Limit invers - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:09:29Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 18.09
Baris 6:		Baris 6:
	#<math>f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk}</math> untuk semua <math>i \leq j \leq k</math>.		#<math>f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk}</math> untuk semua <math>i \leq j \leq k</math>.

	Maka pasangan <math>\left( A_{\bull}, \left( f_{ij} \right)_{i\leq j\in I} \right)</math> disebut sistem invers dari grup dan morfisme atas <math> I </math>, dan morfisme <math>f_{ij}</math> disebut morfisme peralihan dari sistem.		Maka pasangan <math>\left( A_{\bull}, \left( f_{ij} \right)_{i\leq j\in I} \right)</math> disebut sistem invers dari grup dan morfisme atas <math> I </math>, dan morfisme <math>f_{ij}</math> disebut morfisme peralihan dari sistem.

	'''Limit invers''' dari sistem invers <math>((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j\in I})</math> didefinisikan sebagai [[subgrup]] tertentu dari [[produk langsung\|darab langsung]] dari ''<math>A_i</math>'':		'''Limit invers''' dari sistem invers <math>((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j\in I})</math> didefinisikan sebagai [[subgrup]] tertentu dari [[produk langsung\|darab langsung]] dari ''<math>A_i</math>'':
Baris 14:		Baris 14:
	Limit invers <math> A </math> dilengkapi dengan ''proyeksi alami'' () <math>\pi _i \colon A \to A_i</math> yang memilih komponen dari darab langsung ke-<math>i</math> untuk setiap <math> i </math> di <math> I </math>.		Limit invers <math> A </math> dilengkapi dengan ''proyeksi alami'' () <math>\pi _i \colon A \to A_i</math> yang memilih komponen dari darab langsung ke-<math>i</math> untuk setiap <math> i </math> di <math> I </math>.

	Konstruksi yang sama dapat dilakukan jika <math> A_i </math> adalah [[Himpunan (matematika) \|himpunan]], semigrup, ruang topologi, [[cincin (matematika) \| gelanggang]], [[modul (matematika) \|modul]] (atas ''fixed ring''), [[aljabar di atas bidang \| aljabar]] (atas ''fixed ring''), dsb,. dan [[homomorfisme]] adalah morfisme dalam [[teori kategori \|kategori]] padanan. Limit invers juga merupakan bagian dalam kategori tersebut.		Konstruksi yang sama dapat dilakukan jika <math> A_i </math> adalah [[Himpunan (matematika) \|himpunan]],<ref>John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. .</ref> semigrup,<ref>John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. .</ref> ruang topologi,<ref>John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. .</ref> [[cincin (matematika) \| gelanggang]], [[modul (matematika) \|modul]] (atas ''fixed ring''), [[aljabar di atas bidang \| aljabar]] (atas ''fixed ring''), dsb,. dan [[homomorfisme]] adalah morfisme dalam [[teori kategori \|kategori]] padanan. Limit invers juga merupakan bagian dalam kategori tersebut.

	== Definisi umum ==		== Definisi umum ==
			Sama seperti definisi sebelumnya, limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam [[kategori (matematika) \|kategori]] sebarang dengan menggunakan [[sifat universal]]. Misalkan <math>(X_i,f_{ij})</math> adalah sistem invers dari objek dan [[morfisme]] di kategori <math>C</math>. Limit invers dari sistem invers merupakan objek <math>X</math> di <math>C</math> dan juga dengan morfisme <math>\pi_i \colon X \to X_i</math> (yang disebut ''proyeksi'') memenuhi sifat <math>\pi_i = f_{ij} \circ \pi_j</math> untuk semua <math>i \le j</math>. Pasangan <math>(X,\pi_i)</math> harus universal, dalam artian bahwa untuk setiap pasangan lain <math>(Y,\psi_i)</math>, maka ada morfisme unik <math>u:Y \to X</math> sehingga diagram berikut

	~~Sama seperti definisi sebelumnya, limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam~~ [[~~kategori (matematika) \|kategori]] sebarang dengan menggunakan [[sifat universal]]~~. ~~Misalkan <math>(X_i,f_{ij})</math> adalah sistem invers dari objek dan [[morfisme~~]] di kategori <math>C</math>. Limit invers dari sistem invers merupakan objek <math>X</math> di <math>C</math> dan juga dengan morfisme <math>\pi_i \colon X \to X_i</math> (yang disebut ''proyeksi'') memenuhi sifat <math>\pi_i = f_{ij} \circ \pi_j</math> untuk semua <math>i \le j</math>. Pasangan <math>(X,\pi_i)</math> harus universal, dalam artian bahwa untuk setiap pasangan lain <math>(Y,\psi_i)</math>, maka ada morfisme unik <math>u:Y \to X</math> sehingga diagram berikut		[[Gambar:InverseLimit-01.png]]

			[[Diagram komutatif\|komutatif]] untuk setiap <math>i \le j</math>. Jadi, limit invers sering kali dinyatakan sebagai
	[[Diagram komutatif\|komutatif]] untuk setiap <math>i \le j</math>. Jadi, limit invers sering kali dinyatakan sebagai
	:<math>X = \varprojlim X_i</math>		:<math>X = \varprojlim X_i</math>
	dengan sistem invers .		dengan sistem invers .

	Limit invers dari sistem invers tertentu tidak ada dalam beberapa kategori. Namun jika ada, maka dikatakan unik dalam pernyataan kuat berikut: diberikan dua limit invers dan dari sistem invers, maka terdapat [[isomorfisme]] ''unik'' <math>X' \to X</math> yang bersifat komutatif dengan peta proyeksi.		Limit invers dari sistem invers tertentu tidak ada dalam beberapa kategori. Namun jika ada, maka dikatakan unik dalam pernyataan kuat berikut: diberikan dua limit invers dan dari sistem invers, maka terdapat [[isomorfisme]] ''unik'' <math>X' \to X</math> yang bersifat komutatif dengan peta proyeksi.

	== Fungtor yang diturunkan dari limit invers ==		== Fungtor yang diturunkan dari limit invers ==

	Untuk suatu [[kategori Abel]] <math>C</math>, fungtor limit invers		Untuk suatu [[kategori Abel]] <math>C</math>, fungtor limit invers
	:<math>\varprojlim:C^I\rightarrow C</math>		:<math>\varprojlim:C^I\rightarrow C</math>
Baris 38:		Baris 37:
	:<math>0\rightarrow\varprojlim A_i\rightarrow\varprojlim B_i\rightarrow\varprojlim C_i\rightarrow\varprojlim{}^1A_i</math>		:<math>0\rightarrow\varprojlim A_i\rightarrow\varprojlim B_i\rightarrow\varprojlim C_i\rightarrow\varprojlim{}^1A_i</math>
	merupakan barisan eksak di <math>\operatorname{Ab}</math>.		merupakan barisan eksak di <math>\operatorname{Ab}</math>.


	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Limit langsung]]		* [[Limit langsung]]

	~~== Referensi ==~~


	== Bibliografi ==		== Bibliografi ==
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	* Section 3.5 of		* Section 3.5 of

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit+invers&oldid=27509901 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27509901 (2025-07-07T16:39:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit+invers&oldid=27509901 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27509901 (2025-07-07T16:39:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27509901; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:49:09Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27509901; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''limit invers''' (), atau disebut juga sebagai '''limit proyektif''' () adalah konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk "merekatkan" beberapa [[objek matematika |objek]] terkait, cara yang tepat dari proses perekatan yang ditentukan dengan morfisme di antara objek. Limit invers dapat didefinisikan dalam [[kategori (matematika) |kategori]], dan merupakan kasus khusus dari konsep [[Limit (teori kategori) | limit dalam teori kategori]].

== Objek aljabar ==
Pemahaman terkait limit invers dimulai dengan definisi '''sistem invers''' (atau sistem proyektif) dari [[grup (matematika) |grup]] dan [[homomorfisme grup |homomorfisme]]. Misalkan (, ≤) adalah [[poset]] [[himpunan terarah|terarah]] atau (tidak semua penulis memerlukan untuk diarahkan). Misalkan adalah [[keluarga indeks |keluarga]] dari kelompok dan misalkan diperoleh keluarga homomorfisme <math>f_{ij}: A_j \to A_i</math> untuk semua <math>i \leq j</math> (perhatikan urutannya), dengan sifat berikut:
# <math>f_{ii}</math> adalah identitas pada <math>A_i</math>,
#<math>f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk}</math> untuk semua <math>i \leq j \leq k</math>.

Maka pasangan <math>\left( A_{\bull}, \left( f_{ij} \right)_{i\leq j\in I} \right)</math> disebut sistem invers dari grup dan morfisme atas <math> I </math>, dan morfisme <math>f_{ij}</math> disebut morfisme peralihan dari sistem.

'''Limit invers''' dari sistem invers <math>((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j\in I})</math> didefinisikan sebagai [[subgrup]] tertentu dari [[produk langsung|darab langsung]] dari ''<math>A_i</math>'':

:<math>A = \varprojlim_{i\in I}{A_i} = \left\{\left.\vec a \in \prod_{i\in I}A_i \;\right|\; a_i = f_{ij}(a_j) \text{ untuk semua } i \leq j \text{ in } I\right\}.</math>

Limit invers <math> A </math> dilengkapi dengan ''proyeksi alami'' () <math>\pi _i \colon A \to A_i</math> yang memilih komponen dari darab langsung ke-<math>i</math> untuk setiap <math> i </math> di <math> I </math>.

Konstruksi yang sama dapat dilakukan jika <math> A_i </math> adalah [[Himpunan (matematika) |himpunan]], semigrup, ruang topologi, [[cincin (matematika) | gelanggang]], [[modul (matematika) |modul]] (atas ''fixed ring''), [[aljabar di atas bidang | aljabar]] (atas ''fixed ring''), dsb,. dan [[homomorfisme]] adalah morfisme dalam [[teori kategori |kategori]] padanan. Limit invers juga merupakan bagian dalam kategori tersebut.

== Definisi umum ==

Sama seperti definisi sebelumnya, limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam [[kategori (matematika) |kategori]] sebarang dengan menggunakan [[sifat universal]]. Misalkan <math>(X_i,f_{ij})</math> adalah sistem invers dari objek dan [[morfisme]] di kategori <math>C</math>. Limit invers dari sistem invers merupakan objek <math>X</math> di <math>C</math> dan juga dengan morfisme <math>\pi_i \colon X \to X_i</math> (yang disebut ''proyeksi'') memenuhi sifat <math>\pi_i = f_{ij} \circ \pi_j</math> untuk semua <math>i \le j</math>. Pasangan <math>(X,\pi_i)</math> harus universal, dalam artian bahwa untuk setiap pasangan lain <math>(Y,\psi_i)</math>, maka ada morfisme unik <math>u:Y \to X</math> sehingga diagram berikut

[[Diagram komutatif|komutatif]] untuk setiap <math>i \le j</math>. Jadi, limit invers sering kali dinyatakan sebagai
:<math>X = \varprojlim X_i</math>
dengan sistem invers .

Limit invers dari sistem invers tertentu tidak ada dalam beberapa kategori. Namun jika ada, maka dikatakan unik dalam pernyataan kuat berikut: diberikan dua limit invers dan dari sistem invers, maka terdapat [[isomorfisme]] ''unik'' <math>X' \to X</math> yang bersifat komutatif dengan peta proyeksi.

== Fungtor yang diturunkan dari limit invers ==

Untuk suatu [[kategori Abel]] <math>C</math>, fungtor limit invers
:<math>\varprojlim:C^I\rightarrow C</math>
[[Fungtor eksak|eksak kiri]]. Jika <math>I</math> terurut (tidak hanya terurut sebagian) dan [[Himpunan terhitung|terhitung]], dan <math>C</math> adalah kategori <math>\operatorname{Ab}</math> dari grup Abel, maka syarat Mittag-Leffler adalah syarat pada morfisme pengalihan <math>f_{ij}</math> yang menjamin ketepatan <math>\varprojlim</math>. Secara khusus, [[Samuel Eilenberg |Eilenberg]] mengonstruksi suatu fungsi
:<math>\varprojlim{}^1:\operatorname{Ab}^I\rightarrow\operatorname{Ab}</math>
sehingga jika <math>(A_i.f_{ij})</math>, <math>(B_i.g_{ij})</math>, dan <math>(C_i.h_{ij})</math> adalah tiga sistem invers dari grup Abel, dan
:<math>0\rightarrow A_i\rightarrow B_i\rightarrow C_i\rightarrow0</math>
adalah [[Barisan sempurna#Barisan sempurna pendek|barisan eksak pendek]] dari sistem invers, maka
:<math>0\rightarrow\varprojlim A_i\rightarrow\varprojlim B_i\rightarrow\varprojlim C_i\rightarrow\varprojlim{}^1A_i</math>
merupakan barisan eksak di <math>\operatorname{Ab}</math>.

== Lihat pula ==

* [[Limit langsung]]

== Referensi ==

== Bibliografi ==
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* Section 3.5 of

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit+invers&oldid=27509901 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27509901 (2025-07-07T16:39:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.