Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T17:58:08Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 17.58
Baris 8:		Baris 8:

	== Contoh-contoh mendasar ==		== Contoh-contoh mendasar ==

	=== Lingkaran ===		=== Lingkaran ===


	Setelah garis, [[lingkaran]] adalah contoh paling sederhana dari manifold topologis. Topologi mengabaikan pembengkokan, sehingga sepotong kecil lingkaran diperlakukan persis sama dengan sepotong kecil garis. Perhatikan, misalnya, bagian atas [[satuan lingkaran]], ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1, di mana [[sistem koordinat cartesius\|koordinat-''y'']] adalah positif (ditunjukan oleh busur kuning pada ''Gambar 1''). Setiap titik busur ini dapat dijelaskan secara khusus oleh koordinat-''x''. Jadi, [[Proyeksi (matematika)\|proyeksi]] ke koordinat pertama adalah [[fungsi berkelanjutan (topologi)\|kontinyu]], dan [[fungsi terbalik\|terbalik]], [[pemetaan (matematika)\|pemetaan]] dari busur atas ke [[interval terbuka]] (− 1,1):		Setelah garis, [[lingkaran]] adalah contoh paling sederhana dari manifold topologis. Topologi mengabaikan pembengkokan, sehingga sepotong kecil lingkaran diperlakukan persis sama dengan sepotong kecil garis. Perhatikan, misalnya, bagian atas [[satuan lingkaran]], ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1, di mana [[sistem koordinat cartesius\|koordinat-''y'']] adalah positif (ditunjukan oleh busur kuning pada ''Gambar 1''). Setiap titik busur ini dapat dijelaskan secara khusus oleh koordinat-''x''. Jadi, [[Proyeksi (matematika)\|proyeksi]] ke koordinat pertama adalah [[fungsi berkelanjutan (topologi)\|kontinyu]], dan [[fungsi terbalik\|terbalik]], [[pemetaan (matematika)\|pemetaan]] dari busur atas ke [[interval terbuka]] (− 1,1):

	: <math> \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x . \,</math>		: <math> \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x . \,</math>


	Fungsi tersebut bersama dengan daerah terbuka yang mereka petakan disebut ''[[Atlas (topologi)#Grafik\|grafik]] l''. Demikian pula, ada grafik untuk bagian bawah (merah), kiri (biru), dan kanan (hijau) bagian dari lingkaran:		Fungsi tersebut bersama dengan daerah terbuka yang mereka petakan disebut ''[[Atlas (topologi)#Grafik\|grafik]] l''. Demikian pula, ada grafik untuk bagian bawah (merah), kiri (biru), dan kanan (hijau) bagian dari lingkaran:
Baris 32:		Baris 28:

	Fungsi semacam ini disebut [[Atlas (topologi)#Peta transisi\|''peta transisi'']].		Fungsi semacam ini disebut [[Atlas (topologi)#Peta transisi\|''peta transisi'']].


	Grafik atas, bawah, kiri, dan kanan menunjukan bahwa lingkaran adalah sebuah manifold, tetapi mereka tidak membentuk satu-satunya atlas yang mungkin terbentuk. Grafik tidak memerlukan proyeksi geometris, dan bilangan dalam grafik adalah persoalan pemilihan. Perhatikan grafik		Grafik atas, bawah, kiri, dan kanan menunjukan bahwa lingkaran adalah sebuah manifold, tetapi mereka tidak membentuk satu-satunya atlas yang mungkin terbentuk. Grafik tidak memerlukan proyeksi geometris, dan bilangan dalam grafik adalah persoalan pemilihan. Perhatikan grafik
Baris 71:		Baris 66:

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	* [http://www.dimensions-math.org/Dim_E.htm Dimensions-math.org] (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)		* [http://www.dimensions-math.org/Dim_E.htm Dimensions-math.org] (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)
	* The [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de manifold atlas] project of the [http://www.mpim-bonn.mpg.de Max Planck Institute for Mathematics in Bonn]		* The [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de manifold atlas] project of the [http://www.mpim-bonn.mpg.de Max Planck Institute for Mathematics in Bonn]



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lipatan+%28matematika%29&oldid=28770012 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28770012 (2026-01-02T05:01:44Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lipatan+%28matematika%29&oldid=28770012 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28770012 (2026-01-02T05:01:44Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28770012; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:19:25Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28770012; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''lipatan''' adalah suatu [[ruang topologis]] yang secara lokal menyerupai [[ruang euklides]] di dekat setiap titiknya. Lebih tepatnya, setiap titik dalam ''n''-dimensi lipatan memiliki [[Persekitaran (matematika)|lingkungan]] yang [[homeomorfis]] ke ruang Euklides dimensi ''n''.

Lipatan berdimensi-satu meliputi [[Garis (geometri)|garis]] dan [[lingkaran]], tetapi tidak termasuk [[Lemniscate|angka delapan]] (karena mereka memiliki ''titik persimpangan'' yang secara lokal tidak homeomorfis ke ruang Euklides berdimensi-1). Lipatan berdimensi-dua juga disebut [[Permukaan (topologi)|permukaan]]. Contohnya termasuk [[Bidang (geometri)|bidang]], [[sphere|bulatan]], dan [[torus]], yang semuanya dapat [[embedding|tertanam]] (terbentuk tanpa swa-simpang, atau tanpa titik potong) dalam ruang nyata tiga dimensi, tetapi juga termasuk [[Botol Klein]] dan [[bidang proyektif nyata]], yang akan selalu memiliki swa-simpang ketika [[Pencelupan (matematika)|terbenam]] dalam ruang tiga dimensi nyata.

Meskipun lipatan secara lokal menyerupai ruang Euklides, tetapi secara global tidaklah serupa. Misalnya, permukaan [[bola]] bukanlah sebuah ruang Euklides, tetapi dalam suatu daerah dapat dipetakan dengan [[proyeksi peta]] daerah itu ke dalam [[bidang euklides]] (dalam konteks lipatan mereka disebut ''[[Atlas (topologi)#Grafik|grafik]]''). Ketika suatu daerah muncul dalam dua grafik berdekatan, dua representasi tidak bertepatan persis dan transformasi yang diperlukan untuk melampaui dari satu ke yang lain disebut '' peta transisi ''.

Konsep lipatan adalah pusat dari banyak bidang [[geometri]] dan [[matematika fisikal]] modern. Karena konsep ini memungkinkan struktur yang lebih rumit untuk dijelaskan dan dipahami dalam sifat relatif yang dapat dipahami dari ruang Euklides. Lipatan secara alami muncul sebagai solusi set [[sistem persamaan]] dan sebagai [[Grafik fungsi|grafik]] fungsi. Lipatan mungkin memiliki fitur tambahan. Salah satu kelas penting dari lipatan adalah kelas [[lipatan terdiferensialkan]]. [[struktur terdiferensiasi]] ini memungkinkan penerapan [[kalkulus]] pada lipatan. Sebuah [[Metrik Riemannian]] pada lipatan memungkinkan [[jarak]] dan [[sudut]] diukur. [[Lipatan simplektik]] berfungsi sebagai [[ruang fase]] dalam [[mekanika Hamiltonian|formalisme Hamiltonian]] dalam [[mekanika klasik]], sedangkan model empat-dimensi [[Lipatan Lorentz]] adalah model [[ruang-waktu]] dalam [[relativitas umum]].

== Contoh-contoh mendasar ==

=== Lingkaran ===

Setelah garis, [[lingkaran]] adalah contoh paling sederhana dari manifold topologis. Topologi mengabaikan pembengkokan, sehingga sepotong kecil lingkaran diperlakukan persis sama dengan sepotong kecil garis. Perhatikan, misalnya, bagian atas [[satuan lingkaran]], ''x''2 + ''y''2 = 1, di mana [[sistem koordinat cartesius|koordinat-''y'']] adalah positif (ditunjukan oleh busur kuning pada ''Gambar 1''). Setiap titik busur ini dapat dijelaskan secara khusus oleh koordinat-''x''. Jadi, [[Proyeksi (matematika)|proyeksi]] ke koordinat pertama adalah [[fungsi berkelanjutan (topologi)|kontinyu]], dan [[fungsi terbalik|terbalik]], [[pemetaan (matematika)|pemetaan]] dari busur atas ke [[interval terbuka]] (− 1,1):

: <math> \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x . \,</math>

Fungsi tersebut bersama dengan daerah terbuka yang mereka petakan disebut ''[[Atlas (topologi)#Grafik|grafik]] l''. Demikian pula, ada grafik untuk bagian bawah (merah), kiri (biru), dan kanan (hijau) bagian dari lingkaran:

: <math> \chi_{\mathrm{bottom}}(x,y) = x </math>
: <math> \chi_{\mathrm{left}}(x,y) = y </math>
: <math> \chi_{\mathrm{right}}(x,y) = y.</math>

Grafik atas dan kanan tumpang tindih: persimpangan mereka terletak pada kuartal lingkaran di mana kedua koordinat '' x '' dan '' y '' positif. Dua grafik χatas dan χkanan masing-masing memetakan bagian ini ke interval (0, 1). Dengan demikian fungsi ''T'' dari (0, 1) untuknya sendiri dapat disusun, yang pertama menggunakan [[fungsi terbalik|invers]] dari grafik atas untuk mencapai lingkaran dan kemudian mengikuti grafik kanan kembali ke interval. Misalkan 'a' sembarang bilangan di (0, 1), maka:

: <math>\begin{align}
T(a) &= \chi_{\mathrm{right}}\left(\chi_{\mathrm{top}}^{-1}\left[a\right]\right) \\
&= \chi_{\mathrm{right}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) \\
&= \sqrt{1-a^2}
\end{align}</math>

Fungsi semacam ini disebut [[Atlas (topologi)#Peta transisi|''peta transisi'']].

Grafik atas, bawah, kiri, dan kanan menunjukan bahwa lingkaran adalah sebuah manifold, tetapi mereka tidak membentuk satu-satunya atlas yang mungkin terbentuk. Grafik tidak memerlukan proyeksi geometris, dan bilangan dalam grafik adalah persoalan pemilihan. Perhatikan grafik
: <math>\chi_{\mathrm{minus}}(x,y) = s = \frac{y}{1+x}</math>

dan
: <math>\chi_{\mathrm{plus}}(x,y) = t = \frac{y}{1-x}{}</math>

Di sini ''s'' adalah kemiringan garis yang melalui titik pada koordinat (''x'',''y'') dan titik poros tetap (−1, 0); ''t'' sama-sama mengikuti, tetapi dengan titik poros (+1, 0). Invers pemetaan dari ''s'' ke (''x'', ''y'') diberikan oleh

: <math>\begin{align}
x &= \frac{1-s^2}{1+s^2} \\
y &= \frac{2s}{1+s^2}
\end{align}</math>

Hal ini dengan mudahnya menegaskan bahwa ''x''2 + ''y''2 = 1 untuk semua nilai kemiringan ''s''. Dua grafik ini menjadi atlas kedua untuk lingkaran, dengan

: <math>t = \frac{1}{s}</math>

Setiap grafik menghilangkan satu titik, baik (−1, 0) untuk ''s'' atau (+1, 0) untuk ''t'', jadi tak ada satu grafik yang cukup untuk menutupi seluruh lingkaran. Hal ini dapat membuktikan bahwa tidak mungkin untuk menutupi lingkaran penuh dengan grafik tunggal. Sebagai contoh, meskipun ada kemungkinan untuk membangun sebuah lingkaran dari interval baris tumpang tindih dan "menempelkan" ujung, ini tidak menghasilkan grafik; sebagian dari lingkaran akan dipetakan ke kedua ujungnya sekaligus, kehilangan keterbalikan.

== Lihat juga ==
* [[Geodesik|Geodesik Affine]]: bagian dari manifold
* [[Statistika direkstional]]: statistika berdasarkan manifold
* [[Daftar manifold]]
* [[Matematika relativitas umum]]
* [[Submanifold]]

=== Berdasarkan dimensi ===
* [[Lengkungan]] (1-manifold)
* [[Permukaan (topologi)|Permukaan]] (2-manifold)
* [[3-manifold]]
* [[4-manifold]]
* [[5-manifold]]
* [[Manifold Banach]]
* [[Manifold Fréchet]]
* [[Ruang vektor sederhana#Penerapan: Manifold pemetaan antara manifold dimensi yang terbatas|Manifold dalam pemetaan]]

== Pranala luar ==
*
* [http://www.dimensions-math.org/Dim_E.htm Dimensions-math.org] (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)
* The [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de manifold atlas] project of the [http://www.mpim-bonn.mpg.de Max Planck Institute for Mathematics in Bonn]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lipatan+%28matematika%29&oldid=28770012 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28770012 (2026-01-02T05:01:44Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Lipatan (matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28770012; atribusi sumber disertakan.