Kongruen - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:11:11Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.11
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[geometri]], dua bangun datar atau objek lainnya disebut (saling) '''kongruen''' jika keduanya memiliki bentuk dan ukuran yang sama, atau salah satunya memiliki bentuk dan ukuran yang sama dari [[Refleksi\|cerminan]] dari yang lain.		Dalam [[geometri]], dua bangun datar atau objek lainnya disebut (saling) '''kongruen''' jika keduanya memiliki bentuk dan ukuran yang sama, atau salah satunya memiliki bentuk dan ukuran yang sama dari [[Refleksi\|cerminan]] dari yang lain.<ref>C. Clapham. [http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures]. Addison-Wesley. 2009. hlm. 167.</ref>

	== Definisi ==		== Definisi ==
	Secara lebih formal, dua himpunan [[Titik (geometri)\|titik]] dikatakan '''kongruen''' jika dan hanya jika, himpunan yang satu dapat ditranformasi menjadi himpunan yang lain lewat [[isometri]]—dengan kata lain, kombinasi dari [[Translasi (geometri)\|translasi]], [[rotasi]], dan [[refleksi]]. Hal ini mengartikan satu objek dapat dipindahkan dan dicerminkan (namun tidak diubah ukurannya) agar dapat tepat bertumpuk dengan objek lainnya.		Secara lebih formal, dua himpunan [[Titik (geometri)\|titik]] dikatakan '''kongruen''' jika dan hanya jika, himpunan yang satu dapat ditranformasi menjadi himpunan yang lain lewat [[isometri]]—dengan kata lain, kombinasi dari [[Translasi (geometri)\|translasi]], [[rotasi]], dan [[refleksi]]. Hal ini mengartikan satu objek dapat dipindahkan dan dicerminkan (namun tidak diubah ukurannya) agar dapat tepat bertumpuk dengan objek lainnya.

	Pada geometri dasar, kata kongruen (terkadang digantikan dengan kata ''sama'') sering digunakan untuk hal-hal berikut:		Pada geometri dasar, kata kongruen (terkadang digantikan dengan kata ''sama'') sering digunakan untuk hal-hal berikut:<ref>[http://mathopenref.com/congruent.html Congruence]. Math Open Reference. 2009.</ref>

	* Dua segmen [[garis]] kongruen jika keduanya memiliki panjang yang sama.		* Dua segmen [[garis]] kongruen jika keduanya memiliki panjang yang sama.
Baris 17:		Baris 17:

	== Kekongruenan objek ==		== Kekongruenan objek ==

	=== Segitiga ===		=== Segitiga ===

	Jika sebuah [[segitiga]] <math>\triangle \mathrm{ABC}</math> kongruen dengan segitiga <math>\triangle \mathrm{DEF}</math>, hubungan keduanya dapat dituliskan secara matematis sebagai		Jika sebuah [[segitiga]] <math>\triangle \mathrm{ABC}</math> kongruen dengan segitiga <math>\triangle \mathrm{DEF}</math>, hubungan keduanya dapat dituliskan secara matematis sebagai

Baris 36:		Baris 34:

	=== Polihedron ===		=== Polihedron ===
	Untuk dua [[Polihedron\|polyhedron]] dengan jumlah tepi <math>E</math>, jumlah muka, dan jumlah sisi yang sama, memiliki suatu himpunan paling banyak <math>E</math> pengukuran untuk mengecek apakah sifat kekongruenan keduanya. Untuk [[kubus]] yang memiliki 12 tepi, hanya memerlukan paling banyak 9 pengukuran untuk mengecek sifat kekongruenan.		Untuk dua [[Polihedron\|polyhedron]] dengan jumlah tepi <math>E</math>, jumlah muka, dan jumlah sisi yang sama, memiliki suatu himpunan paling banyak <math>E</math> pengukuran untuk mengecek apakah sifat kekongruenan keduanya.<ref>Alexander Borisov. ''A Congruence Problem for Polyhedra''. ''American Mathematical Monthly''. March 2010. Vol. 117. hlm. 232–249. doi:10.4169/000298910X480081.</ref><ref>Alexa Creech. [http://146.163.152.131/teaching/projects/creech_final.pdf A Congruence Problem].</ref> Untuk [[kubus]] yang memiliki 12 tepi, hanya memerlukan paling banyak 9 pengukuran untuk mengecek sifat kekongruenan.

	=== Poligon ===		=== Poligon ===

	Agar dua poligon kongruen, keduanya perlu memiliki jumlah sisi yang sama (juga berarti memiliki jumlah titik yang sama) dan memiliki barisan sisi-sudut-sisi-sudut-... yang sama.		Agar dua poligon kongruen, keduanya perlu memiliki jumlah sisi yang sama (juga berarti memiliki jumlah titik yang sama) dan memiliki barisan sisi-sudut-sisi-sudut-... yang sama.

	=== Segitiga pada permukaan bola ===		=== Segitiga pada permukaan bola ===
	Serupa dengan pada bidang datar, dua segitiga pada permukaan bola yang memenuhi kondisi sudut-sisi-sudut ('''ASA''') saling kongruen. Teorema kekongruenan sisi-sudut-sisi ('''SAS''') dan sisi-sisi-sisi ('''SSS''') juga berlaku pada permukaan bola. Selain itu, jika dua segitiga memiliki besar sudut-sudut-sudut ('''AAA''') yang sama, keduanya saling kongruen. Hal ini berbeda dengan segitiga pada geometri Euklides, karena jumlah ketiga sudut segitiga pada permukaan bola berhubungan dengan ukuran segitiga.		Serupa dengan pada bidang datar, dua segitiga pada permukaan bola yang memenuhi kondisi sudut-sisi-sudut ('''ASA''') saling kongruen.<ref>Michael Bolin. [http://math.iit.edu/~mccomic/420/notes/Bolin_spherical.pdf#page=6 Exploration of Spherical Geometry]. September 9, 2003. hlm. 6–7.</ref> Teorema kekongruenan sisi-sudut-sisi ('''SAS''') dan sisi-sisi-sisi ('''SSS''') juga berlaku pada permukaan bola. Selain itu, jika dua segitiga memiliki besar sudut-sudut-sudut ('''AAA''') yang sama, keduanya saling kongruen.<ref>Michael Bolin. [http://math.iit.edu/~mccomic/420/notes/Bolin_spherical.pdf#page=6 Exploration of Spherical Geometry]. September 9, 2003. hlm. 6–7.</ref> Hal ini berbeda dengan segitiga pada geometri Euklides, karena jumlah ketiga sudut segitiga pada permukaan bola berhubungan dengan ukuran segitiga.

	Teorema sudut-sudut-sisi ('''AAS''') tidak berlaku pada permukaan bola. Seperti pada bidang datar, sisi-sisi-sudut ('''SSA''') tidak berlaku pada permukaan bola.		Teorema sudut-sudut-sisi ('''AAS''') tidak berlaku pada permukaan bola.<ref>L. Hollyer. [http://www.uh.edu/~hollyer/Module6/m6ppt/sld089.htm Slide 89 of 112].</ref> Seperti pada bidang datar, sisi-sisi-sudut ('''SSA''') tidak berlaku pada permukaan bola.

	== Notasi ==		== Notasi ==
	Simbol yang umumnya digunakan untuk menandakan kekongruenan adalah simbol sama dengan dengan [[tilde]] di atasnya, ≅, berhubungan dengan karakter [[Unicode]] '''approximately equal to''<nowiki/>' (U+2245). Di beberapa tempat seperti Britania Raya, simbol sama dengan dengan tiga garis ≡ (U+2261) terkadang digunakan.		Simbol yang umumnya digunakan untuk menandakan kekongruenan adalah simbol sama dengan dengan [[tilde]] di atasnya, ≅, berhubungan dengan karakter [[Unicode]] '''approximately equal to''<nowiki/>' (U+2245). Di beberapa tempat seperti Britania Raya, simbol sama dengan dengan tiga garis ≡ (U+2261) terkadang digunakan.

	~~== Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==

	* [https://web.archive.org/web/20160531042730/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSS.shtml Teorema SSS] di [[Cut-the-Knot]]		* [https://web.archive.org/web/20160531042730/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSS.shtml Teorema SSS] di [[Cut-the-Knot]]
	* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSA.shtml Teorema SSA] di [[Cut-the-Knot]]		* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSA.shtml Teorema SSA] di [[Cut-the-Knot]]
	* Animasi interaktif yang mendemonstrasikan kekongruenan dua [http://www.mathopenref.com/congruentpolygons.html poligon], [http://www.mathopenref.com/congruentangles.html sudut], [http://www.mathopenref.com/congruentlines.html segmen garis], [http://www.mathopenref.com/congruenttriangles.html segitiga], di Math Open Reference		* Animasi interaktif yang mendemonstrasikan kekongruenan dua [http://www.mathopenref.com/congruentpolygons.html poligon], [http://www.mathopenref.com/congruentangles.html sudut], [http://www.mathopenref.com/congruentlines.html segmen garis], [http://www.mathopenref.com/congruenttriangles.html segitiga], di Math Open Reference

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kongruen&oldid=28911078 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28911078 (2026-01-30T15:39:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kongruen&oldid=28911078 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28911078 (2026-01-30T15:39:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28911078; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:50:08Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28911078; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[geometri]], dua bangun datar atau objek lainnya disebut (saling) '''kongruen''' jika keduanya memiliki bentuk dan ukuran yang sama, atau salah satunya memiliki bentuk dan ukuran yang sama dari [[Refleksi|cerminan]] dari yang lain.

== Definisi ==
Secara lebih formal, dua himpunan [[Titik (geometri)|titik]] dikatakan '''kongruen''' jika dan hanya jika, himpunan yang satu dapat ditranformasi menjadi himpunan yang lain lewat [[isometri]]—dengan kata lain, kombinasi dari [[Translasi (geometri)|translasi]], [[rotasi]], dan [[refleksi]]. Hal ini mengartikan satu objek dapat dipindahkan dan dicerminkan (namun tidak diubah ukurannya) agar dapat tepat bertumpuk dengan objek lainnya.

Pada geometri dasar, kata kongruen (terkadang digantikan dengan kata ''sama'') sering digunakan untuk hal-hal berikut:

* Dua segmen [[garis]] kongruen jika keduanya memiliki panjang yang sama.
* Dua sudut kongruen jika keduanya memiliki besar yang sama.
* Dua lingkaran kongruen jika keduanya memiliki panjang diameter yang sama.

Dalam konteks ini, dua bangun datar yang kongruen menyiratkan keduanya memiliki karakteristik yang sama, tidak hanya sisi dan sudut yang bersesuaian, tetapi juga termasuk diagonal, keliling, dan luasnya.

Pada [[Geometri analitis|geometeri analitis]], sifat kekongruenan juga dapat didefinisikan secara intuitif: dua pemetaan ke dalam satu [[sistem koordinat Kartesius]] saling kongruen, jika dan hanya jika, untuk ''setiap'' dua titik dalam pemetaan pertama, [[jarak Euklides]] keduanya sama dengan jarak Euklides titik-titik yang bersesuaian dalam pemetaan kedua. Dalam bahasa yang lebih formal, dua [[Himpunan bagian|subset]] <math>A</math> dan <math>B</math> dari [[ruang Euklides]] <math>\mathbb{R}^n</math> dikatakan kongruen jika terdapat isometri <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> (dari [[grup Euklides]] <math>E(n)
</math>) yang memenuhi <math>F(A) = B
</math>. Kekongruenan termasuk dalam [[relasi ekuivalensi]].

== Kekongruenan objek ==

=== Segitiga ===

Jika sebuah [[segitiga]] <math>\triangle \mathrm{ABC}</math> kongruen dengan segitiga <math>\triangle \mathrm{DEF}</math>, hubungan keduanya dapat dituliskan secara matematis sebagai

: <math>\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}</math>.

Pada kebanyakan kasus, dua segitiga dapat disimpulkan kongruen cukup dengan mengecek apakah keduanya memenuhi salah satu keadaan berikut:

* '''SAS''' (''Side-Angle-Side'', Sisi-Sudut-Sisi): Jika dua sisi pada kedua segitiga memiliki panjang yang sama, dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
* '''SSS''' (''Side-Side-Side'', Sisi-Sisi-Sisi): Jika ketiga sisi pada kedua segitiga memiliki panjang yang sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
* '''ASA''' (''Angle-Side-Angle'', Sudut-Sisi-Sudut): Jika dua sudut pada kedua segitiga memiliki besar yang sama, dan sisi yang diapit oleh kedua sudut tersebut memiliki panjang yang sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Postulat '''ASA''' adalah hasil kontribusi [[Thales|Thales dari Miletus]]. Pada kebanyakan sistem aksioma, ketiga kriteria ini – '''SAS''', '''SSS''' dan '''ASA''' – ditetapkan sebagai [[teorema]]. Pada [[geometri Euklides]], nilai Sudut-Sudut-Sudut, '''AAA''' (Angle-Angle-Angle), tidak memberikan informasi apapun mengenai ukuran segitiga, sehingga hanya dapat menyimpulkan sifat kesebangunan. Namun, pada [[geometri bola]] dan [[geometri hiperbolik]], dengan sifat ukuran segitiga berhubungan dengan total sudut-sudutnya, '''AAA''' cukup untuk menyimpulkan kekongruenan.

=== Irisan kerucut ===
Dua [[irisan kerucut]] kongruen jika [[Eksentrisitas (matematika)|eksentrisitas]] dan salah satu parameter mereka yang lainnya bernilai sama. Karena eksentrisitas berhubungan dengan bentuk, kesamaan antar keduanya cukup untuk menyimpulkan kesebangunan, sedangkan parameter yang lain untuk menyimpulkan ukuran. Karena dua [[lingkaran]], dua [[parabola]], maupun dua [[Hiperbola (geometri)|hiperbola]] memiliki eksentrisitas yang sama (yakni secara berurutan bernilai 0, 1, dan <math>\sqrt{2}</math>), mereka cukup memiliki satu parameter lain untuk menyimpulkan ukuran. Pada kasus lingkaran, hal ini dapat berupa radius, diameter, keliling, atau luas daerahnya.

=== Polihedron ===
Untuk dua [[Polihedron|polyhedron]] dengan jumlah tepi <math>E</math>, jumlah muka, dan jumlah sisi yang sama, memiliki suatu himpunan paling banyak <math>E</math> pengukuran untuk mengecek apakah sifat kekongruenan keduanya. Untuk [[kubus]] yang memiliki 12 tepi, hanya memerlukan paling banyak 9 pengukuran untuk mengecek sifat kekongruenan.

=== Poligon ===

Agar dua poligon kongruen, keduanya perlu memiliki jumlah sisi yang sama (juga berarti memiliki jumlah titik yang sama) dan memiliki barisan sisi-sudut-sisi-sudut-... yang sama.

=== Segitiga pada permukaan bola ===
Serupa dengan pada bidang datar, dua segitiga pada permukaan bola yang memenuhi kondisi sudut-sisi-sudut ('''ASA''') saling kongruen. Teorema kekongruenan sisi-sudut-sisi ('''SAS''') dan sisi-sisi-sisi ('''SSS''') juga berlaku pada permukaan bola. Selain itu, jika dua segitiga memiliki besar sudut-sudut-sudut ('''AAA''') yang sama, keduanya saling kongruen. Hal ini berbeda dengan segitiga pada geometri Euklides, karena jumlah ketiga sudut segitiga pada permukaan bola berhubungan dengan ukuran segitiga.

Teorema sudut-sudut-sisi ('''AAS''') tidak berlaku pada permukaan bola. Seperti pada bidang datar, sisi-sisi-sudut ('''SSA''') tidak berlaku pada permukaan bola.

== Notasi ==
Simbol yang umumnya digunakan untuk menandakan kekongruenan adalah simbol sama dengan dengan [[tilde]] di atasnya, ≅, berhubungan dengan karakter [[Unicode]] '''approximately equal to''<nowiki/>' (U+2245). Di beberapa tempat seperti Britania Raya, simbol sama dengan dengan tiga garis ≡ (U+2261) terkadang digunakan.

== Referensi ==

== Pranala luar ==

* [https://web.archive.org/web/20160531042730/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSS.shtml Teorema SSS] di [[Cut-the-Knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSA.shtml Teorema SSA] di [[Cut-the-Knot]]
* Animasi interaktif yang mendemonstrasikan kekongruenan dua [http://www.mathopenref.com/congruentpolygons.html poligon], [http://www.mathopenref.com/congruentangles.html sudut], [http://www.mathopenref.com/congruentlines.html segmen garis], [http://www.mathopenref.com/congruenttriangles.html segitiga], di Math Open Reference

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kongruen&oldid=28911078 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28911078 (2026-01-30T15:39:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.