Lingkungan (matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:11:14Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.11
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[topologi]] dan bidang [[matematika]] yang terkait, '''lingkungan,''' disebut juga '''persekitaran''' atau '''kitaran''' () merupakan salah satu konsep dasar dalam [[ruang topologi]]. Konsep lingkungan terkait erat dengan konsep [[himpunan terbuka]] dan [[interior (topologi)\|titik dalam]]. Secara intuitif, lingkungan dari suatu titik adalah [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] titik yang mengandung titik tersebut, di mana seseorang dapat bergerak beberapa langkah ke segala arah dari titik tersebut tanpa keluar dari himpunan tersebut.		[[File:Neighborhood_illust1.svg\|thumb\|right\|280px\|Neighborhood illust1]]

			Dalam [[topologi]] dan bidang [[matematika]] yang terkait, '''lingkungan<ref>Wahidah Alwi. [https://repositori.uin-alauddin.ac.id/23789/2/Analisis%20Real.pdf Analisis Real]. Rumah Cemerlang. 2021. hlm. 87. ISBN 978-623-5847-51-1.</ref><ref>Parhaini Andriani,. [https://repository.uinmataram.ac.id/927/1/FULL%20KALKULUS%20PEUBAH%20BANYAK.pdf Kalkulus Peubah Banyak]. Sanabil. 2020. hlm. 59. ISBN 978-623-317-032-1.</ref><ref>Abdul Mashadi dan Hadi. [https://mashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/BUKU-ANALISIS.pdf Analisis I]. UR Press Pekanbaru. 2017. hlm. 60. ISBN 978-979-792-796-7.</ref>,''' disebut juga '''persekitaran'''<ref>Prof Dr Manuharawati M.Si. [https://books.google.com/books?id=awEvEQAAQBAJ&pg=PA36 Analisis Real 1]. Zifatama Jawara. 2013-02-01. ISBN 978-602-1662-18-2.</ref><ref>Wuryansari Muharini Kusumawinahyu. [https://books.google.co.id/books?id=_eNVDwAAQBAJ&pg=PA37&source=gbs_toc_r&cad=2#v=onepage&q=lingkungan&f=false Fungsi Kompleks]. Universitas Brawijaya Press. 2017-09-01. ISBN 978-602-432-295-3.</ref> atau '''kitaran'''<ref>Susiswo. ''Pengantar Topologi''. Universitas Terbuka. 2019. ISBN 9786023925124.</ref> () merupakan salah satu konsep dasar dalam [[ruang topologi]]. Konsep lingkungan terkait erat dengan konsep [[himpunan terbuka]] dan [[interior (topologi)\|titik dalam]]. Secara intuitif, lingkungan dari suatu titik adalah [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] titik yang mengandung titik tersebut, di mana seseorang dapat bergerak beberapa langkah ke segala arah dari titik tersebut tanpa keluar dari himpunan tersebut.
	Sifat-sifat matematika yang terkait dengan lingkungan tertentu disebut lokal, sebagai lawan dari global.		Sifat-sifat matematika yang terkait dengan lingkungan tertentu disebut lokal, sebagai lawan dari global.

	== Definisi ==		== Definisi ==

	===Lingkungan suatu titik===		===Lingkungan suatu titik===

	Jika <math>X</math> adalah [[ruang topologi]] dan <math>p</math> adalah titik dalam <math>X</math>, lingkungan dari titik <math>p</math> adalah [[himpunan bagian]] <math>V</math> dari <math>X</math> yang memuat suatu [[himpunan terbuka]] <math>U</math> yang memuat <math>p,</math> sedemikian sehingga<math display="block">p \in U \subseteq V.</math>Definisi ini ekuivalen dengan titik <math> p \in X</math> yang termasuk [[Interior (topologi)\|interior topologis]] dari <math>V</math> di dalam <math>X.</math>		Jika <math>X</math> adalah [[ruang topologi]] dan <math>p</math> adalah titik dalam <math>X</math>, lingkungan dari titik <math>p</math> adalah [[himpunan bagian]] <math>V</math> dari <math>X</math> yang memuat suatu [[himpunan terbuka]] <math>U</math> yang memuat <math>p,</math> sedemikian sehingga<math display="block">p \in U \subseteq V.</math>Definisi ini ekuivalen dengan titik <math> p \in X</math> yang termasuk [[Interior (topologi)\|interior topologis]] dari <math>V</math> di dalam <math>X.</math>

	Lingkungan <math>V</math> harus suatu himpunan terbuka dalam <math>X</math>. Akan tetapi ketika <math>V</math> terbuka dalam <math>X</math>, maka <math>V</math> disebut lingkungan buka. Beberapa penulis mensyaratkan bahwa lingkungan harus terbuka, tetapi harus diperhatikan juga kesepakatan tersebut.		Lingkungan <math>V</math> harus suatu himpunan terbuka dalam <math>X</math>. Akan tetapi ketika <math>V</math> terbuka dalam <math>X</math>, maka <math>V</math> disebut lingkungan buka.<ref>Jacques Dixmier. [https://archive.org/details/generaltopology0000dixm General Topology]. Springer. 1984. hlm. [https://archive.org/details/generaltopology0000dixm/page/6 6]. ISBN 0-387-90972-9.</ref> Beberapa penulis mensyaratkan bahwa lingkungan harus terbuka, tetapi harus diperhatikan juga kesepakatan tersebut.<ref>Ryszard Engelking. ''General Topology''. Heldermann Verlag, Berlin. 1989. hlm. 12. ISBN 3-88538-006-4.</ref>


	Suatu himpunan yang menjadi lingkungan bagi semua titik anggotanya adalah terbuka, karena himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan buka yang memuat tiap-tiap titiknya. Segiempat tertutup, sebagaimana pada gambar berikut, bukan merupakan lingkungan dari semua titik-titiknya. Itu karena titik pada sudut segiempat tidak termuat dalam sebarang himpunan terbuka yang termuat dalam segiempat.		Suatu himpunan yang menjadi lingkungan bagi semua titik anggotanya adalah terbuka, karena himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan buka yang memuat tiap-tiap titiknya. Segiempat tertutup, sebagaimana pada gambar berikut, bukan merupakan lingkungan dari semua titik-titiknya. Itu karena titik pada sudut segiempat tidak termuat dalam sebarang himpunan terbuka yang termuat dalam segiempat.
Baris 19:		Baris 18:

	== Ruang metrik ==		== Ruang metrik ==

	Dalam [[ruang metrik]] <math>M = (X, d),</math> himpunan <math>V</math> adalah lingkungan dari suatu titik <math>p</math> jika terdapat suatu [[bola terbuka]] yang berpusat pada titik <math>p</math> dan berjari-jari <math>r>0</math>, sehingga<math display="block">B_r(p) = B(p; r) = \{ x \in X : d(x, p) < r \}</math>termuat di dalam <math>V</math>.		Dalam [[ruang metrik]] <math>M = (X, d),</math> himpunan <math>V</math> adalah lingkungan dari suatu titik <math>p</math> jika terdapat suatu [[bola terbuka]] yang berpusat pada titik <math>p</math> dan berjari-jari <math>r>0</math>, sehingga<math display="block">B_r(p) = B(p; r) = \{ x \in X : d(x, p) < r \}</math>termuat di dalam <math>V</math>.

Baris 27:		Baris 25:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	Diketahui bahwa himpunan [[bilangan real]] <math>\R</math> dengan [[Metrik Euklides\|ruang metrik Euklides]] biasa adalah suatu subhimpunan <math>V</math> didefinisikan sebagai<math display="block">V := \bigcup_{n \in \N} B\left(n\,;\,1/n \right),</math> maka <math>V</math> adalah suatu lingkungan untuk himpunan [[bilangan asli]] <math>\N</math>, tetapi sayangnya suatu lingkungan seragam dari himpunan itu.		Diketahui bahwa himpunan [[bilangan real]] <math>\R</math> dengan [[Metrik Euklides\|ruang metrik Euklides]] biasa adalah suatu subhimpunan <math>V</math> didefinisikan sebagai<math display="block">V := \bigcup_{n \in \N} B\left(n\,;\,1/n \right),</math> maka <math>V</math> adalah suatu lingkungan untuk himpunan [[bilangan asli]] <math>\N</math>, tetapi sayangnya suatu lingkungan seragam dari himpunan itu.

	~~== Referensi ==~~

	*
	*
	*


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lingkungan+%28matematika%29&oldid=27534583 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27534583 (2025-07-12T10:43:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lingkungan+%28matematika%29&oldid=27534583 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27534583 (2025~~-07-~~12T10:43:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27534583; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:50:12Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27534583; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[topologi]] dan bidang [[matematika]] yang terkait, '''lingkungan,''' disebut juga '''persekitaran''' atau '''kitaran''' () merupakan salah satu konsep dasar dalam [[ruang topologi]]. Konsep lingkungan terkait erat dengan konsep [[himpunan terbuka]] dan [[interior (topologi)|titik dalam]]. Secara intuitif, lingkungan dari suatu titik adalah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] titik yang mengandung titik tersebut, di mana seseorang dapat bergerak beberapa langkah ke segala arah dari titik tersebut tanpa keluar dari himpunan tersebut.
Sifat-sifat matematika yang terkait dengan lingkungan tertentu disebut lokal, sebagai lawan dari global.

== Definisi ==

===Lingkungan suatu titik===

Jika <math>X</math> adalah [[ruang topologi]] dan <math>p</math> adalah titik dalam <math>X</math>, lingkungan dari titik <math>p</math> adalah [[himpunan bagian]] <math>V</math> dari <math>X</math> yang memuat suatu [[himpunan terbuka]] <math>U</math> yang memuat <math>p,</math> sedemikian sehingga<math display="block">p \in U \subseteq V.</math>Definisi ini ekuivalen dengan titik <math> p \in X</math> yang termasuk [[Interior (topologi)|interior topologis]] dari <math>V</math> di dalam <math>X.</math>

Lingkungan <math>V</math> harus suatu himpunan terbuka dalam <math>X</math>. Akan tetapi ketika <math>V</math> terbuka dalam <math>X</math>, maka <math>V</math> disebut lingkungan buka. Beberapa penulis mensyaratkan bahwa lingkungan harus terbuka, tetapi harus diperhatikan juga kesepakatan tersebut.

Suatu himpunan yang menjadi lingkungan bagi semua titik anggotanya adalah terbuka, karena himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan buka yang memuat tiap-tiap titiknya. Segiempat tertutup, sebagaimana pada gambar berikut, bukan merupakan lingkungan dari semua titik-titiknya. Itu karena titik pada sudut segiempat tidak termuat dalam sebarang himpunan terbuka yang termuat dalam segiempat.

Koleksi dari semua lingkungan dari suatu titik disebut '''' pada titik.

=== Lingkungan suatu himpunan ===
Jika <math>S</math> adalah [[Subset|subhimpunan]] dari suatu ruang topologis <math>X</math>, maka lingkungan dari <math>S</math> adalah himpunan <math>V</math> yang menyertakan suatu himpunan terbuka <math>U</math> yang memuat <math>S</math>:<math display="block">S \subseteq U \subseteq V \subseteq X.</math>Definisi di atas menyatakan bahwa suatu himpunan <math>V</math> adalah lingkungan dari <math>S</math> jika dan hanya jika <math>V</math> adalah lingkungan dari semua titik di dalam <math>S.</math> Lebih lanjut, <math>V</math> adalah lingkungan dari <math>S</math> jika dan hanya jika <math>S</math> adalah subhimpunan dari [[Interior (topologi)|interior]] dari <math>V.</math> Suatu lingkungan dari <math>S</math> yang juga subhimpunan terbuka dari <math>X</math> disebut lingkungan buka dari <math>S.</math> lingkungan dari suatu titik hanyalah kasus istimewa dari definisi ini.

== Ruang metrik ==

Dalam [[ruang metrik]] <math>M = (X, d),</math> himpunan <math>V</math> adalah lingkungan dari suatu titik <math>p</math> jika terdapat suatu [[bola terbuka]] yang berpusat pada titik <math>p</math> dan berjari-jari <math>r>0</math>, sehingga<math display="block">B_r(p) = B(p; r) = \{ x \in X : d(x, p) < r \}</math>termuat di dalam <math>V</math>.

Himpunan <math>V</math> disebut lingkungan seragam dari himpunan <math>S</math> jika terdapat suatu bilangan positif <math>r</math> sehingga untuk semua anggota <math>p</math> dari <math>S</math>, <math display="block">B_r(p) = \{ x \in X : d(x, p) < r \}</math>termuat di dalam <math>V.</math>

Mengikuti syarat yang sama. Untuk <math>r > 0</math>, lingkungan <math>S</math> berjari-jari '''<math>r</math>''', yang dilambangkan <math>S_r</math>, adalah himpunan dari semua titik di dalam <math>X</math> yang berjarak kurang daripada <math>r</math> dari <math>S</math>. Definisi lainnya, <math>S_r</math> adalah gabungan dari semua bola terbuka berjari-jari <math>r</math> yang berpusat pada suatu titik di dalam <math>S</math>: <math display="block">S_r = \bigcup\limits_{p\in{}S} B_r(p).</math>Hal ini mengikuti secara langsung bahwa lingkungan berjari-jari <math>r</math> adalah lingkungan seragam, dan bahwa suatu himpunan adalah lingkungan seragam jika dan hanya jika ia memuatu suatu lingkungan berjari-jari <math>r</math> untuk suatu nilai <math>r</math>.

== Contoh ==

Diketahui bahwa himpunan [[bilangan real]] <math>\R</math> dengan [[Metrik Euklides|ruang metrik Euklides]] biasa adalah suatu subhimpunan <math>V</math> didefinisikan sebagai<math display="block">V := \bigcup_{n \in \N} B\left(n\,;\,1/n \right),</math> maka <math>V</math> adalah suatu lingkungan untuk himpunan [[bilangan asli]] <math>\N</math>, tetapi sayangnya suatu lingkungan seragam dari himpunan itu.

== Referensi ==

*
*
*

== Pranala luar ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lingkungan+%28matematika%29&oldid=27534583 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27534583 (2025-07-12T10:43:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.