Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:03:27Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.03
Baris 1:		Baris 1:
	'''Konstanta Gelfond–Schneider''' atau '''bilangan Hilbert''' adalah [[2 (angka)\|dua]] yang [[Eksponensiasi\|dipangkatkan]] dengan [[Akar kuadrat dari 2\|akar 2]]		'''Konstanta Gelfond–Schneider''' atau '''bilangan Hilbert'''<ref>R. Courant. ''What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods''. Oxford University Press. 1996. hlm. 107.</ref> adalah [[2 (angka)\|dua]] yang [[Eksponensiasi\|dipangkatkan]] dengan [[Akar kuadrat dari 2\|akar 2]]
	<math display="block">2^{\sqrt{2}} = 2.665 \, 144 \, 142 \, 690 \, 225 \, 188 \, 650 \, 297 \, 249 \, 8731 \dots</math>		<math display="block">2^{\sqrt{2}} = 2.665 \, 144 \, 142 \, 690 \, 225 \, 188 \, 650 \, 297 \, 249 \, 8731 \dots</math>
	yang terbukti sebagai [[Bilangan transendental]] oleh [[Rodion Kuzmin]] pada tahun 1930. Pada tahun 1934, [[Aleksandr Gelfond]] dan [[Theodor Schneider]] secara terpisah berhasil membuktikan ''[[teorema Gelfond–Schneider]]'' yang lebih umum, yang sekaligus memecahkan bagian dari [[masalah ketujuh Hilbert]].		yang terbukti sebagai [[Bilangan transendental]] oleh [[Rodion Kuzmin]] pada tahun 1930.<ref>R. O. Kuzmin. [http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316 On a new class of transcendental numbers]. ''Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem''. 1930. Vol. 7. hlm. 585–597.</ref> Pada tahun 1934, [[Aleksandr Gelfond]] dan [[Theodor Schneider]] secara terpisah berhasil membuktikan ''[[teorema Gelfond–Schneider]]'' yang lebih umum,<ref>Aleksandr Gelfond. [http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924 Sur le septième Problème de Hilbert]. ''Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na''. 1934. Vol. VII (4). hlm. 623–634.</ref> yang sekaligus memecahkan bagian dari [[masalah ketujuh Hilbert]].

	== Sifat-sifat ==		== Sifat-sifat ==
Baris 8:		Baris 8:
	Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka<math display="block">\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2</math>		Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka<math display="block">\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2</math>

	adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti. Metode pembuktiannya termasuk [[Bukti konstruktif\|tak konstruktif]], karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari [[Rodion Kuzmin]].		adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti.<ref>D. Jarden. ''Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational''. ''Scripta Mathematica''. 1953. Vol. 19. hlm. 229..</ref><ref>J. P. Jones. ''Irrational numbers''. ''American Mathematical Monthly''. 1973. Vol. 80 (4). hlm. 423–424. doi:10.2307/2319091.</ref> Metode pembuktiannya termasuk [[Bukti konstruktif\|tak konstruktif]], karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari [[Rodion Kuzmin]].

	== Masalah ketujuh Hilbert ==		== Masalah ketujuh Hilbert ==


	Bagian ketujuh dari [[Masalah Hilbert\|23 masalah Hilbert]] yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari [[contoh tandingan]] dari, klaim kalau <math>a^b</math> selalu transendental, untuk [[bilangan aljabar]] <math>a \neq \left\{ 0, 1 \right\}</math> dan bilangan irasional aljabar <math>b</math>. Dalam pidatonya, [[David Hilbert\|Hilbert]] memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider <math>2^{\sqrt{2}}</math>.		Bagian ketujuh dari [[Masalah Hilbert\|23 masalah Hilbert]] yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari [[contoh tandingan]] dari, klaim kalau <math>a^b</math> selalu transendental, untuk [[bilangan aljabar]] <math>a \neq \left\{ 0, 1 \right\}</math> dan bilangan irasional aljabar <math>b</math>. Dalam pidatonya, [[David Hilbert\|Hilbert]] memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider <math>2^{\sqrt{2}}</math>.

	Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai [[teori bilangan]] dan membicarakan tiga [[konjektur]], yaitu [[hipotesis Riemann]], [[Teorema Terakhir Fermat]], dan transendentalnya bilangan <math>2^{\sqrt{2}}</math>. Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini. Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930, tahun di mana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen <math>b</math> merupakan [[Bilangan kuadratik irasional\|Bilangan riil kuadratik irasional]], yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar <math>b</math> oleh Gelfond dan oleh Schneider.		Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai [[teori bilangan]] dan membicarakan tiga [[konjektur]], yaitu [[hipotesis Riemann]], [[Teorema Terakhir Fermat]], dan transendentalnya bilangan <math>2^{\sqrt{2}}</math>. Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini.<ref>David Hilbert, ''Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920''.</ref> Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930,<ref>R. O. Kuzmin. [http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316 On a new class of transcendental numbers]. ''Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem''. 1930. Vol. 7. hlm. 585–597.</ref> tahun di mana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen <math>b</math> merupakan [[Bilangan kuadratik irasional\|Bilangan riil kuadratik irasional]], yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar <math>b</math> oleh Gelfond dan oleh Schneider.

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==
	* [[Konstanta Gelfond]]		* [[Konstanta Gelfond]]

	~~== Referensi ==~~


	== Bacaan lanjutan ==		== Bacaan lanjutan ==
	*		*
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konstanta+Gelfond%E2%80%93Schneider&oldid=28428308 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428308 (2025-11-12T11:09:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konstanta+Gelfond%E2%80%93Schneider&oldid=28428308 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428308 (2025-11-12T11:09:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28428308; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:29:00Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28428308; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Konstanta Gelfond–Schneider''' atau '''bilangan Hilbert''' adalah [[2 (angka)|dua]] yang [[Eksponensiasi|dipangkatkan]] dengan [[Akar kuadrat dari 2|akar 2]]
<math display="block">2^{\sqrt{2}} = 2.665 \, 144 \, 142 \, 690 \, 225 \, 188 \, 650 \, 297 \, 249 \, 8731 \dots</math>
yang terbukti sebagai [[Bilangan transendental]] oleh [[Rodion Kuzmin]] pada tahun 1930. Pada tahun 1934, [[Aleksandr Gelfond]] dan [[Theodor Schneider]] secara terpisah berhasil membuktikan ''[[teorema Gelfond–Schneider]]'' yang lebih umum, yang sekaligus memecahkan bagian dari [[masalah ketujuh Hilbert]].

== Sifat-sifat ==
Hasil [[akar kuadrat]] dari Konstanta Gelfond–Schneider adalah bilangan transendental<math display="block">\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = 1.632 \, 526 \, 919 \, 438 \, 152 \, 844 \, 77 \dots</math>

Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka<math display="block">\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2</math>

adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti. Metode pembuktiannya termasuk [[Bukti konstruktif|tak konstruktif]], karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari [[Rodion Kuzmin]].

== Masalah ketujuh Hilbert ==

Bagian ketujuh dari [[Masalah Hilbert|23 masalah Hilbert]] yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari [[contoh tandingan]] dari, klaim kalau <math>a^b</math> selalu transendental, untuk [[bilangan aljabar]] <math>a \neq \left\{ 0, 1 \right\}</math> dan bilangan irasional aljabar <math>b</math>. Dalam pidatonya, [[David Hilbert|Hilbert]] memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider <math>2^{\sqrt{2}}</math>.

Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai [[teori bilangan]] dan membicarakan tiga [[konjektur]], yaitu [[hipotesis Riemann]], [[Teorema Terakhir Fermat]], dan transendentalnya bilangan <math>2^{\sqrt{2}}</math>. Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini. Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930, tahun di mana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen <math>b</math> merupakan [[Bilangan kuadratik irasional|Bilangan riil kuadratik irasional]], yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar <math>b</math> oleh Gelfond dan oleh Schneider.

== Lihat juga ==
* [[Konstanta Gelfond]]

== Referensi ==

== Bacaan lanjutan ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konstanta+Gelfond%E2%80%93Schneider&oldid=28428308 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428308 (2025-11-12T11:09:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Konstanta Gelfond–Schneider - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28428308; atribusi sumber disertakan.