Konjugat kompleks - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:02:08Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.02
Baris 11:		Baris 11:
	Sifat-sifat berikut berlaku untuk sembarang bilangan kompleks <math>z</math> dan <math>w,</math> kecuali dinyatakan sebaliknya, dan dapat dibuktikan dengan menuliskan <math>z</math> dan <math>w</math> dalam bentuk <math>a + b i.</math>		Sifat-sifat berikut berlaku untuk sembarang bilangan kompleks <math>z</math> dan <math>w,</math> kecuali dinyatakan sebaliknya, dan dapat dibuktikan dengan menuliskan <math>z</math> dan <math>w</math> dalam bentuk <math>a + b i.</math>

	* Untuk sembarang dua bilangan kompleks, konjugat bersifat [[Sifat distributif\|distributif]] terhadap penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian:<math display="block">\begin{align}		* Untuk sembarang dua bilangan kompleks, konjugat bersifat [[Sifat distributif\|distributif]] terhadap penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian:<ref>Stephen Friedberg. ''Linear Algebra''. 2018. ISBN 978-0134860244., Appendix D</ref><math display="block">\begin{align}
	\overline{z + w} &= \overline{z} + \overline{w}, \\		\overline{z + w} &= \overline{z} + \overline{w}, \\
	\overline{z - w} &= \overline{z} - \overline{w}, \\		\overline{z - w} &= \overline{z} - \overline{w}, \\
Baris 19:		Baris 19:
	* Bilangan kompleks akan bernilai sama dengan konjugat kompleksnya jika bagian imajinernya bernilai nol, atau dengan kata lain, ketika bilangan tersebut real. Hal ini mengartikan bilangan real adalah satu-satunya [[Titik tetap (matematika)\|titik tetap]] konjugat.		* Bilangan kompleks akan bernilai sama dengan konjugat kompleksnya jika bagian imajinernya bernilai nol, atau dengan kata lain, ketika bilangan tersebut real. Hal ini mengartikan bilangan real adalah satu-satunya [[Titik tetap (matematika)\|titik tetap]] konjugat.
	* Konjugat tidak akan mengubah modulus dari bilangan kompleks: <math>\left\| \overline{z} \right\| = \|z\|.</math>		* Konjugat tidak akan mengubah modulus dari bilangan kompleks: <math>\left\| \overline{z} \right\| = \|z\|.</math>
	* Konjugat adalah suatu [[Involusi (matematika)\|involusi]], yakni, konjugat dari konjugat dari suatu bilangan kompleks <math>z</math> adalah <math>z.</math> Dalam bentuk simbol, <math>\overline{\overline{z}} = z.</math>		* Konjugat adalah suatu [[Involusi (matematika)\|involusi]], yakni, konjugat dari konjugat dari suatu bilangan kompleks <math>z</math> adalah <math>z.</math> Dalam bentuk simbol, <math>\overline{\overline{z}} = z.</math><ref>Stephen Friedberg. ''Linear Algebra''. 2018. ISBN 978-0134860244., Appendix D</ref>
	* Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan bernilai sama dengan kuadrat modulus bilangan tersebut. Hal ini memungkinkan perhitungan mudah untuk [[invers perkalian]] bilangan kompleks dalam koordinat kartesius:<math display="block">\begin{align}		* Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan bernilai sama dengan kuadrat modulus bilangan tersebut. Hal ini memungkinkan perhitungan mudah untuk [[invers perkalian]] bilangan kompleks dalam koordinat kartesius:<math display="block">\begin{align}
	z\overline{z} &= {\left\| z \right\|}^2\\		z\overline{z} &= {\left\| z \right\|}^2\\
Baris 28:		Baris 28:

	Lebih lanjut, <math>\overline{z}</math> dapat digunakan untuk menyatakan garis pada bidang: himpunan <math>\left\{z : z \overline{r} + \overline{z} r = 0 \right\}</math> adalah garis yang melalui titik asal dan tegak lurus dengan <math>{r},</math> karena bagian real dari <math>z\cdot\overline{r}</math> bernilai nol hanya jika kosinus sudut antara <math>z</math> dan <math>{r}</math> bernilai nol. Serupa dengan itu, untuk satuan (''unit'') kompleks <math>u = e^{i b}</math> yang ditetapkan, persamaan<math display="block">\frac{z - z_0}{\overline{z} - \overline{z_0}} = u^2</math>merepresentasikan garis yang melalui <math>z_0</math>, dan paralel dengan garis yang melalui 0 dan <math>u.</math>		Lebih lanjut, <math>\overline{z}</math> dapat digunakan untuk menyatakan garis pada bidang: himpunan <math>\left\{z : z \overline{r} + \overline{z} r = 0 \right\}</math> adalah garis yang melalui titik asal dan tegak lurus dengan <math>{r},</math> karena bagian real dari <math>z\cdot\overline{r}</math> bernilai nol hanya jika kosinus sudut antara <math>z</math> dan <math>{r}</math> bernilai nol. Serupa dengan itu, untuk satuan (''unit'') kompleks <math>u = e^{i b}</math> yang ditetapkan, persamaan<math display="block">\frac{z - z_0}{\overline{z} - \overline{z_0}} = u^2</math>merepresentasikan garis yang melalui <math>z_0</math>, dan paralel dengan garis yang melalui 0 dan <math>u.</math>

	~~== Referensi ==~~


	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==

	* Budinich, P. and Trautman, A. ''The Spinorial Chessboard''. Springer-Verlag, 1988. . (antilinear maps are discussed in section 3.3).		* Budinich, P. and Trautman, A. ''The Spinorial Chessboard''. Springer-Verlag, 1988. . (antilinear maps are discussed in section 3.3).

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjugat+kompleks&oldid=27503421 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27503421 (2025-07-06T06:37:46Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjugat+kompleks&oldid=27503421 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27503421 (2025-07-06T06:37:46Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27503421; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:28:23Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27503421; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''konjugat kompleks''' dari suatu [[bilangan kompleks]] adalah bilangan yang memiliki bagian [[Bilangan real|real]] yang sama dan bagian [[Bilangan imajiner|imajiner]] yang sama namun berbeda [[Tanda (matematika)|tanda]]. Dengan kata lain, (jika <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan real, maka) konjugat kompleks dari <math> a + bi</math> adalah <math>a - bi.</math> Konjugat kompleks dari <math>z</math> umum dinyatakan sebagai <math>\overline{z}</math> atau <math>z^*.</math> Dalam [[Sistem koordinat polar|bentuk polar]], konjugat dari <math>r e^{i \varphi}</math> adalah <math>r e^{-i \varphi}.</math> Hal ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan [[rumus Euler]].

Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan berupa bilangan real <math>a^2 + b^2</math> (atau <math>r^2</math> dalam [[Sistem koordinat polar|koordinat polar]]).

Jika suatu polinomial satu variabel memiliki akar berupa bilangan kompleks, maka konjugat kompleksnya juga merupakan akar polinomial tersebut.

== Notasi ==
Konjugat kompleks dari sebuah bilangan kompleks <math>z</math> ditulis sebagai <math>\overline z</math> atau <math>z^*.</math> Notasi yang pertama umum digunakan di matematika untuk menghindari kebingungan dengan notasi untuk [[transpos konjugat]] dari sebuah matriks, yang dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Notasi yang kedua umum ditemukan di [[fisika]], sedangkan simbol [[Dagger (tipografi)|dagger]] (†) digunakan untuk menyatakan transpos konjugat; juga di bidang teknik listrik dan [[teknik komputer]], yang notasi bar dapat dibingungkan dengan dengan simbol [[aljabar Boolean]] untuk [[negasi]] ("NOT").

== Sifat ==
Sifat-sifat berikut berlaku untuk sembarang bilangan kompleks <math>z</math> dan <math>w,</math> kecuali dinyatakan sebaliknya, dan dapat dibuktikan dengan menuliskan <math>z</math> dan <math>w</math> dalam bentuk <math>a + b i.</math>

* Untuk sembarang dua bilangan kompleks, konjugat bersifat [[Sifat distributif|distributif]] terhadap penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian:<math display="block">\begin{align}
\overline{z + w} &= \overline{z} + \overline{w}, \\
\overline{z - w} &= \overline{z} - \overline{w}, \\
\overline{zw} &= \overline{z} \; \overline{w}, \quad \text{dan} \\
\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} &= \frac{\overline{z}}{\overline{w}},\quad \text{jika } w \neq 0.
\end{align}</math>
* Bilangan kompleks akan bernilai sama dengan konjugat kompleksnya jika bagian imajinernya bernilai nol, atau dengan kata lain, ketika bilangan tersebut real. Hal ini mengartikan bilangan real adalah satu-satunya [[Titik tetap (matematika)|titik tetap]] konjugat.
* Konjugat tidak akan mengubah modulus dari bilangan kompleks: <math>\left| \overline{z} \right| = |z|.</math>
* Konjugat adalah suatu [[Involusi (matematika)|involusi]], yakni, konjugat dari konjugat dari suatu bilangan kompleks <math>z</math> adalah <math>z.</math> Dalam bentuk simbol, <math>\overline{\overline{z}} = z.</math>
* Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan bernilai sama dengan kuadrat modulus bilangan tersebut. Hal ini memungkinkan perhitungan mudah untuk [[invers perkalian]] bilangan kompleks dalam koordinat kartesius:<math display="block">\begin{align}
z\overline{z} &= {\left| z \right|}^2\\
z^{-1} &= \frac{\overline{z}}{2}</math>
* Bagian imajiner: <math>y = \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}</math>
* [[Nilai absolut|Modulus (atau nilai mutlak)]]: <math>r= \left| z \right| = \sqrt{z\overline{z}}</math>
* [[Argumen (analisis kompleks)|Argumen]]: <math>e^{i\theta} = e^{i\arg z} = \sqrt{\dfrac{z}{\overline z}},</math> maka <math>\theta = \arg z = \dfrac{1}{i} \ln\sqrt{\frac{z}{\overline{z}}} = \dfrac{\ln z - \ln \overline{z}}{2i}</math>

Lebih lanjut, <math>\overline{z}</math> dapat digunakan untuk menyatakan garis pada bidang: himpunan <math>\left\{z : z \overline{r} + \overline{z} r = 0 \right\}</math> adalah garis yang melalui titik asal dan tegak lurus dengan <math>{r},</math> karena bagian real dari <math>z\cdot\overline{r}</math> bernilai nol hanya jika kosinus sudut antara <math>z</math> dan <math>{r}</math> bernilai nol. Serupa dengan itu, untuk satuan (''unit'') kompleks <math>u = e^{i b}</math> yang ditetapkan, persamaan<math display="block">\frac{z - z_0}{\overline{z} - \overline{z_0}} = u^2</math>merepresentasikan garis yang melalui <math>z_0</math>, dan paralel dengan garis yang melalui 0 dan <math>u.</math>

== Referensi ==

== Daftar pustaka ==

* Budinich, P. and Trautman, A. ''The Spinorial Chessboard''. Springer-Verlag, 1988. . (antilinear maps are discussed in section 3.3).

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjugat+kompleks&oldid=27503421 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27503421 (2025-07-06T06:37:46Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.