Baris 75:		Baris 71:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Fibrasi]]		* [[Fibrasi]]
	* [[Homotopi kolimit]]		* [[Homotopi kolimit]]
Baris 81:		Baris 76:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

	* Peter May, "A Concise Course in Algebraic Topology" : bab 6 mendefinisikan dan mendiskusikan kofibrasi, dan digunakan di seluruh
	* Ronald Brown, "Topologi dan Groupoids" ; Bab 7 berjudul "Kofibrasi", dan memiliki banyak hasil yang tidak ditemukan di tempat lain.



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kofibrasi&oldid=29448876 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29448876 (2026-07-12T13:38:22Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kofibrasi&oldid=29448876 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29448876 (2026-07-12T13:38:22Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29448876; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:24:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29448876; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], khususnya [[teori homotopi]], [[Fungsi kontinu|pemetaan kontinu]]

<math>i: A \to X</math>

di mana <math>A</math> dan <math>X</math> adalah [[ruang topologi]], '''kofibrasi''' adalah kelas homotopi peta <math>[A,S]</math> diperluas ke kelas peta homotopi <math>[X,S]</math> peta <math>f \in \text{Hom}_{Top}(A,S)</math> diperluas ke peta <math>f' \in \text{Hom}_{\textbf{Top}}(X,S)</math> di mana <math>f'\circ i = f</math>, karena kelas homotopi yang terkait adalah <math>[f] = [f'\circ i]</math>.

Jenis struktur dikodekan dengan kondisi teknis yang memiliki sifat [[Sifat ekstensi homotopi|ekstensi homotopi]] dari ruang <math>S</math>. Definisi ganda dengan [[fibrasi]], yang diperlukan untuk mengunakan sifat [[Sifat pengangkatan homotopi|pengangkatan homotopi]] dengan semua ruang. Dualitas ini secara informal disebut sebagai [[dualitas Eckmann-Hilton]]. Karena sifat umum dinyatakan, maka digunakan dalam [[kategori model]].

== Definisi ==

=== Teori homotopi ===
Peta <math>i\colon A \to X</math> ruang topologi disebut '''kofibrasi'''hal 51 jika untuk peta <math>f:A \to S</math> sedemikian rupa sehingga ekstensi ke <math>X</math>, maka peta <math>f':X \to S</math> adalah <math>f'\circ i = f</math>, dengan memperluas homotopi peta <math>H:A\times I \to S</math> ke homotopi peta <math>H': X\times I \to S</math>, dimana<blockquote><math>\begin{align}
H(a,0) &= f(a) \\
H'(x,0) &= f'(x)
\end{align}</math></blockquote>Dengan mencari kondisi dalam [[diagram komutatif]] berikut<blockquote>
</blockquote>di mana <math>S^I = \text{Hom}_{\textbf{Top}}(I,S)</math> adalah [[Fibrasi ruang jalur|ruang jalur]] <math>S</math>.

=== Objek kofibrant ===
Untuk kategori model <math>\mathcal{M}</math>, untuk ruang topologi runcing, sebuah objek <math>X</math> disebut '''cofibrant''' jika peta <math>* \to X</math> adalah kofibrasi. Perhatikan bahwa dalam [[kategori ruang topologi]] runcing, pengertian kofibrasi bertepatan dengan definisi sebelumnya dengan asumsi peta adalah peta runcing dari ruang topologi.

== Contoh ==

=== Dalam topologi ===
Kofibrasi adalah kelas peta yang canggung dari perspektif komputasi karena lebih mudah dilihat sebagai alat teknis formal yang memungkinkan seseorang untuk "melakukan" konstruksi teori homotopi dengan ruang topologi. Maka

: <math>f:X \to Y</math>

dari ruang topologi, kofibrasi terkait ruang <math>Mf</math> disebut [[peta tabung]] (di mana <math>Y</math> adalah retraksi deformasi, maka homotopi setara dengannya) yang memiliki kofibrasi terinduksi yang disebut '''mengganti peta dengan kofibrasi'''

: <math>i: X \to Mf</math>

dan peta <math>Mf \to Y</math> dengan <math>f</math> faktor melalui, artinya diagram komutatif

:

di mana <math>r</math> adalah ekuivalen homotopi.

Selain kelas contoh, maka

* Fakta yang sering digunakan adalah bahwa inklusi seluler adalah kofibrasi (jadi, misalnya, jika <math>(X, A)</math> adalah [[Pasangan CW|kompleks CW]] <math>A \to X</math> adalah kofibrasi). Fakta sebelumnya maka <math>S^{n-1} \to D^n</math> adalah kofibrasi untuk setiap <math>n</math>, dan pushout adalah peta perekatan ke <math>n-1 </math>.
* Kofibrasi dipertahankan di bawah tekanan dan komposisi, yang dinyatakan persis di bawah ini.

=== Dalam kompleks rantai ===
Jika <math>C_+(\mathcal{A})</math> menjadi kategori kompleks rantai yang <math>0</math> dalam derajat <math>q << 0</math>, kemudian ada struktur kategori model hal 1.2 di mana ekuivalen lemahnya adalah [[Isomorfisme semu]], jadi peta kompleks rantai yang [[isomorfisme]] setelah mengambil kohomologi, fibrasi yaitu epimorfisme, dan kofibrasi diberikan oleh peta<blockquote><math>i:C_\bullet \to D_\bullet</math></blockquote>bersifat injektif dan kompleks kokernel <math>\text{Koker}(i)_\bullet</math> adalah kompleks [[objek proyektif]] di <math>\mathcal{A}</math> . Selain itu, '''objek kofibrant''' adalah kompleks objeknya adalah objek proyektif <math>\mathcal{A}</math>.

=== Himpunan semi-sederhana ===
Untuk kategori <math>ss\textbf{Himpunan}</math> dari himpunan semi-sederhana hal 1.3 (tidak menggunakan peta degenerasi naik dalam derajat), terdapat struktur kategori model dengan fibrasi yang diberikan oleh fibrasi, peta injeksi kofibrasi, dan ekuivalen lemah diberikan realisasi geometris.

== Sifat ==

* Untuk [[ruang Hausdorff]], setiap kofibrasi adalah inklusi tertutup (injektif dengan gambar tertutup); hasilnya juga menggeneralisasi [[Ruang Hausdorff yang lemah|ruang Hausdorff lemah]].
* [[Pushout (teori kategori)|Pushout]] dari suatu kofibrasi adalah kofibrasi. Artinya, jika <math>g\colon A\to B</math> adalah peta (kontinu) apa pun (antara ruang yang dibuat secara kompak), dan <math>i\colon A\to X</math> adalah kofibrasi, lalu peta yang diinduksi <math>B\to B\cup_g X</math> adalah kofibrasi.
* [[Peta tabung]] dapat dipahami sebagai dorongan dari <math>i\colon A\to X</math> dan embedding (di salah satu ujung interval unit) <math>i_0\colon A\to A\times I</math> . Artinya, silinder pemetaan dapat didefinisikan sebagai <math>Mi=X\cup_i(A\times I)</math>. Dengan [[sifat universal]] pushout, <math>i</math> adalah kofibrasi tepat ketika peta pemetaan dapat dibangun untuk setiap ruang ''X.''
* Setiap peta dapat diganti dengan kofibrasi melalui konstruksi [[peta tabung]]. Artinya, diberikan peta yang berubah-ubah (berkelanjutan) <math>f\colon X\to Y</math> (antara ruang yang dihasilkan secara kompak), seseorang mendefinisikan tabung pemetaan

:: <math>Mf=Y\cup_f(X\times I)</math> .
: Satu kemudian dikomposisi <math>f</math> dalam komposit kofibrasi dan [[ekuivalen homotopi]]. <math>f</math> ditulis sebagai peta
:: <math>X \xrightarrow{j} Mf\xrightarrow{r} Y</math>
: dengan <math>f=rj</math>, kapan <math>j\colon x\mapsto (x,0)</math> adalah inklusi, dan <math>r\colon y\mapsto y</math> di <math>Y</math> dan <math>r\colon(x,s)\mapsto f(x)</math> di <math>X\times I</math> .

* Kofibrasi (''A'', ''X''), jika dan hanya jika [[Deformasi ditarik kembali|retraksi]] dari <math> X \times I </math> untuk <math> (A \times I) \cup (X \times \{0\})</math>, karena ini adalah [[Pushout (teori kategori)|pushout]] dan dengan demikian menginduksi peta ke setiap ruang yang masuk akal dalam diagram.
* Persamaan yang serupa dapat dinyatakan untuk pasangan deformasi-retraksi, dan untuk pasangan deformasi-retraksi lingkungan.

== Konstruksi dengan kofibrasi ==

=== Pengganti Kofibrant ===
Perhatikan bahwa dalam kategori model <math>\mathcal{M}</math> jika <math>i:* \to X</math> bukan kofibrasi, maka silinder pemetaan <math>Mi</math> membentuk '''pengganti kofibrant''' . Faktanya, jika kita bekerja hanya dalam kategori ruang topologi, penggantian kofibran untuk peta apa pun dari titik ke ruang membentuk pengganti kofibran.

=== Kofiber ===
Untuk kofibrasi <math>A \to X</math> mendefinisikan '''kofiber''' ruang hasil bagi diinduksi <math>X/A</math>. Secara umum, untuk <math>f:X \to Y</math>, '''cofiber''' hal 59 didefinisikan sebagai ruang hasil bagi<blockquote><math>C_f = M_f/(A\times \{0\})</math></blockquote>yang merupakan kerucut pemetaan <math>f</math> . Secara homotopis, serat karbon bertindak sebagai coklat homotopi peta <math>f:X \to Y</math> . Faktanya, untuk ruang topologi runcing, kolom [[Homotopy colimit|homotopi]] dari<blockquote><math>\underset{\to}{\text{hocolim}}\left(\begin{matrix}
X & \xrightarrow{f} & Y \\
\downarrow & & \\
*
\end{matrix}\right) = C_f</math></blockquote>Faktanya, urutan peta <math>X \to Y \to C_f</math> dilengkapi dengan [[Urutan Cofiber|urutan kofiber]] dengan [[Segitiga yang dibedakan|segitiga distiguisi]] dalam kategori triangulasi.

== Lihat pula ==

* [[Fibrasi]]
* [[Homotopi kolimit]]
* [[Homotopi fiber]]

== Referensi ==

* Peter May, "A Concise Course in Algebraic Topology" : bab 6 mendefinisikan dan mendiskusikan kofibrasi, dan digunakan di seluruh
* Ronald Brown, "Topologi dan Groupoids" ; Bab 7 berjudul "Kofibrasi", dan memiliki banyak hasil yang tidak ditemukan di tempat lain.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kofibrasi&oldid=29448876 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29448876 (2026-07-12T13:38:22Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.