Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:07:36Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26887741; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:42:07Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26887741; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

}}}</math>
|continued_fraction_linear=
|binary=
|hexadecimal=
}}

Dalam [[matematika]], '''konstanta Apéry''' adalah [[penjumlahan|jumlah]] dari [[invers perkalian]] denagan pangkat kubik positif. Artinya, konstanta Apéry didefinisikan sebagai bilangan<math display="block">\begin{align}\zeta(3) &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} \\&= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}\right)\end{align}</math>dengan adalah [[fungsi zeta Riemann]]. Bilangan ini memiliki nilai yang kira-kira sama dengan

: .

Konstanta Apéry dinamai dari [[Roger Apéry]]. Konstanta ini biasanya ditemukan dalam sejumlah masalah fisik, di antaranya dalam suku orde kedua dan ketiga [[Rasio giromagnetik|rasio gyromagnetic]] elektron dengan menggunakan [[elektrodinamika kuantum]]. Konstanta ini juga ditemukan dalam analisis [[pohon rentang minimum acak]], serta mempunyai hubungan dengan [[fungsi gamma]] ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi, yang kadangkala ditemukan dalam fisika, sebagai contoh, ketika mengevaluasi kasus dimensi dua dari [[model Debye]] dan [[hukum Stefan–Boltzmann]].

== Bilangan irasional ==
disebut sebagai konstanta Apéry, konstanta yang dinamai dari matematikawan berkebangsaan Prancis, [[Roger Apéry]]. Roger Apéry membuktikan bahwa konstanta itu adalah [[bilangan irasional]] pada tahun 1978. Hasil tersebut dikenal sebagai [[teorema Apéry]]. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami, tetapi kemudian ditemukan bukti yang lebih sederhana.

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integran dari integral rangkap tiga untuk <math>\zeta(3)</math>,<math display="block">\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,</math>
dengan menggunakan [[polinomial Legendre]]. Secara khusus, artikel van der Poorten menulis pendekatan ini dengan menyatakan bahwa <math display="block">I_3 := -\frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^1 \frac{P_n(x) P_n(y) \log(xy)}{1-xy}\, dx\, dy = b_n \zeta(3) - a_n, </math>

dengan <math display="inline">|I| \leq \zeta(3) (1-\sqrt{2})^{4n}</math>, <math display="inline">P_n(z)</math> adalah [[polinomial Legendre]], dan [[suburutan]] <math display="inline">b_n, 2 \operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n) \cdot a_n \in \mathbb{Z}</math> adalah [[bilangan bulat]] atau [[hampir bilangan bulat]]. Akan tetapi, masalah yang menanyakan apakah konstanta Apéry adalah [[bilangan transendental|transendental]] masih belum terpecahkan.

== Representasi deret ==

=== Klasik ===
Selain mempunyai deret<math display="block">\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3},</math>[[Leonhard Euler]] memberikan representasi deret<math display="block">\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left( 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {2^{2k}(2k+1)(2k+2)} \right)</math>pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali.
=== Konvergensi cepat ===
Sejak pada abad ke-19, sejumlah matematikawwan telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung letak desimal . Sejak pada tahun 1990-an, terdapat riset yang bertujuan untuk mencari deret yang efisien secara komputasional dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "[[Tetapan Apéry#Digit yang diketahui|Digit yang diketahui]]").

Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Andrey Markov]] pada tahun 1890, kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953, dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:<math display="block">\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k!^2}{(2k)!k^3}.</math>Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal terbaru per suku:<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!^3(56k^2 - 32k + 5)}{(2k-1)^2(3k)!}.</math>

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan terbaru per suku:<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{k!^{10}(205k^2 + 250k + 77)}{(2k+1)!^5}.</math>

Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k+1)!^3(2k)!^3k!^3(126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^3}.</math>Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan jutaan pembulatan letak desimal.

Representasi deret berikut ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005, yang memberikan (secara asimtotik) 3,92 dengan pembulatan letak desimal desimal terbaru per suku:<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{2}\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!^3(k+1)!^6(40885k^5 + 124346k^4 + 150160k^3 + 89888k^2 + 26629k + 3116)}{(k+1)^2(3k+3)!^4}.</math>

=== Perhitungan menggunakan digit ===
Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan representasi deret yang memungkinkan menghitung [[digit biner]] sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam [[waktu linier]] dekat, dan [[ruang logaritma]].

=== Representasi deret lainnya ===
Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Ramanujan]]:<math display="block">\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}.</math>

Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Simon Plouffe]] pada tahun 1998:<math display="block">\zeta(3)= 14 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}-\frac{11}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}-\frac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)}.</math>

mengumpulkan banyak deret yang konvergen menuju ke konstanta Apéry.

== Representasi integral ==
Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Ada representasi integral yang sederhana, adapula yang tidak.

=== Rumus yang lebih rumit ===
Terdapat rumus lain, yaitu<math display="block">\zeta(3)=\pi\!\!\int_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\arctan{x})}{\left(x^2+1\right)\left(\cosh\frac{1}{2}\pi x\right)^2}\, dx,</math>dan<math display="block">\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy = -\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(1-xy)}{\,xy\,}\, dx \, dy.</math>

Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:<math display="block">\begin{align} \zeta(3) &= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \\&= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_1^\infty \!\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx.\end{align}</math>Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari [[fungsi gamma]]<math display="block">\zeta(3) = -\tfrac{1}{2}\Gamma'''(1)+\tfrac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- \big(\Gamma'(1)\big)^3 = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1),</math>dan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan [[fungsi poligamma]].
== Digit yang diketahui ==
Selama beberapa dekade terakhir, jumlah digit yang diketahui dari konstanta Apéry semakin banyak. Hal ini disebabkan karena peningkatan kinerja komputer dan [[Algoritma|algoritme]] yang berkembang.

== Lihat pula ==
*[[Fungsi zeta Riemann]]
*[[Masalah Basel]] —
*[[Daftar jumlah timbal balik]]

== Catatan ==

== Referensi ==

*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
* (Message to Simon Plouffe, with all decimal places but a shorter text edited by Simon Plouffe).
* (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).
*.
*

*
*.
*.

== Kredit ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konstanta+Ap%C3%A9ry&oldid=26887741 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26887741 (2025-02-05T07:15:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Konstanta Apéry - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26887741; atribusi sumber disertakan.