Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:02:45Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.02
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Unit_circle.svg\|thumb\|right\|280px\|Unit circle]]

	Dalam [[matematika]], '''lingkaran satuan''' adalah sebuah [[lingkaran]] dengan panjang [[jari-jari]] sebesar 1 satuan. Sering kali, terutama dalam [[trigonometri]], lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat pada titik (0, 0) pada [[sistem koordinat Kartesius]] dalam [[2 dimensi]]. Dalam [[topologi]], lingkaran ini biasanya disimbolkan dengan .		Dalam [[matematika]], '''lingkaran satuan''' adalah sebuah [[lingkaran]] dengan panjang [[jari-jari]] sebesar 1 satuan. Sering kali, terutama dalam [[trigonometri]], lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat pada titik (0, 0) pada [[sistem koordinat Kartesius]] dalam [[2 dimensi]]. Dalam [[topologi]], lingkaran ini biasanya disimbolkan dengan .

Baris 36:		Baris 38:

	==Grup lingkaran==		==Grup lingkaran==

	[[Bilangan kompleks]] dapat dipandang sebagai titik pada [[2 dimensi]]. Lebih tepatnya, bilangan dapat dipandang sebagai titik . Dengan cara pandang seperti ini, lingkaran satuan adalah [[grup (matematika)\|grup]] terhadap perkalian, yang disebut ''grup lingkaran''; biasanya disimbolkan dengan <math>\mathbb{T}.</math> Di bidang, perkalian oleh menghasilkan rotasi yang berlawanan ara jarum jam sebesar . Grup ini mempunyai aplikasi penting dalam matematika dan sains.		[[Bilangan kompleks]] dapat dipandang sebagai titik pada [[2 dimensi]]. Lebih tepatnya, bilangan dapat dipandang sebagai titik . Dengan cara pandang seperti ini, lingkaran satuan adalah [[grup (matematika)\|grup]] terhadap perkalian, yang disebut ''grup lingkaran''; biasanya disimbolkan dengan <math>\mathbb{T}.</math> Di bidang, perkalian oleh menghasilkan rotasi yang berlawanan ara jarum jam sebesar . Grup ini mempunyai aplikasi penting dalam matematika dan sains.

	==Dinamika kompleks==		==Dinamika kompleks==


	[[Himpunan Julia]] dari [[sistem dinamis\|sistem dinamis diskrit nonlinier]] dengan [[sistem dinamis\|fungsi evolusi]]:<math display="block">f_0(x) = x^2</math>merupakan lingkaran satuan. Ini adalah kasus paling sederhana sehingga banyak dipakai dalam mempelajari sistem dinamis.		[[Himpunan Julia]] dari [[sistem dinamis\|sistem dinamis diskrit nonlinier]] dengan [[sistem dinamis\|fungsi evolusi]]:<math display="block">f_0(x) = x^2</math>merupakan lingkaran satuan. Ini adalah kasus paling sederhana sehingga banyak dipakai dalam mempelajari sistem dinamis.


	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Bola satuan]]		* [[Bola satuan]]
	* [[Cakram satuan]]		* [[Cakram satuan]]
Baris 57:		Baris 54:
	* [[Transformasi-z]]		* [[Transformasi-z]]
	* [[Ukuran sudut]]		* [[Ukuran sudut]]


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lingkaran+satuan&oldid=27502483 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27502483 (2025-07-06T02:07:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lingkaran+satuan&oldid=27502483 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27502483 (2025~~-07-~~06T02:07:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27502483; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:27:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27502483; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''lingkaran satuan''' adalah sebuah [[lingkaran]] dengan panjang [[jari-jari]] sebesar 1 satuan. Sering kali, terutama dalam [[trigonometri]], lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat pada titik (0, 0) pada [[sistem koordinat Kartesius]] dalam [[2 dimensi]]. Dalam [[topologi]], lingkaran ini biasanya disimbolkan dengan .

Apabila adalah suatu titik pada keliling lingkaran satuan, maka dan merupakan panjang kaki sebuah [[segitiga siku-siku]] yang panjang sisi miringnya sebesar 1. Maka dari itu, berdasarkan [[teorema Pythagoras]], dan memenuhi persamaan:

:<math>x^2 + y^2 = 1.</math>

Karena untuk setiap , dan karena hasil pencerminan setiap titik pada lingkaran satuan terhadap sumbu- ataupun sumbu- juga terkandung dalam lingkaran satuan, persamaan di atas berlaku untuk semua titik pada lingkaran satuan, tidak hanya yang kuadran pertama saja.

== Pada bidang kompleks ==
Lingkaran satuan dapat dipandang sebagai [[grup lingkaran|bilangan kompleks satuan]], atau dengan kata lain, himpunan [[bilangan kompleks]] dalam bentuk
<math display="block"> z = e^{it} = \cos t + i \sin t = \operatorname{cis}(t)</math>
untuk setiap (lihat juga: [[cis (matematika)|cis]]). Relasi ini adalah [[Rumus Euler]]. Lingkaran ini juga bisa didefinisikan sebagai himpunan bilangan kompleks yang memenuhi
<math display="block">|z| = 1.</math>

== Fungsi trigonometri ==
[[Fungsi trigonometri|Fungsi]] kosinus dan sinus dengan sudut dapat didefinisikan dengan menggunakan lingkaran satuan sebagai berikut: jika merupakan titik pada lingkaran satuan, dan jika sinar dari titik (0, 0) ke membentuk sudut dari sumbu- positif (putaran tersebut berlawanan arah jarum jam, yang berarti bernilai positif), maka <math>\cos(\theta) = x \,\!</math> dan <math>\sin(\theta) = y. \,\!</math>

Persamaan menghasilkan relasi:

:<math> \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1. \,\!</math>

yang biasa dikenal dengan [[Identitas Pythagoras|identitas Phytagoras]]. Lingkaran satuan juga menunjukkan kalau [[sinus]] dan [[kosinus]] merupakan [[fungsi periodik]] dengan identitas

:<math>\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta) \,\!</math> dan <math>\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta) \,\!</math>
untuk setiap [[bilangan bulat]] .

Segitiga yang dibentuk pada lingkaran satuan juga bisa digunakan untuk mengilustrasikan sifat periodik dari fungsi-fungsi trigonometri. Pertama, buatlah jari-jari dari titik asal menuju titik pada lingkaran satuan, sedemikian sehingga sudut (dengan ) terbentuk dengan sumbu- positif. Sekarang perhatikan titik dan segmen garis . Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku dengan . Karena panjang adalah , panjang adalah , dan panjangnya 1 (karena merupakan jari-jari lingkaran satuan), maka dan .

Setelah menyusun persamaan tersebut, buatlah jari-jari dari titik asal ke titik pada lingkaran, sedemikian sehingga sudut tadi terbentuk dengan sumbu- negatif. Sekarang perhatikan titik dan segmen garis . Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku dengan . Dari sini bisa terlihat bahwa , sehingga koordinat ialah serupa seperti yang berada pada titik .

Oleh karena sama dengan dan sama dengan , maka dapat disimpulkan dan . Dengan argumen serupa, dapat disimpulkan , lantaran dan . Contoh sederhana pada relasi di atas dapat terlihat pada persamaan .

Saat berurusan dengan segitiga siku-siku, sinus, kosinus, dan fungsi trigonometri lainnya baru masuk akal apabila ukuran sudutnya lebih dari nol dan kurang dari . Namun, jika didefinisikan dengan lingkaran satuan, fungsi-fungsi tadi menghasilkan nilai yang bermakna untuk setiap sudut yang bernilai [[bilangan riil|riil]] – termasuk sudut yang lebih dari 2. Malahan, semua enam fungsi standar trigonometri – sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan, beserta fungsi-fungsi turunannya, seperti [[versin]] and [[exsec]] – dapat didefinisikan secara geometris dengan lingkaran satuan.

Dengan menggunakan lingkaran satuan, nilai fungsi trigonometri apapun dapat dihitung dengan mudah menggunakan [[Daftar identitas trigonometri#Jumlah dan selisih sudut|rumus jumlah dan selisish sudut]].

==Grup lingkaran==

[[Bilangan kompleks]] dapat dipandang sebagai titik pada [[2 dimensi]]. Lebih tepatnya, bilangan dapat dipandang sebagai titik . Dengan cara pandang seperti ini, lingkaran satuan adalah [[grup (matematika)|grup]] terhadap perkalian, yang disebut ''grup lingkaran''; biasanya disimbolkan dengan <math>\mathbb{T}.</math> Di bidang, perkalian oleh menghasilkan rotasi yang berlawanan ara jarum jam sebesar . Grup ini mempunyai aplikasi penting dalam matematika dan sains.

==Dinamika kompleks==

[[Himpunan Julia]] dari [[sistem dinamis|sistem dinamis diskrit nonlinier]] dengan [[sistem dinamis|fungsi evolusi]]:<math display="block">f_0(x) = x^2</math>merupakan lingkaran satuan. Ini adalah kasus paling sederhana sehingga banyak dipakai dalam mempelajari sistem dinamis.

== Lihat pula ==

* [[Bola satuan]]
* [[Cakram satuan]]
* [[Hiperbola satuan]]
* [[Identitas Pythagoras]]
* [[Lingkaran Riemann]]
* [[Persegi satuan]]
* [[Putaran (sudut)]]
* [[Sudut satuan]]
* [[Transformasi-z]]
* [[Ukuran sudut]]

== Pranala luar ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lingkaran+satuan&oldid=27502483 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27502483 (2025-07-06T02:07:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Lingkaran satuan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27502483; atribusi sumber disertakan.