Limit (matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:11:25Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.11
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Limit-at-infinity-graph.png\|thumb\|right\|280px\|Ilustrasi limit suatu fungsi di mana x bertambah hingga tak terhingga]]

	Dalam [[matematika]], [[konsep]] '''limit''' digunakan untuk menjelaskan perilaku suatu [[fungsi]] saat peubah bebasnya mendekati suatu [[titik]] tertentu, atau menuju [[tak hingga]]; atau perilaku dari suatu [[barisan]] saat [[indeks]] mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam [[kalkulus]] (dan cabang lainnya dari [[analisis matematika]]) untuk membangun pengertian [[Fungsi kontinu\|kekontinuan]], [[turunan]] dan [[integral]].		Dalam [[matematika]], [[konsep]] '''limit''' digunakan untuk menjelaskan perilaku suatu [[fungsi]] saat peubah bebasnya mendekati suatu [[titik]] tertentu, atau menuju [[tak hingga]]; atau perilaku dari suatu [[barisan]] saat [[indeks]] mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam [[kalkulus]] (dan cabang lainnya dari [[analisis matematika]]) untuk membangun pengertian [[Fungsi kontinu\|kekontinuan]], [[turunan]] dan [[integral]].

Baris 4:		Baris 6:

	== Limit fungsi ==		== Limit fungsi ==


	Jika ''f''(''x'') adalah fungsi real dan ''c'' adalah bilangan real, maka:		Jika ''f''(''x'') adalah fungsi real dan ''c'' adalah bilangan real, maka:

Baris 15:		Baris 15:
	Sebagai contoh, <math> f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} </math> pada saat ''x'' mendekati 2. Dalam contoh ini, ''f''(''x'') mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:		Sebagai contoh, <math> f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} </math> pada saat ''x'' mendekati 2. Dalam contoh ini, ''f''(''x'') mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:

			{\| class="wikitable"
			\|f(1.9)\|\|f(1.99)\|\|f(1.999)\|\|f(2)\|\|f(2.001)\|\|f(2.01)\|\|f(2.1)
			\|-
			\|0.4121\|\|0.4012\|\|0.4001\|\|<math>\Rightarrow</math> 0.4 <math>\Leftarrow</math>\|\|0.3998\|\|0.3988\|\|0.3882
			\|}

	Semakin ''x'' mendekati 2, nilai ''f''(''x'') mendekati 0.4, dan karena itu <math>\lim_{x\to 2}f(x)=0.4</math>.		Semakin ''x'' mendekati 2, nilai ''f''(''x'') mendekati 0.4, dan karena itu <math>\lim_{x\to 2}f(x)=0.4</math>.
Baris 31:		Baris 36:
	Dalam contoh ini, pada saat ''x'' mendekati 1, ''f''(''x'') tidak terdefinisikan pada titik ''x'' = ''1'' namun limitnya sama dengan 2, karena makin ''x'' mendekati 1, ''f''(''x'') makin mendekati 2:		Dalam contoh ini, pada saat ''x'' mendekati 1, ''f''(''x'') tidak terdefinisikan pada titik ''x'' = ''1'' namun limitnya sama dengan 2, karena makin ''x'' mendekati 1, ''f''(''x'') makin mendekati 2:

			{\| class="wikitable"
			\|f(0.9)\|\|f(0.99)\|\|f(0.999)\|\|f(1.0)\|\|f(1.001)\|\|f(1.01)\|\|f(1.1)
			\|-
			\|1.95\|\|1.99\|\|1.999\|\|<math>\Rightarrow</math> undef <math>\Leftarrow</math>\|\|2.001\|\|2.010\|\|2.10
			\|}

	Jadi, ''x'' dapat dibuat sedekat mungkin dengan ''1'', asal bukan persis sama dengan ''1'', jadi limit dari <math> f(x) </math> adalah ''2''.		Jadi, ''x'' dapat dibuat sedekat mungkin dengan ''1'', asal bukan persis sama dengan ''1'', jadi limit dari <math> f(x) </math> adalah ''2''.
Baris 42:		Baris 52:

	=== Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga ===		=== Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga ===

	Konsep yang berkaitan dengan limit saat ''x'' mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat ''x'' mendekati [[tak terhingga]], baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara ''x'' dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah ''x'' menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).		Konsep yang berkaitan dengan limit saat ''x'' mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat ''x'' mendekati [[tak terhingga]], baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara ''x'' dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah ''x'' menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).

Baris 55:		Baris 64:

	== Limit barisan ==		== Limit barisan ==


	Perhatikan [[barisan]] berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.		Perhatikan [[barisan]] berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.

Baris 79:		Baris 86:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==


	*[[Analisis asimtotik]]: metode untuk menggambarkan perilaku yang membatasi		*[[Analisis asimtotik]]: metode untuk menggambarkan perilaku yang membatasi
	**[[Notasi Big O]]: digunakan untuk mendeskripsikan perilaku pembatas dari suatu fungsi ketika argumennya cenderung ke arah nilai tertentu atau tak terbatas		**[[Notasi Big O]]: digunakan untuk mendeskripsikan perilaku pembatas dari suatu fungsi ketika argumennya cenderung ke arah nilai tertentu atau tak terbatas
Baris 103:		Baris 108:

	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
	*		*
	*		*

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit+%28matematika%29&oldid=28590752 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28590752 (2025-11-21T16:25:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit+%28matematika%29&oldid=28590752 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28590752 (2025~~-11-~~21T16:25:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28590752; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:50:23Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28590752; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], [[konsep]] '''limit''' digunakan untuk menjelaskan perilaku suatu [[fungsi]] saat peubah bebasnya mendekati suatu [[titik]] tertentu, atau menuju [[tak hingga]]; atau perilaku dari suatu [[barisan]] saat [[indeks]] mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam [[kalkulus]] (dan cabang lainnya dari [[analisis matematika]]) untuk membangun pengertian [[Fungsi kontinu|kekontinuan]], [[turunan]] dan [[integral]].

Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap [[kalkulus]], dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.

== Limit fungsi ==

Jika ''f''(''x'') adalah fungsi real dan ''c'' adalah bilangan real, maka:

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

berarti ''f''(''x'') dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan ''L'' dengan cara membuat nilai ''x'' dekat dengan ''c''. Dalam contoh ini, "limit dari ''f''(''x''), bila ''x'' mendekati ''c'', adalah ''L''". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun ''f''(''c'') <math>\neq</math> ''L''. Bahkan, fungsi ''f''(''x'') tidak perlu terdefinisikan pada titik ''c''.
Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.

Sebagai contoh, <math> f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} </math> pada saat ''x'' mendekati 2. Dalam contoh ini, ''f''(''x'') mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:

Semakin ''x'' mendekati 2, nilai ''f''(''x'') mendekati 0.4, dan karena itu <math>\lim_{x\to 2}f(x)=0.4</math>.
Dalam kasus di mana <math>f(c) = \lim_{x\to c} f(x)</math>, ''f'' disebut [[kontinu]] pada ''x'' = ''c''.
Namun, kasus ini tidak selalu berlaku.
Sebagai contoh,

:<math>g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{jika }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{jika }x=2. \end{matrix}\right.</math>

Limit ''g''(''x'') pada saat ''x'' mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti ''f''(''x'')), tetapi <math>\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)</math>; ''g'' tidak kontinu pada titik ''x'' = 2.

Atau, bisa diambil contoh di mana ''f''(''x'') tidak terdefinisikan pada titik ''x'' = ''c''.

:<math> f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} </math>

Dalam contoh ini, pada saat ''x'' mendekati 1, ''f''(''x'') tidak terdefinisikan pada titik ''x'' = ''1'' namun limitnya sama dengan 2, karena makin ''x'' mendekati 1, ''f''(''x'') makin mendekati 2:

Jadi, ''x'' dapat dibuat sedekat mungkin dengan ''1'', asal bukan persis sama dengan ''1'', jadi limit dari <math> f(x) </math> adalah ''2''.

=== Definisi formal ===
Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila <math>f</math> adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik <math>c</math> (dengan kemungkinan pengecualian pada titik <math>c</math>) dan <math>L</math> adalah bilangan real, maka

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

berarti bahwa untuk setiap <math> \varepsilon\ >0</math> terdapat <math> \delta\ >0</math> yang untuk semua <math> x </math> di mana <math>0<|x-c|< \delta\ </math>, berlaku <math>| f (x)-L|< \varepsilon\ </math>.

=== Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga ===

Konsep yang berkaitan dengan limit saat ''x'' mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat ''x'' mendekati [[tak terhingga]], baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara ''x'' dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah ''x'' menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).

Sebagai contoh, lihat <math>f(x) = \frac{2x}{x + 1}</math>.

* ''f''(100) = 1.9802
* ''f''(1000) = 1.9980
* ''f''(10000) = 1.9998

Semakin ''x'' membesar, nilai ''f''(''x'') mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa
:<math> \lim_{x \to \infty} f(x) = 2 </math>

== Limit barisan ==

Perhatikan [[barisan]] berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.

Secara formal, misalkan ''x''1, ''x''2, ... adalah barisan [[bilangan riil]]. Kita menyebut bilangan riil ''L'' sebagai ''limit'' barisan ini dan menuliskannya sebagai

:<math> \lim_{n \to \infty} x_n = L </math>

yang artinya

:Untuk setiap [[bilangan riil]] ε > 0, terdapat sebuah [[bilangan asli]] ''n''0 sehingga untuk semua ''n'' > ''n''0, |''x''''n'' − ''L''| < ε.

Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena [[nilai absolut]] |''x''''n'' − ''L''| adalah jarak antara ''x'' dan ''L''. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai ''konvergen'', bila tidak, disebut ''divergen''. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.

Limit barisan dan [[limit fungsi]] berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada [[bilangan asli]]. Di sisi lain, limit sebuah fungsi ''f'' pada ''x'', bila ada, sama dengan limit barisan ''x''''n'' = ''f''(''x'' + 1/''n'').

== Limit sebagai "bagian standar" ==
Dalam [[analisis non-standar]] (yang melibatkan pembesaran [[bilangan hiperreal]] dari sistem bilangan), batas urutan <math>(a_n)</math> dapat diekspresikan sebagai [[fungsi bagian standar|bagian standar]] dari nilai <math>a_H</math> dari perluasan alami urutan pada indeks [[hipernatural]] tak terbatas ''n=H''. Jadi,
:<math> \lim_{n \to \infty} a_n = \operatorname{st}(a_H) </math>.
Di sini, fungsi bagian standar "st" membulatkan setiap bilangan hiperreal berhingga ke bilangan real terdekat (selisihnya adalah [[infinitesimal]]). Ini memformalkan intuisi alami bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah dalam urutan "sangat dekat" dengan nilai batas urutan. Sebaliknya, bagian standar dari sebuah hyperreal <math>a=[a_n]</math> diwakili dalam konstruksi ultrapower oleh barisan Cauchy <math>(a_n)</math>, hanyalah batas dari urutan itu:
:<math> \operatorname{st}(a)=\lim_{n \to \infty} a_n </math>.
Dalam pengertian ini, mengambil limit dan mengambil bagian standar adalah prosedur yang setara.

== Lihat pula ==

*[[Analisis asimtotik]]: metode untuk menggambarkan perilaku yang membatasi
**[[Notasi Big O]]: digunakan untuk mendeskripsikan perilaku pembatas dari suatu fungsi ketika argumennya cenderung ke arah nilai tertentu atau tak terbatas
* [[Banach limit]] didefinisikan di [[ruang Banach]] yang memperluas Limit.
* [[Barisan Cauchy]]
** [[Ruang metrik lengkap]]
* [[Konvergensi variabel acak]]
* [[Matriks konvergen]]
* [[Limit (teori kategori)|Limit dalam teori kategori]]
**[[Limit langsung]]
**[[Limit invers]]
* [[Limit fungsi]]
** [[Berat sebelah limit]]: salah satu dari dua batas fungsi variabel nyata ''x'', sebagai ''x'' mendekati suatu titik dari atas atau bawah
** [[Daftar limit]]: daftar limit untuk fungsi umum
** [[Teorema Squeeze]]: menemukan batas suatu fungsi melalui perbandingan dengan dua fungsi lainnya
* Nilai Limit
* Himpunan Limit
* [[Limit superior dan limit inferior]]
* [[Mode konvergensi]]
** Sebuah [[Mode konvergensi (indeks beranotasi)|indeks beranotasi]]
* [[Tingkat konvergensi]]: tingkat di mana urutan konvergen mendekati nya limit

== Bacaan lebih lanjut ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit+%28matematika%29&oldid=28590752 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28590752 (2025-11-21T16:25:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.