Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:00:36Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.00
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:EllipticCurveCatalog.svg\|thumb\|right\|280px\|EllipticCurveCatalog]]

			[[Gambar:EllipticCurveCatalog.svg\|right\|thumb\|400px\|Katalog kurva eliptik. Daerah yang ditampilkan adalah [−3, 3]<sup>2</sup>. Untuk (''a'', ''b'') = (0, 0), fungsi ini tidak halus sehingga tidak termasuk kurva eliptik.]]
	Dalam [[matematika]], '''kurva eliptik''' adalah [[kurva aljabar]] yang [[Ragam proyektif\|proyektif]] dan [[Titik tunggal ragam aljabar\|halus]], [[Genus (matematika)\|bergenus]] satu, serta memiliki titik ''O'' tertentu. Tiap kurva eliptik dalam sebuah [[Medan (matematika)\|medan]] yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah [[Kurva aljabar\|kurva aljabar datar]] yang memenuhi persamaan		Dalam [[matematika]], '''kurva eliptik''' adalah [[kurva aljabar]] yang [[Ragam proyektif\|proyektif]] dan [[Titik tunggal ragam aljabar\|halus]], [[Genus (matematika)\|bergenus]] satu, serta memiliki titik ''O'' tertentu. Tiap kurva eliptik dalam sebuah [[Medan (matematika)\|medan]] yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah [[Kurva aljabar\|kurva aljabar datar]] yang memenuhi persamaan

Baris 8:		Baris 11:

	== Aturan grup ==		== Aturan grup ==
			[[Gambar:ECClines.svg\|right\|thumb\|600px\|Operasi titik kurva eliptik: pertambahan (kasus I), penggandaan (kasus II dan IV), dan negasi (kasus III)]]

	Ketika bekerja dalam [[bidang proyektif]], kita dapat mendefinisikan struktur grup pada kurva kubik halus apa pun. Dalam bentuk normal Weierstrass, kurva tersebut akan memiliki satu titik di takhingga, ''O'', dalam [[koordinat homogen]] [0:1:0] yang berperan sebagai identitas grup.		Ketika bekerja dalam [[bidang proyektif]], kita dapat mendefinisikan struktur grup pada kurva kubik halus apa pun. Dalam bentuk normal Weierstrass, kurva tersebut akan memiliki satu titik di takhingga, ''O'', dalam [[koordinat homogen]] [0:1:0] yang berperan sebagai identitas grup.

Baris 19:		Baris 21:

	== Kurva eliptik dalam bilangan riil ==		== Kurva eliptik dalam bilangan riil ==
			[[Gambar:ECClines-3.svg\|frame\|right\|Grafik kurva ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' dan ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' + 1]]
	Dalam konteks ini, kurva eliptik adalah [[lengkung bidang]] yang didefinisikan oleh persamaan dalam bentuk		Dalam konteks ini, kurva eliptik adalah [[lengkung bidang]] yang didefinisikan oleh persamaan dalam bentuk

Baris 35:		Baris 37:

	== Kurva eliptik dalam bilangan kompleks ==		== Kurva eliptik dalam bilangan kompleks ==


	== Kurva eliptik dalam bilangan rasional ==		== Kurva eliptik dalam bilangan rasional ==


	== Kurva eliptik dalam medan umum ==		== Kurva eliptik dalam medan umum ==
	Kurva eliptik dapat didefinisikan dalam [[Medan (matematika)\|medan]] ''K''. Definisi matematis kurva eliptik adalah kurva aljabar yang nonsingular bergenus 1 dengan titik lain yang didefinisikan dalam ''K''.		Kurva eliptik dapat didefinisikan dalam [[Medan (matematika)\|medan]] ''K''. Definisi matematis kurva eliptik adalah kurva aljabar yang nonsingular bergenus 1 dengan titik lain yang didefinisikan dalam ''K''.
Baris 58:		Baris 56:

	== Kurva eliptik dalam medan hingga ==		== Kurva eliptik dalam medan hingga ==


	== Kegunaan ==		== Kegunaan ==
	* [[Kriptografi kurva eliptis\|Kriptografi kurva eliptik]]		* [[Kriptografi kurva eliptis\|Kriptografi kurva eliptik]]
Baris 76:		Baris 72:
	* [[Rumus Riemann–Hurwitz]]		* [[Rumus Riemann–Hurwitz]]
	* [[Teorema Nagell–Lutz]]		* [[Teorema Nagell–Lutz]]


	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==
			*
			*
			*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*
	*
	*
	*		*

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurva+eliptik&oldid=29567521 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29567521 (2026-08-12T18:51:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurva+eliptik&oldid=29567521 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29567521 (2026~~-08-~~12T18:51:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29567521; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:23:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29567521; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''kurva eliptik''' adalah [[kurva aljabar]] yang [[Ragam proyektif|proyektif]] dan [[Titik tunggal ragam aljabar|halus]], [[Genus (matematika)|bergenus]] satu, serta memiliki titik ''O'' tertentu. Tiap kurva eliptik dalam sebuah [[Medan (matematika)|medan]] yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah [[Kurva aljabar|kurva aljabar datar]] yang memenuhi persamaan

: <math>y^2 = x^3 + ax + b.</math>

Kurva eliptik harus [[Titik tunggal kurva|taksingular]], yakni tidak memiliki [[Taring (kesingularan)|taring]] atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan <math>4a^3 + 27b^2 \ne 0.</math>

Kurva eliptik ''bukanlah'' [[elips]]: lihat [[integral eliptik]] untuk asal mula istilahnya. Secara [[topologi]], kurva eliptik kompleks adalah [[torus]], sedangkan elips kompleks adalah [[Bola (geometri)|bola]].

== Aturan grup ==

Ketika bekerja dalam [[bidang proyektif]], kita dapat mendefinisikan struktur grup pada kurva kubik halus apa pun. Dalam bentuk normal Weierstrass, kurva tersebut akan memiliki satu titik di takhingga, ''O'', dalam [[koordinat homogen]] [0:1:0] yang berperan sebagai identitas grup.

Karena kurva ini simetris terhadap sumbu ''x'', untuk sembarang titik ''P'', kita definisikan -''P'' sebagai lawannya. Kita anggap -''O'' sama dengan ''O''.

Jika titik ''P'' dan ''Q'' adalah dua titik pada kurva, kita dapat definisikan titik ketiga, , sebagai berikut. Pertama, kita buat garis yang memotong ''P'' dan ''Q''. Lalu, garis tersebut akan memotong kurva pada titik lain yang kita sebut ''R''. Kemudian, kita definisikan , yaitu lawan dari ''R''.

Definisi di atas dapat berlaku, kecuali untuk beberapa kasus khusus seperti pertambahan dengan titik di takhingga dan penggandaan titik. Untuk titik di takhingga, kita definisikan sehingga ''O'' adalah identitas grup. Jika ''P'' dan ''Q'' saling berlawanan, kita definisikan . Untuk penggandaan titik, kita tidak bisa membuat garisnya karena hanya ada satu titik. Karenanya, kita bisa memakai [[garis singgung]] kurva eliptik pada titik tersebut untuk mencari perpotongan lain dengan kurva. Titik perpotongan tersebut juga menjadi lawan hasil penggandaannya. Namun, bila ''P'' berada pada [[titik belok]], kita ambil ''R'' sebagai ''P'' sehingga adalah lawan dirinya sendiri.

== Kurva eliptik dalam bilangan riil ==

Dalam konteks ini, kurva eliptik adalah [[lengkung bidang]] yang didefinisikan oleh persamaan dalam bentuk

: <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>

dengan ''a'' dan ''b'' [[bilangan riil]].

Definisi kurva eliptik juga mewajibkan kurva untuk [[Titik tunggal kurva|nonsingular]]. Secara geometris, itu berarti bahwa grafiknya tidak memiliki [[Taring (singularitas)|taring]], tidak memotong dirinya sendiri, dan tidak punya titik yang sendirian (terputus/terisolasi). Secara aljabar, itu hanya berlaku [[jika dan hanya jika]] diskriminannya

: <math>\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)</math>

tidak sama dengan nol.

Grafik (riil) suatu kurva yang nonsingular memiliki dua komponen jika diskriminannya positif dan satu komponen jika diskriminannya negatif. Contohnya, pada grafik di samping, [[diskriminan]] kasus I adalah 64 dan diskriminan kasus II adalah -368.

== Kurva eliptik dalam bilangan kompleks ==

== Kurva eliptik dalam bilangan rasional ==

== Kurva eliptik dalam medan umum ==
Kurva eliptik dapat didefinisikan dalam [[Medan (matematika)|medan]] ''K''. Definisi matematis kurva eliptik adalah kurva aljabar yang nonsingular bergenus 1 dengan titik lain yang didefinisikan dalam ''K''.

Jika [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]] ''K'' bukan 2 dan 3, tiap kurva eliptik dapat ditulis dalam bentuk

: <math>y^2 = x^3 - px - q</math>

dengan ''p'' dan ''q'' adalah anggota ''K'' yang menyebabkan ruas kanan tidak memiliki akar ganda. Jika karakteristiknya 2 atau 3, ada beberapa suku yang harus ditambah. Untuk karakteristik 3, bentuk paling umumnya adalah

: <math>y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6</math>

dengan tetapan ''b''2, ''b''4, dan ''b''6 yang menyebabkan ruas kanan memiliki akar berbeda (notasi dipilih karena alasan sejarah). Untuk karakteristik 2, bentuk paling umumnya adalah

:<math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>

dengan catatan bahwa ragam yang didefinisikan adalah nonsingular. Jika karakteristik bukan halangan, tiap persamaan dapat disederhanakan menjadi seperti sebelumnya dengan mengganti beberapa variabel.

== Kurva eliptik dalam medan hingga ==

== Kegunaan ==
* [[Kriptografi kurva eliptis|Kriptografi kurva eliptik]]

== Algoritma yang memakai kurva eliptik ==
Kurva eliptik dalam [[Medan hingga|medan berhingga]] dipakai dalam [[kriptografi]] dan juga [[faktorisasi prima]]. Biasanya, algoritma berikut adalah [[algoritme]] yang sudah ada, tetapi memakai sifat-sifat kurva eliptik.
* [[Kriptografi kurva eliptis|Kriptografi kurva eliptik]]
* [[Diffie–Hellman kurva eliptis|Diffie–Hellman kurva eliptik]]
* [[Algoritme Tanda Tangan Digital kurva eliptis|Algoritme Tanda Tangan Digital kurva eliptik]]
* [[Faktorisasi kurva eliptis Lenstra|Faktorisasi kurva eliptik Lenstra]]

== Lihat pula ==
* [[Aljabar eliptik]]
* [[Perkalian titik kurva eliptis|Perkalian titik kurva eliptik]]
* [[Permukaan eliptik]]
* [[Rumus Riemann–Hurwitz]]
* [[Teorema Nagell–Lutz]]

== Daftar pustaka ==
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurva+eliptik&oldid=29567521 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29567521 (2026-08-12T18:51:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Kurva eliptik - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29567521; atribusi sumber disertakan.